1、6.1.2 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 高二数学选择性必修 第三册 第六章 计数原理学习目标1.能利用分类加法计数原理与分布乘法计数原 理解决一些简单的实际问题;2.理解“完成一件事情”的含义，能根据具体 问题的特征,正确选择“分类”或“分步”.3.核心素养:数学建模、数学运算。1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.一、回顾旧知 推广：如果完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有 mn种不同的方法，那么
2、完成这件事的方法总数为 Nm1m2mn.2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤,做第1步有 m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法,那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.推广：如果完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数为Nm1m2mn1.例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法？二、巩固新知分析:要完成的一件事情是“3幅不同的画中选出2幅,并分别挂在左右两边墙上”,可以分步完成.解:从3幅画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上,可以分两个
3、步骤完成:第1步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法:第2步,从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数N=32=6.6种挂法如图6.1-2所示 左边 右边 得到的挂法甲乙丙图6.1-2左甲右乙左甲右丙左乙右甲左乙右丙左丙右甲左丙右乙乙丙甲丙甲乙1).要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多少种不同的选法？第一步:选1人上白班；第二步:选1人上晚班.有3种方法有2种方法N326（种）2.变式练习2).从5人中选4人参加数、理、化学科竞赛,其中数学2人，理、化各1人,求共有多少种不同的选法？数学2人化学1人物理1人5种4种3种N543
4、60（种）3例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？分析:要完成的一件事情是“给一个程序模块命名”,可以分三个步骤完成:第1步，选首字符：第2步，选中间字符:第3步，选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.解:由分类加法计数原理,首字符不同选法的种数为7+6=13.后两个字符从19中选,因数字可以重复,所以不同选法的种数都为9由分步乘法计数原理，不同名称的个数是 N=1399=1053即最多可以给1053个程序模块命名.在解题时有时既要分类又要分步 4例6.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而
5、这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国际码（GB码）包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？=256个 (2).2个字节 (65536个）81.2分析:要完成的一件事情是“确定1个字节各二进制位上的数字”,由于每个字节有8个二进制，每一位上的值有0,1两种选择
6、，而且不同的顺序代表不同的字符因此可以用分步乘法计数原理求解.如图6.1-3.第1位第2位第3位第8位2种2种2种2种图6.1-3 5例7.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图所示是一个具有许多执行路径的程序模块.（1）这个程序模块有多少条执行路径；（2）为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？开始子模块子模块1 118条执行路径子模块子模块5 543条执行路径子模块子模块4 438条执行
7、路径子模块子模块3 328条执行路径子模块子模块2 245条执行路径结束A A9181=7371条172+6=178次图6.1-46例8.通常，我国民用汽车牌的编号由两部分组成:第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分由阿拉伯数字和英文字母组成的序号(如图6.1-5).最多能给 7 060 000 辆汽车上牌照.冀AJR005图6.1-5 其中，序号的编码规则为:(1)由10个阿拉伯数字和O,I之外24个英文字母组成;(2)最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?分析:由号牌编号的组成可
8、知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的号牌数，按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类:没有字母、有一个字母、有两个字母.以字母所在的位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有两个字母的序号分为十个子类.(1).某班有5人会唱歌，另有4人会跳 舞，还有2人能歌善舞,从中任选1人表演一个节目，共可表演多少个节目？N542213（种）第1类：从会唱歌者中选1人唱歌；第2类：从会跳舞者中选1人跳舞；第3类：从能歌善舞者中选1人唱歌或跳舞；7.变式练习(2).有架楼梯共6级,每次只允许上一级或两级，求上完这架楼梯共有多少种不同的走法？第1类：走3步第
9、2类：走4步第3类：走5步第4类：走6步1种走法6种走法5种走法1种走法N165113（种）(3).在1，2，3，200这些自然数中，各个数位上都不含数字8的自然数共有多少个？不含8的一位数不含8的二位数不含8的三位数8个89=72个99+1=82个N87282162（个）(4).从3,2,1，0，1，2，3中任取三个不同的数作为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，问这样的抛物线共有多少条？c取值a取值b取值1种3种3种N3319（种）c0a0 b0三、课堂小结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点:一、要完成的“一件事”是什么;二、需要分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.作业:课本P11 习题6.1 3,5题
