1、第七章 随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征7.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值学习目标学习目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机 变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.(重点)3.掌握两点分布的均值.(重点)4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题.(重点)知识回顾知识回顾1、概率分布列（分布列）、概率分布列（分布列）设离散型随机变量设离散型随机变量X可能取的值可能取的值为为1,2,3,我们称我们称X取每一个值取每一个值(=1,2,)的概率的概率(=)=,i=1,2,3 xn为随机变量为随机变
2、量X的概率分布列，简称的概率分布列，简称X的分布列的分布列.XP1p2 2p ipnp1x2xixnx2 2、离散型随机变量分布列的性质：、离散型随机变量分布列的性质：1 概率之和概率之和 3、求随机变量、求随机变量X的分布列的步骤如下的分布列的步骤如下:(1).确定 X 的可能取值 xi;(2).求出相应的概率 P=(X=xi)=pi;(3).列成表格的形式.对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化
3、”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有常用的有期望与方差期望与方差.问题导学问题导学问题导学问题导学1、某人射击、某人射击10次次,所得环数分别是所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环；则所得的平均环数是多少？数是多少？2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041 X权数权数加加权权平平均均问题导学问题导学2、某商场要将单
4、价分别为、某商场要将单价分别为18元元/kg，24元元/kg，36元元/kg的的3种糖果种糖果按按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？把把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：X182436P636261)/(23613631242118kgX元元 3.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：问题导学问题导学环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2类似两组数据的比较类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数首先比较击中的平均环数,如
5、果平均环数相等，再看稳定性如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭假设甲射箭n n次，射中次，射中7 7环、环、8 8环、环、9 9环和环和1010环的频率分别为环的频率分别为甲甲n n次射箭射中的平均环数次射箭射中的平均环数3124,.nnnnnnnn312478910.nnnnxnnnn 当当n足够大时，频率稳定于概率，所以足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于稳定于70.1+80.2+90.3+100.4=9.即甲射中平均环数的稳定值即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值理论平均值)为为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平的射箭水平.同理，乙射中环
6、数的平均值为同理，乙射中环数的平均值为70.15+80.25+90.4+100.2=8.65.如何比较他们射箭水平的高低呢？如何比较他们射箭水平的高低呢？从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.一、离散型随机变量取值的平均值一、离散型随机变量取值的平均值.1.离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)为随机变量X的均值或数学期望.x1p1x2p2xipixnpn2.离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的 ，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的 .加权平均数平均水平知识概念知识概念典型
7、例题典型例题例1.在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=10.8+00.2=0.8即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.3.一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么服从两点分布，那么：X10Pp1-p变式：变式：在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1
8、1次得次得1 1分，不中得分，不中得0 0分分.如果某运动如果某运动员罚球命中的概率为员罚球命中的概率为0.80.8，那么他罚球，那么他罚球2 2次次的得分的得分X X的均值是多少？的均值是多少？典型例题典型例题例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值.变式变式:随机抛掷一个正四面体，正四面体每个面分别标号随机抛掷一个正四面体，正四面体每个面分别标号1.2.3.4，求朝，求朝下一面标号下一面标号X的均值的均值.解：X的分布列为的分布列为求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值的步骤：的均值的步骤：新知探究新知探究思考：如果X是一
9、个离散型随机变量，X加一个常数或乘以一个常数后，其均值会怎样变化？即E(X+b)和E(aX)(其中a,b为常数）分别与E(X)有怎样的关系？P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxXE2211）（设X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,.,n.1xix2xnxXYbax 1baxi bax 2baxn P1p2pipnpnnpbaxpbaxpbaxYE)()()(2211）（)()(212211nnnpppbpxpxpxa bXaE）（3.离散型随机变量的均值的性质若YaXb，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aXb).aE(X)b知识概
10、念知识概念练习练习1、随机变量、随机变量X的分布列是的分布列是X135P0.50.30.2(1)则则E(X)=.(2)若若Y=2X+1，则，则E(Y)=.2.45.82、随机变量、随机变量X的分布列是的分布列是X47910P0.3ab0.2EX=7.5,则则a=b=.0.10.4例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲歌曲ABC猜对的概率猜对的
11、概率0.80.60.4获得的公益基金额获得的公益基金额/元元100020003000典型例题典型例题X0100030006000P0.20.320.2880.192的均值为()=00.2+10000.32+30000.288+60000.192=2336.思考：思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？X0100040006000P0.20.480.128 0.192典型例题典型例题猜歌顺序猜歌顺序E(X)/元元猜歌顺序猜歌顺序E(X)/元元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872例4.根据
12、气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。方案3：不采取措施，希望不发生洪水。工地的领导该如何决策呢?典型例题典型例题分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：天气状况天气状况大洪水小洪水没有洪水 概率0.010.250.74总损失/元方案1380038003800方案2620002
13、0002000方案360000100000方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案.解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62 0000.01+2 000
14、0.99=2 600,E(X3)=60 0000.01+10 0000.25+00.74=3 100.因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.1.离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)随机变量X的均值或数学期望(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的 (3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则YaXb(其中a，b为常数)也是随机变量，且 P(Xxi)，i1,2,3，n.E(Y).如果随机变量如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，则则pEX X10Pp1px1p1x2p2xnpn平均水平P(Yaxb)E(aXb)aE(X)b课后作业课后作业课后作业：全品27-28页1-14题必做，15-17选做本节内容结束
