1、第六章计数原理6.3 二项式定理知识解读知识点一：二项式定理(ab)nCanCan1bCan2b2CankbkCbn(nN*)这个公式为二项式定理展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有n1项二项式系数：各项的系数C(k0,1,2，n)叫二项式系数知识点二：二项展开式的通项(ab)n展开式的第k1项叫二项展开式的通项，记作Tk1Cankbk.知识点三：二项式系数的性质对称性在(ab)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC增减性与最大值增减性：当k时，二项式系数是逐渐减小的最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二
2、项式系数，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)CCCC2n；(2)CCCCCC2n1小小思考 ab)n的展开式的二项式系数和系数相同吗解：不一定(ab)n的展开式的通项是Cankbk，其二项式系数是C(k0,1,2,3，n)，不一定是系数题型探究例1在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求项数；（2）求展开式中的二项式系数最大的项；（3）求展开式中所有系数的绝对值的和【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）二项式展开式的通项为，因为前三项系数的绝对值成等差数列， 所以，化简得，解得，（，舍去）（2）由（1）知，二项式的展开项共9项，故二项式系数最大的项为第项，即（3
3、）展开式中所有系数的绝对值的和为，例2在的展开式中（1）求二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项是第几项? 【答案】（1）；（2）第6项和第7项.【详解】展开式的通项公式为 （1）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故.(2) 设第项系数的绝对值最大，则 ，即 ，整理得 ，于是或.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.例3已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096（1）求（）的展开式中的常数项的值；（2）在的展开式中，求项的系数的值【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，所以，可得，即的展开式的通项是：（）
4、，令得：，常数项是；（2）由（1）知，即，展开式中项的系数分别为：所以的展开式中项的系数为： 例4（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？(最后结果需用数字作答)（2）把件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有几种？(最后结果需用数字作答)（3）四个不同的小球放入编号为，的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？(最后结果需用数字作答)（4）已知的展开式的二项式系数和比的展开式系数和大.求的展开式中求二项式系数最大的项.【答案】（1）216；（2）36；（3）144（4）-8064【详解】（1）按照最左端分两类，
5、第一类排甲，其余的5人全排列，共有种，第二类，排乙，最右端不排甲有种，其余4人全排列，有种，共有种，由分类计数原理得共有120+96=216种.（2）分步完成，第一步将A，B捆在一起当作一个元素与除C的两个元素一起全排列，共有种，第二步将C插入已经排好的排列中，让A，C步相邻，有种，由分步计数原理得：共有种.（3）四个不同的小球放入编号为，的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，有种不同的方法.（4）的展开式的二项式系数和为，令得的展开式系数和，所以，解得，所以，的展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项
6、，即.例5已知，求【答案】16【详解】令，得；令，得，故.课后小练1.已知 (x+124x)n 的二项展开式中，第三项的系数为7. （1）求证：前三项系数成等差数列； （2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）. 2.已知二项式 (2x-ax)n 的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数. （1）求n的值； （2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值. 3.我们称 n(nN*) 元有序实数组 (x1,x2,xn) 为n维向量， |x1|+|x2|+|xn| 为该向量的范数，已知n维向量 a=(x1,x2,xn) ，其中 xi-1,0,1 ， i=1,2,n
7、 ，记范数为奇数的n维向量 a 的个数为 An ，这 An 个向量的范数之和为 Bn . （1）求 A2 和 B2 的值； （2）求 A2020 的值； （3）当n为奇数时，证明： Bn=n(3n-1+1) . 4.在只有第八项的二项式系数最大，奇数项二项式系数之和为 47 ，各项系数之和为 414 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在，说明理由. 设二项式 (x+3x3)n ，若其展开式中， ， 是否存在整数 k ，使得 Tk 是展开式中的常数项？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.5.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后
8、面问题中的横线上，并完成解答 条件：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”问题：已知二项式 (1+3x)n ，若_（填写条件前的序号），（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求 (1+3x)n(1-x)5 中含 x2 项的系数 6.在 (x+24x)n 的展开式中，前3项的系数的和为73. （1）求 n 的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的有理项. 7.已知 (1+2x)n,nN* （1）若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）若展开式前三项的二项式系数和等于37
9、，求展开式中系数最大的项 8.二项式 (3x-123x)n 的二项式系数和为256. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中各项的系数和； （3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由. 答案解析部分1.【答案】 （1）解： T3=Cn2(x)n-2(124x)2=14Cn2xn-32 14Cn2=7Cn2=28n(n-1)2=28n=8 ，（负值舍去）所以前三项分别为 T1=C80(x)8(124x)0=x4 ， T2=C81(x)7(124x)1=4x134 ，T3=C82(x)6(124x)2=7x52 所以前三项系数分别为1，4，7， 24=1+7 前三项
10、系数成等差数列.（2）解： Tr+1=C8r(x)8-r(124x)r=12rC8rx4-3r4 ， r=0,1,2,.,7,8 r=0,4,8 ，展开式中x的指数为整数，所以展开式中所有有理项为： T1=C80(x)8(12xx)0=x4 、 T4=18C83x=7x 、 T8=1256C88x-2=1256x2 .【解析】（1）先根据二项展开式通项公式得第三项的系数，再解方程得 n=8 ，最后根据二项展开式通项公式写出前三项系数，根据等差中项性质即可判断；（2）先根据二项展开式通项公式得 x 的指数，再根据 x 的指数为整数确定对应项，即得结果.2. 【答案】 （1）解：由题知，二项式系数
11、和 Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n=256 ，故 n=8 ；（2）解：二项式系数分别为 C80,C81,C82,C88 ，根据其单调性知其中 C84 最大， 即为展开式中第5项， C8424(-a)4=70 ，即 a=12 .【解析】（1） 根据二项式系数和列方程，解方程求得 n 的值.（2）根据二项式系数最大项为 70 ，结合二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得 a 的值.3.【答案】 （1）解：范数为奇数的二元有序实数对有： (1,0) ， (-1,0) ， (0,1) ， (0,-1) ，它们的范数依次为1，1，1，1，A2=4 ， B2=4 .（2）解：当n为偶数时，在向量
12、a=(x1,x2,xn) 的n个坐标中， 要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数， 可按照含0个数为 1,3,n-1 进行讨论：a 的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或-1，共有 Cn12n-1 个，每个 a 的范数为 n-1 ；a 的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有 Cn32n-3 个，每个 a 的范数为 n-3 ；a 的n个坐标中含 n-1 个0，其余坐标为1或-1，共有 Cnn-12 个，每个 a 的范数为1；An=Cn12n-1+Cn32n-3+Cnn-12 ，(2+1)n=Cn02n+Cn22n-2+Cnn-12+Cnn (2-1)n=Cn02n-Cn22n-2+(-1)
13、nCnn -2 得： An=Cn12n-1+Cn32n-3+Cnn-12=3n-12 ，A2020=32020-12 .（3）解：当n为奇数时，在向量 a=(x1,x2,xn) 的n个坐标中， 要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数， 可按照含0个数为 0,2,4,n-1 进行讨论：a 的n个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，共有 Cn02n 个，每个 a 的范数为n；a 的n个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，共有 Cn22n-2 个，每个 a 的范数为 n-2 ；a 的n个坐标中含 n-1 个0，其余坐标为1或-1，共有 Cnn-12 个，每个 a 的范数为1；An=Cn02n+Cn2
14、2n-2+Cnn-12 ，(2+1)n=Cn02n+Cn22n-2+Cnn-12+Cnn ，(2-1)n=Cn02n-Cn22n-2+(-1)nCnn ，两式相加除以2得： An=Cn02n+Cn22n-2+Cnn-12=3n+12 ，而 Bn=nCn02n+(n-2)Cn22n-2+Cnn-12 ，(n-k)Cnk=(n-k)n!k!(n-k)!=nn!k!(n-k-1)!=nCn-1k ，Bn=nCn-102n+nCn-122n-2+nCn-1n-12 =n(Cn-102n+Cn-122n-2+Cn-1n-12) =2n(Cn-102n-1+Cn-122n-3+Cn-1n-1) =2n3n
15、-1+12=n(3n-1+1) .【解析】（1）列出范数为奇数的二元有序实数对，分别求其范数，则A2和B2可求；（2）当n为偶数时，在向量a=(x1,x2,xn)的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，然后分含0个数为：1，3，n-1进行讨论，分别求得范数及范数的和，再由二项式定理及组合数公式化简即可（3）当n为奇数时，在a=(x1,x2,xn)的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，然后按照含0个数为0，2，4，n-1进行讨论，分别求得范数及范数的和，再由二项式定理及组合数公式化简即可 4.【答案】 解：若选填条件，即只有第八项的二项式系数最大，即 Cn7 最大，
16、由二项式系数的性质可得， n=14 ； 若选填条件，即各项系数之和为 414 ，则 4n=414 ，即 n=14 ；二项式 (x+3x3)14 展开式的通项： Tk=C14k-1(x)15-k(3x3)k-1=3k-1C14k-1x21-7k2 .由 21-7k=0 ，得 k=3 .即存在整数 k=3 ，使得 Tk 是展开式中的常数项；若选填条件，即奇数项二项式系数之和为 47 ，则 2n-1=47=214 ， n=15 .二项式 (x+3x3)15 展开式的通项： Tk=C15k-1(x)16-k(3x3)k-1=3k-1C15k-1x22-7k2 .由 22-7k=0 ，得 k=227Z
17、.即不存在整数k，使得 Tk 是展开式中的常数项.【解析】 由二项式系数的性质，可得选填条件时，n=14，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得k值，即可得到存在整数k=3，使得Tk是展开式中的常数项； 选填条件时，n=15，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得k值，可知不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项5. 【答案】 （1）解：若选填条件，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64， 则 4n2n=2n=64 ，即 n=6 若选填条件，即展开式中前三项的二项式系数之和为22，则 Cn0+Cn1+Cn2=22 ，即 n=6 当 n=6 时，展开式共7项，二项式系数最大的项
18、为 T4=C63(3x)3=540x3 （2）解： (1+3x)n(1-x)5=(1+3x)6(1-x)5 中， 含 x2 项的系数为 C52+C6232+C613C51(-1)=55 【解析】（1） 在下面两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，若选填条件，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64，再利用二项式系数的性质结合二项式定理求展开式中的通项公式的方法，进而求出n的值； 若选填条件，即展开式中前三项的二项式系数之和为22，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，进而结合组合数公式，进而求出n的值，再利用n的值求出展开式的项数，进而找出展开式中二项式系数最大的项。（2
19、）利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出含 x2 项的系数。6.【答案】（1）解：依题意得： Cn0+2Cn1+4Cn2=73 ，即 2n2+1=73 ，得 n2=36 n=-6 或 n=6 nN* n=6 . 展开式中二项式系数最大的项为第四项，即 T4=C63(x)3(24x)3=160x34 （2）解：展开式的通项公式为： Tr+1=C6r2r(x)3-34r,(r=0,1,.,6) ， 展开式的通项公式为： Tk+1=C6k(x)6-k(24x)k=C6k2 kx3-3k4 ，当 k=0 时， 3-3k4=3 ，此时为有理项 T1=x3 ，当 k=1 时， 3-3k4
20、=94 ，此时不是有理项，当 k=2 时， 3-3k4=32 ，此时不是有理项，当 k=3 时， 3-3k4=34 ，此时不是有理项，当 k=4 时， 3-3k4=0 ，此时为有理项 T5=240 ，当 k=5 时， 3-3k4=-34 ，此时不是有理项，当 k=6 时， 3-3k4=-32 ，此时不是有理项， 展开式中的有理项为 x3 和240【解析】 (1)根据前3项系数和，建立方程求出n结合二项式系数的性质进行求解即可. (2)求出展开式的通项公式，结合x的次数进行求解即可.7.【答案】 （1）解：由展开式中奇数项的二项式系数和为 Cn0+Cn2+Cn4+.=2n-1=128 , 可得
21、n=8 ，所以展开式中二项式系数最大的项第五项，其系数为 C8424=1120 （2）解：由展开式前三项的二项式系数和 Cn0+Cn1+Cn2=1+n+n(n-1)2=37 ， 化为 n2+n-72=0 ，解得 n=8 ，或 n=-9 （舍去），设展开式中系数最大的项为第 k+1 项，则 C8k2kC8k-12k-1C8k2kC8k+12k+15k6 ，所以展开式中系数最大的项为第6或第7项，即 T6=C85(2x)5=1792x5,T7=C86(2x)6=1792x6 【解析】（1） 由奇数项的二项式系数和为128求得 n=8 ，再利用二项式系数的性质求解即可；（2）由展开式前三项的二项式系
22、数和等于37求得 n=8 ，利用展开式中系数最大的项的系数比相邻两项的系数大，列不等式求解即可.8.【答案】 （1）解：因为二项式 (3x-123x)n 的二项式系数和为256，所以 2n=256 ， 解得 n=8 . n=8 ，则展开式的通项 Tr+1=C8r(3x)8-r(-123x) =C8r(-12)rx8-2r3 .二项式系数最大的项为 T5=C84(-12)4=358 ；（2）解：令二项式中的 x=1 ，则二项展开式中各项的系数和为 (1-12)8=(12)8=1256 .（3）解：通项公式及 0r8 且 rZ 得当 r=1,4,7 时为有理项； 系数分别为 C81(-12)1=-4 ， C84(-12)4=358 ， C87(-12)7=-116 .【解析】(1) 首先由二项式系数和公式求出n的值，由此得出通项公式再由二项展开式项的性质即可得出答案。 (2)由特殊值法代入数值计算出结果即可。 (3）结合已知条件即可求出r的值，再把数值代入到通项公式计算出结果即可。
