1、7.4.1 二项分布熟读教材熟读教材7272页并回答下列问题：页并回答下列问题：1 1、什么叫伯努利试验、什么叫伯努利试验?2 2、什么叫、什么叫n n重伯努利试验，重伯努利试验，n n重伯努利试验的共同特征是什么？重伯努利试验的共同特征是什么？3 3、判断下列命题是否正确、判断下列命题是否正确（1 1）伯努利试验的两个结果对应的事件是对立事件（）伯努利试验的两个结果对应的事件是对立事件（）（2 2）在）在n n重伯努利试验中，各次试验的结果是相互独立的（重伯努利试验中，各次试验的结果是相互独立的（）（3 3）在）在n n重伯努利试验中，各次试验成功的概率可以不同（重伯努利试验中，各次试验成功
2、的概率可以不同（）n n重伯努利试验具有如下共同特征重伯努利试验具有如下共同特征:(1)(1)同一个伯努利试验同一个伯努利试验重复做重复做n n次次；(2)(2)各次试验的结果各次试验的结果相互独立相互独立.“重复重复”意味着各意味着各次试验的概率相同次试验的概率相同 伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能 n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以问题问题1：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中1次的概率是多少次的概率是多少?分解问题：分解问题：1)在在4次投篮中他恰好命中次投篮中他恰好命中1次的情况有几种次的情况有几种?表示投中表示投中,表示没投中表示没投中,
3、则则4 4次投篮中投中次投篮中投中1 1次的情况有以下四种次的情况有以下四种:2)说出每种情况的概率是多少说出每种情况的概率是多少?3)上述四种情况能否同时发生上述四种情况能否同时发生?解：记在第解：记在第 1、2、3、4 次投篮中，击中目标为事件次投篮中，击中目标为事件,4321AAAA则恰好击中则恰好击中1次的概率为：次的概率为：12341234(PP AAAAAAAA12341234)AAAAAAAA34 0.8(0.2)1340.8(0.2)C问题问题1：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中1次的概率是多少次的概率是多少?问题问题2：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中2次
4、的概率是多少次的概率是多少?问题问题3：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中3次的概率是多少次的概率是多少?问题问题4：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中4次的概率是多少？次的概率是多少？24224)8.01()8.0(C34334)8.01()8.0(C44444)8.01()8.0(C问题问题5：在在n次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中k次的概率是多少次的概率是多少?knkknC)8.01()8.0(2、一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的发生的概率为概率为p(0p1)，用，用X表示事件表示事件A发生的次数，则发生的
5、次数，则X的分布列为的分布列为()(1)0 1 2.kkn knP XkC ppkn,如果随机变量如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从服从二项分布二项分布，记作记作X B(n,p).实验总次数实验总次数事件事件 A 发生的次数发生的次数事件事件 A 发生的概率发生的概率记忆公式的结构特征()(1)0 1 2.kkn knP XkC ppkn,服从二项分布的事件服从二项分布的事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率 正好是二项式定理正好是二项式定理 展开式的展开式的第第k1项项，故有，故有()(1)kkn knP XkC pp (1)npp
6、00()(1)(1)1.nnkkn knnkkP XkC pppp 例例1.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续连续3次射击，中次射击，中靶次数靶次数X的概率分布列是怎样的的概率分布列是怎样的?解：解：00444(0)0.80.20.2P XC 中靶次数中靶次数X的分布列为的分布列为11334(1)0.80.24 0.8 0.2P XC 222224(2)0.80.26 0.80.2P XC33134(3)0.80.24 0.80.2P XC44044(4)0.80.20.8P XC随机变量X服从二项分布的三个前提条件：(1)每次试验都是在每次试验都是在
7、同一条件同一条件下进行的；下进行的；(2)每一次试验都彼此每一次试验都彼此相互独立相互独立；(3)每次试验出现的每次试验出现的结果只有两个结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生，即某事件要么发生，要么不发生.只有这三个条件均满足时才能说明随机变量只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事服从二项分布，其事件件A在在n次独立重复试验中恰好发生次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算次的概率可用下面公式计算.kkn knP XkC ppkn()(1)0 1 2,判断下列表述正确与否，并说明理由判断下列表述正确与否，并说明理由（1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对
8、答案的题目数道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数XB（12，0.25）;（2）100件产品中包含件产品中包含10 件次品，件次品，随机抽取随机抽取6件，其中的次品数件，其中的次品数YB（6，0.1）.解：解：每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数故猜对答案的题目数X服从二项分布，即服从二项分布，即XB(4,0.25).(1)正确正确.理由如下：理由如下：每次抽到次品的概率为每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项
9、分布的条件抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.(2)错误错误.理由如下：理由如下：例例2 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求次，求:(1)恰好出现恰好出现5次正面朝上的概率；次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的正面朝上出现的在在0.4,0.6内的概率内的概率.解：解：设设A“正面朝上正面朝上”，则，则P(A)0.5.用用X表示事件表示事件A发生的次数，发生的次数，则则 X B(10,0.5).P XC5551025263(5)0.5(10.5)1024256(2)正面朝上出现的频率在正面朝上出现的频率在0.4,0.6内等价于内等价于4X6，于是所求概率为，于
10、是所求概率为PXCCC41051061010101067221(46)0.50.50.5102432(1)恰好出现恰好出现5次正面朝上的概率为次正面朝上的概率为练习练习1.某一批花生种子，如果每某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为粒发芽的概率为 ，那么播下，那么播下3粒种子粒种子至少有至少有1粒发芽的概率是粒发芽的概率是()45121648124A.B.C.D.125125125125解：解：P XP X31124(1)1(0)1()5125或或P XP XP XP X(1)(1)(2)(3)CC122233341414124()()()55555125XXB4(3).5用用表表示示种种子子
11、发发芽芽的的粒粒数数,则则，所所求求概概率率为为D探究探究:假设随机变量假设随机变量X服从二项分布服从二项分布B(n,p),那么那么X的均值和方差各是什么的均值和方差各是什么?我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上正面朝上”的概率为的概率为0.5，如果掷，如果掷100次硬币，期望有次硬币，期望有1000.550次正面朝上次正面朝上.(1)当当n1时时,X分布列为分布列为 P(X0)1p,P(X1)p,则有则有E(X)0(1p)+1ppD(X)02(1p)+12pp2 p(1p)(2)当当n2时时,X分布列为分布列为 P(X0)(1p)2,P(X1)2p(
12、1p),P(X2)p2E(X)0(1p)212p(1p)2p2 2pD(X)02(1p)2122p(1p)22p2(2p)22p(1p)由此可猜想,若XB(n,p),则有()E Xnp，()(1).D Xnpp 根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们猜想我们猜想E(X)np.若若XB(n,p)，则有，则有()()(1).E Xnp D Xnpp,二项分布的均值与方差：二项分布的均值与方差：下面对均值进行证明下面对均值进行证明.nkkn knkE XkC pp0()(1)证明：证明：nnkkn knkppCpp1111101(1)(1)XB
13、n pX()由由,可可得得 的的概概率率分分布布列列为为kkn knP XkC ppkn()(1)1,2,，nkkn knknCpp111(1)nkkn knknpCpp1111(1)E Xnp()1.二项分布：二项分布：一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p(0p1)，用，用X表示事件表示事件A发生的次数，则发生的次数，则X的分布列为的分布列为()(1)0 1 2.kkn knP XkC ppkn,如果随机变量如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从服从二项二项分布
14、分布，记作记作X B(n，p).若若XB(n,p)，则有，则有()()(1).E Xnp D Xnpp,2.二项分布的均值与方差：二项分布的均值与方差：1.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3个红球和个红球和2个黄球，从中有放回地取个黄球，从中有放回地取5次，次，则取到红球次数的数学期望是则取到红球次数的数学期望是 ，方差为，方差为_.训练提升365 2.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，次，X表示表示“正面朝上正面朝上”出现的次数出现的次数.(1)求求X的分布列；的分布列；(2)E(X)_，D(X)_.44()0.50 1 2 3 4.kP XkCk
15、,21解：解：3.鸡接种一种疫苗后鸡接种一种疫苗后,有有80%不会感染某种病毒不会感染某种病毒.如果如果5只鸡接种了疫苗只鸡接种了疫苗,求求:(1)没有鸡感染病毒的概率；没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有恰好有1只鸡感染病毒的概率只鸡感染病毒的概率.XXB5(5 0.2).设设 只只接接种种疫疫苗苗的的鸡鸡中中感感染染病病毒毒的的只只数数为为,则则,(1)没没有有鸡鸡感感染染病病毒毒的的概概率率为为P X5(0)0.80.32768(2)1恰恰好好有有 只只鸡鸡感感染染病病毒毒的的概概率率为为P XC145(1)0.2 0.80.4096解：解：4.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概
16、率为某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且每次，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求次，求:(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有其中恰有3次击中目标的概率；次击中目标的概率；(3)其中恰有其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.(1)所所求求概概率率为为p33333108(1)(1)555553125XXB(2)(5 0.6).由由题题意意知知,击击中中目目标标次次数数服服从从二二项项分分布布,即即,(3)所所求求概概率率为为pC132333324()(1)553125P XC332532216(3)()()556253则则恰恰有有 次次击击中中目目标标的的概概率率为为
