1、 8.2.1 一元线性回归模型 高二数学选择性必修 第三册 第八章 成对数据的统计分析学习目标1.结合具体实例，通过分析变量间的关系建立一元线性回归模型;2.能说明模型参数的统计意义，提高数据分析能力.3.核心素养:直观想象、数据分析、逻辑推理、数学运算.通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等.思考：是否可以通过建立适当的统计模型来刻画两个变量之间的相关关系？一、课前引入 1.生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高相关.一般来说,父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究
2、两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表1所示.编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182从图上看，散点大致分布在一条直线附近二、探究新知根据我们学过的整理数据的方法:相关系数r=0.886父亲身高/cm180175170165160160165 170 175 180 185 190儿子身高/cm 185 1).问题1:可以得到什么结论？由散点图的分布趋势表明儿子
3、的身高与父亲的身高线性相关，通过相关系数可知儿子的身高与父亲的身高正线性相关，且相关程度较高2).问题2:是否可以用函数模型来刻画？不能，因为不符合函数的定义.这其中还受其它因素的影响.3).问题3:那么影响儿子身高的其他因素是什么？影响儿子身高的因素除父亲的身外,还有 母亲的身高、生活的环境、饮食习惯、营养水平、体育锻炼等随机的因素，儿子身高是父亲身高的函数的原因是存在这些随机的因素.Y=bx+a+e 4).问题4:各种随机因素都是独立的，有些因素又无法量化.你能否考虑到这些随机因素的作用，用类似于函数的表达式,表示儿子身高与父亲身高的关系吗?如果用x表示父亲身高，Y表示儿子的身高,用e表示
4、各种其它随机因素影响之和，称e为随机误差,由于儿子身高与父亲身高线性相关，所以Y=bx+a.由于随机误差表示大量已知和未知的各种影响之和，它们会相互抵消，为使问题简洁，可以假设随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值 .22:()0,().E eD e即思考:为什么要假设E(e)=0,而不假设其为某个不为0的常数？因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样,所以它们均值的理想状态应该为0.如果随机误差是一个不为0的常数 e，则可以将 e 合并到截距项a中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解.如果随机误差e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.问题5:请根据以上的分
5、析，你能建立一个数学模型表示儿子身高与父亲身高的关系吗？我们称式为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量.a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差2,()0,().Ybx a eE eD e 2、一元线性回归模型 如果用x表示父亲身高，Y表示儿子的身高,e表示随机误差.假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值 ，则它们之间的关系可以表示为23.函数模型与回归模型之间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxY 一元线性回归模型Y=bx+a+e增加了随机误差项e,因变量 Y 的值由 自变量 x 和随机误差项e共同确定,即
6、自变量x只能解释部分Y的变化.解释变量x(身高)模型误差e(其它所有变量)响应变量Y(体重)你能结合父亲与儿子身高的实例,说明回归模型的意义?2,()0,().YbxaeE eD e 可以解释为父亲身高为 的所有男大学生身高组成一个子总体，该子总体的均值为 ，即该子总体的均值与父亲的身高是线性函数关系.ixibxa 而对于父亲身高为 的某一名男大学生，他的身高 并不一定为 ,它不仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项 .ixibxa iy()iiieybxa (1)除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素,比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等.(2)在测量儿子身高时，由
7、于测量工具、测量精度所产生的测量误差.(3)实际问题中,我们不知道儿子身高和父亲身高的相关 关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系,这种近似关系也是产生随机误差e的原因.产生随机误差e的原因有：4.问题6:你能结合具体实例解释产生模型中随机误差项的原因吗?解:(1),(2),(3),(4),(5)回归模型(6),(7)函数模型二、巩固新知1.判断下列变量间哪些能用函数模型刻画,哪些能用回归模型刻画?为什么？函数模型与回归模型有什么区别？(1)某公司的销售收入和广告支出；(2)某城市写字楼的出租率和每平米月租金；(3)航空公司的顾客投诉次数和航班正点率；(4)某地区的人均消费水平和人均国内生产总值（GDP）;(5)学生期末考试成绩和考前用于复习的时间；(6)一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间；(7)正方形的面积与周长三、课堂小结1.一元线性回归模型2,()0,().YbxaeE eD e 2.一元线性回归模型与函数模型的区别Y称为因变量或响应变量x称为自变量或解释变量e是Y与bx+a之间的随机误差a称为截距参数b称为斜率参数作业:课本P106 练习 2,3题
