1、 8.1.2 样本的相关系数 高二数学选择性必修 第三册 第八章 成对数据的统计分析学习目标1.结合实例,了解两个随机变量间的样本相关系数的含义,了解样本相关系数与“标准化”处理后的成对数据两分量向量夹角的关系;2.会利用公式求出相关系数r，并能利用相关系数r判断两个随机变量间线性相关程度的大小.3.核心素养:直观想象、数据分析、逻辑推理、数学运算.一、回顾旧知1.变量的相关关系2.散点图3.变量相关关系的分类正相关和负相关线性相关和非线性相关 像这样,两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了
2、统计图.我们把这样的统计图叫做 4.两个变量之间相关关系的确定(1).经验作出推断(2).通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断平移 1122,.,nnxx yyxx yyxx yy设经过随机抽样得到的和变量对于变量,yx),(,),(),(2211nnyxyxyx成对数据为1212,nnxxxyyyxynn其中为得到平移后的成对数据为零点进行平移将数据以,),(yx绘制散点图为二、探究新知1.如何引入一个恰当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析?如果变量x和变量y负相关,那么关于均值平移后的大多数点 将分布在第二、四象限，对应的成对数据
3、异号居多.一般地,如果变量x和变量y正相关,那么 均值平移后的大多数点将分布在第一、三象限，对应的成对数据同号居多；11221-xynnLx x y yx x y yx x yyn 根据散点图特征，初步构造统计量.1,2,iixxyyin利用散点 的横纵坐标是否同号,可以构造一个量xyL一般情况下，表明成对样本数据正相关;0 xyL 表明成对样本数据负相关;0 在研究体重与身高之间的相关程度时,如果体重的单位不变,把身高单位由米改为厘米,单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程度.11221100-100-100-100-100-11000-0 xyxynnxx y yxx y yyLxx y
4、nL 11221-xynnLx xyyxxyyxxyyn xyL 你认为 的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗?xyL 我们发现,的大小与数据的度量单位有关，所以 不能直接用它度量成对样本数据相关程度的大小.1 122iiiini=1nn22i=1i=1ni ii=1nn2222iii=1i=11+=nx-x y-yxxyyxy-nxyrx-=nxy-ny=nnx y x yx y（）221111(),()nnxiyiiisxxsyynn 1122,.,nnxx yyxx yyxx yy1122,.,nnxyxyxyxx yyxx yyxx yyssssss 1122,.,nnxyxyx
5、y为了消除单位的影响，进一步做“标准化”处理当r 0时，称成对样本数据正相关；当r 0时，称成对样本数据负相关iiiiniii=1nn2222iii=1i=1ni=1nn22i=1i=1=x-x y-yxxyyx y-nxyrx-nxyny=-我们称 r 为变量x和变量y的样本相关系数.样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：2.样本相关系数 1122,.,nnxyxyxy标准化处理后的成对样本数据:设其第一分量为12(,.,)nxxxx设其第二分量为 12(,.,)nyyyy 11221+11|+|co=ns nnr=nnxx y
6、x yx yyxy （）2222221212222212112()()()()()()|,|y|()1()nnxxxnininxiixxxxxxxxxsssxxxxxxxxsxnnnxx同理可得 样本相关系数r的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢?样本相关系数r的取值范围211|cos()cos nnr=x yn cos-11r-11 cosr样本相关系数r的取值范围为-1,1当|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系？所以 当|r|=1时 ，向量 与 共线。=0或xy 即存在实数 ,使得yx ,1,2,iiyxyyxxinss成对样本数据(xi,yi)都落在直线 上()yiix
7、syyxxscosr成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系 由此可见，样本相关系数r的取值范围为-1，1,样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度：当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.样本相关系数r有时也称样本线性相关系数,|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.两个随机变量的相关性可以通过散点图对成对样本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度：r 的符号反映相关关系的正负性，|r|的大小
8、反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度.判断线性相关程度:散点图+r年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.5 26.3 28.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.5 35.2 34.61414142211148.07,27.26,19403.2,34181,11051.77iiiiiiixyx yxy三、巩固新知1.例1.根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据,推断 两个变量是否线性相关,计算样本相关系数,并推断它们的相关程度.参考数据:1414142211148.07,27.26,19403.2,34181
9、,11051.77iiiiiiixyx yxy1.例1.根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据,推断两个变量是否线性相关,计算样本相关系数,并推断它们的相关程度.解：先画出散点图,如下图所示 观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关.iiii1414iii=1i=114141414222222iii=1i=1i=1i=1x-xy-yxxyyx y-14xy=x-14xy14r-y2219403.2 14 48.0727.2634181 14 48.0711051.77 14 270.697.2r 由样本相关系数 ,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且
10、相关程度很强。脂肪含量与年龄变化趋势相同.0.97r 解:2.例2.有人收集了某城市居民收入(所有居民在一年内收入的总和)与A商品销售额的10年数据，如下表所示.第n年12345678910居民年收入/亿元32.231.132.935.837.138394344.646A商品销售额/万元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同.从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现线性相关关系.居民年收入/亿元504540352030253035
11、4045 5055A商品销售额/万元x=38，y=39,10iii=1x15y=170，102ii=1x5=1466，102ii=1y=15835,iiiinniii=1i=1nnnn222222iii=1i=1i=1i=1x-xy-yxxyyx y-nxy=x-nxyyr-n2.例2.有人收集了某城市居民收入(所有居民在一年内收入的总和)与A商品销售额的10年数据，如下表所示.第n年12345678910居民年收入/亿元32.231.132.935.837.138394344.646A商品销售额/万元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.00.95r
12、3例3.在某校高一年级中随机抽取25名男生,测得他们的身高、体重、臂展等数据,如下表所示.体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性?解:通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78,都为正相关.其中,臂展与身高的相关程度更高.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是()Ar2r40r3r1 Br4r20r1 r3 Cr4r20r3r1 Dr2r40r10时，称成对样本数据正相关；当r 0时，称成对样本数据负相关(2)r 的取值范围为-1，1(3)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.四、课堂小结作业:课本P103 习题8.1 1,2题
