1、6.2 排列组合的综合应用1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理要完成的一件事如何完成这件事方法的“分类”利用分类加法计数原理计数利用分步乘法计数原理计数过程的“分步”“不重不漏”“步骤完整”复习引入2.排列数、组合数的公式及性质类型排列数组合数公式性质备注(1)(2)(1)Amnn nnnm=-+L!()!nnm=-A(1)(2)(1)CA!mmnnmmn nnn mm!()!nmnmAnnn=！0=！10CC1nnn=CCmnmnn11mmmnnnCCCn,mN*且mn题型一：排列问题例1 有3名女生、4名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排，多少种不同的排法
2、？(2)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾，多少种不同的排法？(3)若三个女生要站在一起，有多少种不同的排法？(4)若三个女生要站在一起，四个男生也要站在一起，有多少种不同的排法？(5)若三个女生互不相邻，有多少种不同的排法？(6)男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面，有多少种不同的排法？(8)全体排成一排，甲、乙、丙的先后顺序不可以改变，有多少种不同的排法？典例分析(1)选5人排成一排，多少种不同的排法？(2)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾，多少种不同的排法？典例分析解：(1)从7人中选5人排列，有57A76543=252()0=创创种(2)(特殊
3、元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有665A565432 1=36)0(0=创创创种66A(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有 种排法，其他有 种排法，共有26A55A2565A A655()432 1=3600=创创创种 对于对于有限制有限制条件的排列问题条件的排列问题,常常使用常常使用“直接法直接法”(主要为主要为“特殊特殊位置法位置法”和和“特殊元素法特殊元素法”)或者或者“间接法间接法”,即即优先考虑限制条件优先考虑限制条件.捆 绑 法捆 绑 法解：(3)将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有：种
4、.55A33A5353720A A=(3)若三个女生要站在一起，有多少种不同的排法？典例分析(4)若三个女生要站在一起，四个男生也要站在一起，有多少种不同的排法？234234288A A A 解：(4)将三个女孩看作一人，将四个男孩也看作一人，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，四个男孩之间有 种排法，共有：种.22A33A44A 对于对于相邻相邻问题问题,常常先将要相邻的元素常常先将要相邻的元素捆绑捆绑在一起在一起,视作为一个视作为一个元素元素,与其余元素全排列与其余元素全排列,再再松绑松绑后它们之间进行全排列后它们之间进行全排列.典例分析(5)若三个女生互不相邻，有多少种不同的排法？解：
5、(5)先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排列中有五个空位(包括两端)，再把三个女孩插入空位中有 种方法，所以共有：(种)排法.35A44A43451440A A 插空法插空法典例分析(6)男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？解：(6)先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排列中有三个空位(不包括两端)，再把三个女孩插入空位中有 种方法，共有：(种).33A44A4343144A A 插 空 法插 空 法 对于对于不相邻不相邻问题问题,先将其余元素全排列先将其余元素全排列,再将这些不相邻再将这些不相邻的元素的元素插入空位插入空位中中,这种方法就是这种方法就是插空法插空法.典例分析(7)全
6、体排成一排，甲必须排在乙前面，有多少种不同的排法？(8)全体排成一排，甲、乙、丙的先后顺序不可以改变，有多少种不同的排法？解：(7)先不考虑顺序，将全体进行全排列，有 种排法，而甲、乙两人的全排列有 种方法，共有：(种).22A77A77222520AA典例分析(8)先不考虑顺序，将全体进行全排列，有 种排法，而甲、乙、丙三人的全排列有 种方法，共有：(种).33A77A7733840AA 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，全排列后，再对于定序问题，可先不考虑顺序限制，全排列后，再除以除以定序定序元素的全排列元素的全排列.直接法优先法捆绑法插空法定序问题除法处理间接法方法归纳把符合条件的排列数
7、直接列式计算优先安排特殊元素或特殊位置把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中对于定序问题，可先不考虑顺序限制，全排列后，再除以定序元素的全排列正难则反、等价转化的方法题 型 二：组 合 问 题例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内
8、，不同取法有多少种？典例分析解：(1)从余下的34种商品中选取2种，有 (种)取法.234C561=(2)从余下的34种商品中选取3种，有 (种)取法.334C5984=(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？典例分析解：(3)从20种真货中选取1种，从15种真货中选取2种，有 (种)取法.122015C C2100=(4)选取2种假货有 种，选取3种假货有 种，共有 种取法.123201515C C+C21004552555=+=122015C C315C(5)选取3种商品的取法为 ，“选取3种假货”有
9、 种取法，至多有2种假货在内的取法有 种.333515CC65454556090-=-=335C315C1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：(1)“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；(2)“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.2.“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.方法归纳题型三：分组分配问题例3 六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(
10、2)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(3)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本；(4)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(5)分为三份，每份两本；(6)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本；(7)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(8)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本；(9)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.典例分析题型三：分组分配问题例3 六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(3)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本；典例分
11、析22264290CCC32163160CCC41162130CCC题型三：分组分配问题例3 六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(4)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(5)分为三份，每份两本；(6)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本；典例分析2226423315CCCA4116212215CCCA32163160CCC题型三：分组分配问题例3 六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(7)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(8)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本；(9)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.典例分析321363133
12、60CCCA2224113332136426213363133232540CCCCCCAACCCAAA411362132290CCCAA1.完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等.只分组无分配时，需要除以这几组的“全排列”，以确保消去重复；分组且分配时，一种方法是先分组再分配；另一种方法是可以用分步乘法 计数原理解题.2.部分平均分组：在分组时，每组的个数是不均等的，而是有一部分个数相同.需要除以相同的组的“全排列”，保证没有重复3.非平均分组：每组所要分的元素个数是不相同的这种分组不考虑重复现象.解题思想：先分组、后分配分组分配问题分组分配问题方法归纳课堂小结1.求解排列问题的6种主要方法直接法；优先法；捆绑法；插空法；除序法；间接法2.组合问题的2类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型.3.分组分配问题(1)完全平均分组：只分组无分配；分组且分配;(2)部分平均分组;(3)非平均分组.
