新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册第六章PPT课件（全册10份打包）.rar.rar

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口市联合举行，这是体坛的一大盛事，一名志愿者从成都赴北京为奥运会服务，从成都到北京每天有3个航班，2列火车该志愿者从成都到北京的方案可以分为几类？在这几类中各有几种方法？该志愿者从成都到北京共有多少种不同的方法？创设情境成都成都北京北京 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.探究新知因为英文字母共有因为英文字母共有26个，阿个，阿拉伯数字共有拉伯数字共有10个，所以总个，所以总共可以编出共可以编出26+10=36种不同种不同的号码的号码.探究新知 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？思考 你能说一说这个问题的特征吗?探究探究新知首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同这两类号码数相加就得到号码的总数上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（2）分别计算各类号码的个数；（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法一般地，有如下分类加法计数原理：概念形成注意：两类不同方案中的方法互不相同.例例1 1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,BA,B两所大学各有两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：一些自己感兴趣的强项专业，如表：A大学大学B大学大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学典例分析如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？分析分析：要完成的事情是要完成的事情是“选一个专业选一个专业”.因为这名同学在因为这名同学在A,BA,B两两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.解：解：这名同学可以选择这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在两所大学中的一所，在A大学中有大学中有5种专种专业选择业选择方法，在方法，在B大学中有大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数的专业选择种数N=5+4=9.分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类方案,且:第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有共有N=m1+m2+mn种种不同的方法.如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？探究探究新知N=m1+m2+m3分类计数结论将完成一件事的办法分成若干类求出每一类中的方法数将每一类中的方法数相加得最终结果归纳总结利用分类加法计数原理解题的一般思路：注意：确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事.探究新知 用前6个大写的英文字母和19个阿拉伯数字,以A1,A2,A9,B1,B2,的方式给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码？思考这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样的两个步骤方法二：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有 6954 种不同的号码字母数字得到的号码A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来左图是解决计数问题常用的“树状图”你能用树状图列出所有可能的号码吗？你能说一说这个问题的特征吗?探究探究新知上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的 上述计数过程的基本环节是：（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；（2）分别计算各步号码的个数；（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.无论第无论第1 1步采用步采用哪种方法，与之对哪种方法，与之对应的第应的第2 2步都有相同步都有相同的方法数的方法数.完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法 一般地，有如下分步乘法计数原理：概念形成注意：注意：各个步骤相互依存各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事才这件事才算完成算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理又称乘法原理.例例2 2 某班有男生某班有男生3030名，女生名，女生2424名名.从中选出男、女生各从中选出男、女生各1 1名代表班级名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？参加比赛，共有多少种不同的选法？解：第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；根据分步计数原理，共有 3024=720种不同方法.分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可分两步：第一步,选男生；第二步,选女生.典例分析 如果完成一件事有三个步骤,做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?探究探究新知Nm1m2mnNm1m2m3 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数为例例3书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第2层放有层放有3本不同的文本不同的文艺书艺书,第第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多少种不同的取法有多少种不同的取法?(2)从书架的第从书架的第1层层、第第2层层、第第3层各取层各取1本书本书,有多少种不同取法有多少种不同取法?解：（1）根据分类加法计数原理可得：N43+29；典例分析（2）根据分步乘法计数原理可得：N4 3224.分步计数结论将完成一件事的过程分成若干步求出每一步中的方法数将每一步中的方法数相乘得最终结果归纳总结利用分步乘法计数原理解题的一般思路：注意：确定分步标准时要确保每一步都不能独立地完成这件事.19区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理联系分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题.区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”每类办法中的任何一种方法都能独立完成这件事情.每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情.区别二区别三各类办法是互斥的、独立的各步之间是相关联的分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系：课堂小结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数归纳两大原理妙无穷,茫茫数理此中求;万万千千说不尽,运用解题任驰骋。6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理2分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点不同点注意点复习引入用来计算“完成一件事”的方法种数 每类方案中的每一种方法都能_完成这件事每步_才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整独立依次完成分类完成，类类相加分步完成，步步相乘例4要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？左边右边得到的挂法甲乙丙甲丙甲乙丙乙左甲右乙左甲右丙左乙右甲左乙右丙左丙右甲左丙右乙典例分析分析：要完成的一件事是“从 3 幅画中选出 2 幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成:第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N=32=6.例5 给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首字符要求用字母 AG 或 UZ，后两个字符要求用数字 19，最多可以给多少个程序模块命名？典例分析解:由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.后两个字符从19中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是1399=1053,即最多可以给1053个程序模块命名.分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第 1 步，选首字符；第 2 步，选中间字符；第 3 步，选最后一个字符而首字符又可以分为两类例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因此计算机内部就采用了每一位只有 0 或 1 两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用 1 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成（1）1 个字节（8 位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码包含了 6 763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？典例分析第 1 位第 2 位第 3 位第 8 位2 种2 种2 种2 种第 1 位第 2 位第 3 位第 8 位2 种2 种2 种2 种解:(1)用右图表示1个字节.1个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是22222222=28=256.(2)由(1)知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256256=65536这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线),以便知道需要提供多少个测试数据.一般地,一个程序模块由许多子模块组成.右图是一个具有许多执行路径的程序模块,它有多少条执行路径？另外,为了减少测试时间,程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法,以减少测试次数吗？典例分析开始结束子模块 118 条执行路径子模块 245 条执行路径子模块 328 条执行路径子模块 438 条执行路径子模块 543 条执行路径A解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91子模块4、子模块5中的子路径条数共38+43=81又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为9181=7371 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为32=6.如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常，这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178.显然，178与7371的差距是非常大的.在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如下图所示0冀 A JR005省、自治区、直辖市简称发牌机关代号序号典例分析其中，序号的编码规则为：（1）由 10 个阿拉伯数字和除 O，I 之外的 24 个英文字母组成；（2）最多只能有 2 个英文字母如果某地级市发牌机关采用 5 位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？解:由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.(1)当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为1010101010=100000(2)当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.当第1位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步,从24个字母中选1个放在第1位,有24种选法;第25步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法,根据分步乘法计数原理,号牌张数为2410101010=240000 同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为 240000+240000+240000+240000+240000=1200000(3)当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第35步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为2424101010=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为57600010=5760000.综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数归纳乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似的关系吗？思考 (1)有些计数问题既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，此时就要注意综合运用两个计数原理来解决问题解决这类问题时，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要有明确的分类标准和分步程序 (2)在既需要分类又需要分步的题目中，可以先根据对题意的理解，合理地画出示意图（如树形图）或列出表格，使问题的实质能直观地表示出来.1某电话局管辖范围内的电话号码由 8 位数字组成，其中前 4 位的数字是不变的，后 4 位数字都是 09 之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？2从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？课堂练习10 000 个20 种3乘积(a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4c5)展开后共有多少项？4在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个？45 项45 个5由数字1,2,3,4,5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？125 个错解1 第一步，第1位同学去夺这3项冠军，有可能1项都不夺或夺1项、2项、3项，因此有4种不同的情况；第二步，第2位同学去夺这3项冠军也有4种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有4种不同的情况由分步乘法计数原理，共有444444256种不同的情况1.4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有多少种不同的情况？易错疑难辨析：易错疑难辨析：错解2第一步，第1位同学去争冠军，有3种不同的情况；第二步，第2位同学去争冠军，也有3种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有3种不同的情况由分步乘法计算原理，共有33333481种不同的情况1.4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有多少种不同的情况？易错疑难辨析：易错疑难辨析：辨析 完成夺取冠军这件事，即每项冠军都有人夺取错解1中可能有4位同学都不得冠军以及1项冠军不止1人获得这种情况，与题意不符；错解2中可能有1项冠军不止1人获得这种情况，也不符合题意正解 可分三步完成，第一项冠军被4名同学争夺，一定是其中1名而且只能是其中一名同学获得，共有4种不同的情况；同理其余2项冠军分被4名同学中的1名获得，各有4种不同的情况由分步乘法计算原理，共有4444364种不同的夺得冠军的情况1.现有高一四个班学生34个，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？巩固练习分类求解分步求解先分类后分步解：(1)分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N7891034种(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N789105 040种(3)分六类，每类又分两步：从一班、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法，所以共有不同的选法N787971089810910431种方法总结对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类课堂小结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数归纳两大原理妙无穷,茫茫数理此中求;万万千千说不尽,运用解题任驰骋。6.2.1 排列2创设情境思考：1.“要完成的一件事”是什么？2.如何完成？第1步：确定参加上午活动的同学，从3人中任选1名，有3种选法.第2步：确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法.根据乘法计数原理，不同的选法种数为N=32=6种.“分步分步”下午相应的选法上午甲丙乙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙乙丙甲丙甲乙探究新知问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？第1步：确定百位上的数字,从1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步：确定十位上的数字,当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3个数字中去取,有3种方法；第3步：确定个位上的数字,当百位、十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下的2个数字中去取,有2种方法.问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？探究新知思考：1.“要完成的一件事”是什么？2.如何完成？“分步分步”根据乘法计数原理，不同的选法种数为N=432=24种种 种种种种百位：十位：个位：问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？探究新知树状图如下图所示：由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143;213,214,231,234,241,243;312,314,321,324,341,342;412,413,421,423,431,432.实质是:从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法.实质是:从4个不同的元素中,任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法.问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？上述问题1，问题2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？思考探究新知 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement).注意：1.元素不能重复.2.“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.3.两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.4.mn时的排列叫选排列,mn时的排列叫全排列。5.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树状图”.（有序性）（互异性）排列的定义：概念形成1.判断下列问题是排列问题吗？(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(2)从1,2,3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？(3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？(5)10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？(6)从高二(1)班全体同学中选5人组成课外数学学习小组.(7)从高二(1)班全体同学中选5人分别参加校运动会的5个运动项目.（从中归纳这几类问题的区别）是排列不是排列是排列是排列不是排列是排列小试牛刀是排列不是排列（1）首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m(mn)个不同的元素，否则不是排列问题。（2）要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列.而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.排列问题的判断方法：方法归纳解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为65=30.例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.典例分析例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？典例分析分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜；可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.思考：这两个问题的区别在哪里？解：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为：543=60.(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种；有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的选法种数为：555=125.例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？典例分析1.A,B,C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为()A.3 B.4 C.6 D.12C3有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，女生甲不担任英语科代表，则不同的选法共有_种(用数字作答)巩固练习58802有2张卡片的正反面，分别写上1和2,4和5，将它们并排组成两位数，则不同的两位数的个数为_84.从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数(1)能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数；(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个？并写出这些三位数解：(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法由分步乘法计数原理得共有33218个不同的三位数画出右面的树形图：(2)直接画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.5.学校兵兵球团体比赛采用5场3胜制(5场单打),每支球队派3名运动员参赛,前3场比赛每名运动员各出场1次,其中第1,2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次.(1)5名运动员中选3名参加比赛,前3场比赛有几种出场情况?(2)甲、乙、丙3名运动员参加比赛,写出所有可能的出场情况.解：(1)543=60(2)可分为三类:第一类,3场决胜负：有321=6种:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲.第二类,4场决胜负：有3212=12种:甲乙丙甲,甲乙丙乙,甲丙乙甲,甲丙乙丙,乙甲丙乙,乙甲丙甲,乙丙甲乙,乙丙甲丙,丙甲乙丙,丙甲乙甲,丙乙甲丙,丙乙甲乙.第三类,5场决胜负：有32121=12种:甲乙丙甲乙,甲乙丙乙甲,甲丙乙甲丙,甲丙乙丙甲,乙甲丙乙甲,乙甲丙甲乙,乙丙甲乙丙,乙丙甲丙乙,丙甲乙丙甲,丙甲乙甲丙,丙乙甲丙乙,丙乙甲乙丙.因此,全部顺序共有6+12+12=30种.一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).1.排列的定义：2.排列问题的判断方法：(1)元素的无重复性(2)元素的有序性判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.课堂小结6.2.2 排列数2 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).1.排列的定义：2.排列问题的判断方法：(1)元素的无重复性(2)元素的有序性判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.复习引入排列数的定义和表示：我们把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示.探究新知 例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为 .已经算得 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为 .已经算得排列数与排列的区别：一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数.从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (mn)是多少？探究探究新知第1位第2位n 种(n-1)种追问1:如何求排列数？第1位第2位n 种(n-1)种第3位(n-2)种追问2:如何求排列数？假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数 .第1位第2位n 种(n-1)种第3位(n-(m-1)种第m位(n-2)种.探究新知利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式:一般地，求排列数 可以按依次填m个空位来考虑：排列数公式的连乘形式探究新知(1)观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？(2)比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？(3)利用排列数公式，计算 .？思考 特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.这时，排列数公式中m=n，即有 将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n!表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成 .我们规定，0!=1.例3 计算：解：根据排列数公式，可得：典例分析排列数公式的阶乘形式排列数公式的连乘形式探究新知 由例3可以看到，,观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？思考证：例4 证明:(1)；(2).典例分析(1)(2)排列数的性质变式练习：1.证明：.证明：例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在09这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法.百位十位个位典例分析 第1步，确定百位上的数字，可以从19这9个数字中取出1个，有 种取法；根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:解法2：符合条件的三位数可以分成三类：百位十位个位0百位十位个位0百位十位个位第3类,十位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位,有 种取法.第2类,个位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位,有 种取法；第1类,每一位数字都不是0的三位数,可以从19这9个数字中取出3个,有 种取法；根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？典例分析解法3:从09这10个数字中选取3个的排列数为 即所求三位数的个数为它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数其中0在百位上的排列数为 例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？典例分析带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则直接法间接法位置分析法元素分析法以位置为主，优先考虑特殊位置以元素为主，优先考虑特殊元素先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数方法归纳分步先分类后分步1.从从5人中选人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？解法一解法一:(特殊元素法特殊元素法)第一类第一类:不选甲，则从剩下的不选甲，则从剩下的4人中选人中选3人排列，有人排列，有 种种;第二类第二类:选甲选甲,先排甲有先排甲有 种，然后从剩下的种，然后从剩下的4人中选人中选2人人排列排列有有 种，则共有种，则共有 种种;所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法.巩固练习解法二解法二:(特殊位置法特殊位置法)第一步第一步:从其余从其余4位同学中找位同学中找1人站排头人站排头,有有 种种;第二步第二步:剩下的剩下的4人人(含甲含甲)中找中找2人排列人排列,有有 种种;所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法.1.从从5人中选人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？巩固练习解法三解法三:(间接法间接法)所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法.先从先从5人中选人中选3人排列人排列,有有 种种 然后计算甲站排头有然后计算甲站排头有 种种2.排列数公式：1.排列数的定义和表示：3.n个元素的全排列数公式：0!=1 把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示.4.求解排列问题的方法：课堂小结(1)直接法：位置分析法，元素分析法(2)间接法6.2.3 组合问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲乙，甲丙，乙丙问题引入 从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组有顺序无顺序排列组合甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙探究新知 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination).注意：(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.(2)组合的特性：元素的无序性.取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求.组合定义:共同点:都是“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，排列的有序性 而组合则与元素的顺序无关，组合的无序性探究新知你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？探究组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙排列 问题一和问题二中“排列”和“组合”的对应关系：1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?组合排列(4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合组合组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.小试牛刀(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价?(5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合(6)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?(7)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?组合排列组合排列校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色、绿色的各3辆.从