1、第七章 随机变量及其分布知识巩固知识点一条件概率的概念一般设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率知识点二概率乘法公式定义:由条件概率的定义，对任意两个事件A与B ,若P(A)0，则,我们称上式为概率的乘法公式.知识点三全概率公式设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i1,2，n，则对任意的事件B，有P(B)(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式知识点四随机变量的概念、表示及特征1概念：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量2表示：用大写英文
2、字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.3特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点(2)所有可能取值是明确的知识点五离散型随机变量的分布列及其性质1定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(Xxi)pi，i1,2,3，n为X的概率分布列，简称分布列2分布列的性质(1)pi0，i1,2，n.(2)p1p2pn1.知识点六离散型随机变量的均值离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpnip
3、i是随机变量X的均值1 离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpnipi为随机变量X的均值或数学期望2 离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平3 离散型随机变量的均值的性质若YaXb，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aXb)aE(X)b.证明如下：如果YaXb，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量因此P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n，所以Y
4、的分布列为Yax1bax2baxibaxnbPp1p2pipn于是有E(Y)(ax1b)p1(ax2b)p2(axib)pi(axnb)pna(x1p1x2p2xipixnpn)b(p1p2pipn)aE(X)b，即E(aXb)aE(X)b.4.离散型随机变量的均值与方差的步骤:(1 )明确离散型随机变量的取值，以及取每个值的试验结果;(2 )求出离散型随机变量取各个值的概率;(3 )列出分布列;(4)利用公式求出离散型随机变量的均值E(X)与方差D(x).知识点七超几何分布超几何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数
5、.令p=MN , 则p是N件产品的次品率，而是抽取的 n件产品的次品率,则E( Xn )=p,即E(X)=np.题型探究离散型随机变量的均值与方差1均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛2掌握均值和方差的计算，重点提升逻辑推理和数据分析的核心素养例 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(
6、1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？解(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X5”P(X5)，P(A)1P(X5)，这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)，由已知，X1B，X2B，E
7、(X1)2，E(X2)2.E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).E(2X1)E(3X2)，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大正态分布1正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的3原则在生产生活中有广泛的应用2熟记正态分布的特征及应用3原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养例 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？解(1)设参赛学生的成绩为X，因为XN(70,100)，所以70，10.则P(X90)P(X50)1P(50X90)1P(2X2)(10.954 5)0.022 75，120.022 75527(人)因此，此次参赛学生的总数约为527人(2)由P(X80)P(X60)1P(60X80)1P(X)(10.682 7)0.158 65，5270.158 6584(人)因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人
