1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,考点一 数量积的定义及模、夹角运算,1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 D 当|a|=|b|=0时,|a|=|b|a+b|=|a-b|. 当|a|=|b|0时,|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2ab=0ab,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出 ab.故选D.,解后反思 由向量加、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当ab时,|
2、 a+b|=|a-b|.,评析 本题考查向量的模及运算性质,属容易题.,2.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m= .,答案 -1,解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,ab=-1, 由a(ma-b)得a(ma-b)=0,即ma2-ab=0, 即m-(-1)=0,m=-1.,3.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1, ),b=( ,1),则a与b夹角的大小为 .,答案,解析 cos= = = , a与b夹角的大小为 .,考点二 数量积的综合应用,1.(2017北京文,12,5分)已
3、知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则 的最大值 为 .,答案 6,解析 解法一: 表示 在 方向上的投影与| |的乘积,当P在B点时, 有最大 值,此时 =23=6. 解法二:设P(x,y),则 =(2,0)(x+2,y)=2x+4,由题意知-1x1,x=1时, 取最大值6, 的最大值为6.,2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则 的值为 ; 的最大值为 .,答案 1;1,解析 如图所示: 以A点为原点,AB边所在直线为x轴,AD边所在直线为y轴建立直角坐标系,则正方形各顶点坐 标分别为A(0,0),B(1,0),C
4、(1,1),D(0,1),设E(a,0),0a1. =(a,-1)(0,-1)=a0+(-1)(-1)=1. =(a,-1)(1,0)=a+(-1)0=a1,故 的最大值为1.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 数量积的定义及模、夹角运算,1.(2019课标全国文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ( ) A. B.2 C.5 D.50,答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|= = ,故选A.,一题多解 a=(2,3),b=(3,2),|a|2=
5、13,|b|2=13,ab=12,则|a-b|= = = .故选A.,2.(2019课标全国理,3,5分)已知 =(2,3), =(3,t),| |=1,则 = ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3,答案 C 本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方 程的思想方法.考查的核心素养为数学运算. = - =(1,t-3), | |= =1,t=3, =(2,3)(1,0)=2.,思路分析 先利用| |=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积.,3.(2019课标全国理,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为
6、( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思 想;考查的核心素养是数学建模和数学运算. 解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos = ,又知0,所以= ,故选B. 解法二:如图,令 =a, =b,则 = - =a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以 AOB= ,即= .故选B.,思路分析 本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形 中,由题设直接得到两向量的夹角.,4.(201
7、8课标,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)= ( ) A.4 B.3 C.2 D.0,答案 B 因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选B.,5.(2016课标,3,5分)已知向量 = , = ,则ABC= ( ) A.30 B.45 C.60 D.120,答案 A cosABC= = ,所以ABC=30,故选A.,思路分析 由向量的夹角公式可求得cosABC的值,进而得ABC的大小.,6.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos= .若n(tm+n),则实数t的值为 ( )
8、 A.4 B.-4 C. D.-,答案 B 因为n(tm+n),所以tmn+n2=0,所以mn=- ,又4|m|=3|n|,所以cos= = =- = ,所以t=-4.故选B.,7.(2019课标全国文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos= .,答案 -,解析 本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运 算法则与运算方法的素养要素. 由题意知cos= = =- .,8.(2019课标全国理,13,5分)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a- b,则cos= .,答案,解析 本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计
9、算;通过向量的数量积、 夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养. |a|=|b|=1,ab=0, ac=a(2a- b)=2a2- ab=2, |c|=|2a- b|= = =3. cos= = .,小题巧解 不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)- (0,1)=(2,- ),cos= = .,方法总结 利用数量积求解向量模的处理方法: a2=aa=|a|2或|a|= ; |ab|= .,9.(2017课标全国文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .,答案 7,解析 解法一:a=(-1,2),b=(m,1)
10、, a+b=(m-1,3),(a+b)a, (a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 解法二:由已知可得(a+b)a=aa+ba=1+4-m+2=0,解得m=7. 解法三:如图,设a= ,b= ,a+b= ,由于向量a+b与a垂直,可知COB为直角三角形,故|a|2+|a +b|2=|b|2,即1+4+(m-1)2+32=m2+1,解得m=7.,10.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若 e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数 的值是 .,答案,解析 由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则 e1-e2=( ,-1),e1+e2=(1,).根
11、据向量的夹角公式得 cos 60= = = ,所以 -= ,解得= .,疑难突破 根据“e1,e2是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题 的突破口.,易错警示 对向量的夹角公式掌握不牢而致错.,11.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为 .,答案 -5,解析 因为a(ta+b),所以a(ta+b)=0,即ta2+ab=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|= ,ab=16 +(-1)(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.,方法总结 正确利用两向量垂直的充要条件是构造关于t
12、的方程的前提.两非零向量a=(x1,y1) 与b=(x2,y2)垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0.,评析 本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考 查学生的运算求解能力以及方程思想的应用.,12.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2= .若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|= .,答案,解析 令e1与e2的夹角为,e1e2=|e1|e2|cos =cos = ,又0180,=60.因为b(e1-e2)=0, 所以b与e1、e2的夹角均为30,从而|b|= = .,考点二 数量积的综合应用,1.(2018天津文,8
13、,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120, =2 , =2 ,则 的值为 ( ) A.-15 B.-9 C.-6 D.0,答案 C 解法一:连接OA. = - =3 -3 =3( - )-3( - )=3( - ), =3( - ) =3( -| |2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.故选C. 解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分 别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为MON=120,ON=2,OM=1,所以O ,C ,M ,B . 故 = =- - =-6.故选C.,2.(2018
14、天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若 点E为边CD上的动点,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D.3,答案 A 本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0), B ,C(0, ),令E(0,t),t0, , =(-1,t) =t2- t+ ,t0, ,当t =- = 时, 取得最小值,( )min= - + = .故选A. 解法二:令 = (01),由已知可得DC= , = + , = + = + + , =( + )( + + ) =
15、 +| |2+ +2| |2 =32- + .,当=- = 时, 取得最小值 .故选A.,方法总结 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可 用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.,3.(2017课标,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 ( + )的最小值是 ( ) A.-2 B.- C.- D.-1,答案 B 设BC的中点为D,AD的中点为E, 则有 + =2 , 则 ( + )=2 =2( + )( - )=2( - ). 而 = = , 当P与E重合时, 有最小值0,故此时 ( + )取最小值,最小值为-2 =-2
16、 =- .,方法总结 在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用 = - 可 快速求出最值.,一题多解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图, 则A(-1,0),B(1,0),C(0, ),设P(x,y),取BC的中点D,则D . ( + )=2 =2(-1-x,-y) =2 =2 . 因此,当x=- ,y= 时, ( + )取得最小值,为2 =- ,故选B.,4.(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则 的值为 ( ) A.- B. C. D.,答案 B 建
17、立如图所示的平面直角坐标系. 则B ,C ,A ,所以 =(1,0). 易知DE= AC,FEC=ACE=60,则EF= AC= , 所以点F的坐标为 , 所以 = , 所以 = (1,0)= .,疑难突破 利用公式ab=|a|b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系, 利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.,评析 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积,考查运算求解能力和数形结合思想.,5.(2015福建,9,5分)已知 ,| |= ,| |=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且 = + ,则 的最大值等于 ( ) A.13 B.15 C.19 D.21,答案 A
18、以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B (t 0),C(0,t),P(1,4), = (-1,t-4)=17- 17-22=13 ,故 的最大值为13,故选A.,6.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 =6 ,则 的值是 .,答案,解析 本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查 学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算. 过D作DFEC,交AB于F. D为BC的中点,F为BE的中点, 又BE=2EA,EF=EA, 又DFEO,AO
19、= AD, = = ( + ). = ( + ) = ., =6 , = - + , =3 ,| |= | |, = .,7.(2019天津理,14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2 ,AD=5,A=30,点E在线段CB的延 长线上,且AE=BE,则 = .,答案 -1,解析 本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考 查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学 生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,EAB=30, 在EAB中,AB=2 ,EA=
20、EB=2. 以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示.,则A(0,0),D(5,0),E(1, ),B(3, ), =(2,- ), =(1, ), =(2,- )(1, )=-1.,解法二:同解法一,得AB=2 , 以 , 为一组基底, 则 = - , = + = - , =( - ) = - + - = - - = 52 -12- 25=-1.,8.(2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - (R),且 =-4,则的值为 .,答案,解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积. 如图,由 =2 得 = + , 所以 =
21、 ( - )= - + - , 又 =32cos 60=3, =9, =4, 所以 =-3+ -2= -5=-4,解得= .,思路分析 根据 =2 得 = + ,利用 =-4以及向量的数量积建立关于的 方程,从而求得的值.,一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2, BAC=60,所以B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以D ,所以 = ,而 = - = (1, )-(3,0)=(-3, ),因此 = (-3)+ = -5=-4, 解得= .,9.(2015安徽,15,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 =2a, =2
22、a+b,则下 列结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号) a为单位向量; b为单位向量; ab; b ; (4a+b) .,答案 ,解析 =2a,| |=2,2|a|=2,|a|=1,故正确. 由 = - =2a+b-2a=b,知正确, 又|b|=| |=2,故不正确. 由ab= = 22 =-1,知不正确. 由(4a+b) =(2 + ) =2 + =222 +4=0,知正确.综上,结论正确的是 .,C组 教师专用题组,考点一 数量积的定义及模、夹角运算,1.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D
23、.,答案 C 因为a(2a+b),所以a(2a+b)=0, 得到ab=-2|a|2,设a与b的夹角为,则cos = = =- ,又0,所以= ,故选C.,2.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中 的是 ( ) A.|ab|a|b| B.|a-b|a|-|b| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2,答案 B 设向量a,b的夹角为,因为ab=|a|b|cos ,所以|ab|=|a|b|cos |a|b|,A成立;由向量 的运算律易知C,D成立.故选B.,3.(2015湖北,11,5分)已知向量 ,| |=3,则 = .,答案 9,解析 , =
24、0, 即 ( - )=0, = =9.,4.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分别 在线段BC和DC上,且 = , = ,则 的最小值为 .,答案,解析 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C ,D . 由 = 得E , 由 = 得F . 从而 = = + + +2 = 当且仅当= 时,取等号 .,考点二 数量积的综合应用,1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,向量b满足 b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是 ( ) A.
25、 -1 B. +1 C.2 D.2-,答案 A 本小题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离. 设 =a, =b, =e,以O为原点, 的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨 设A点在第一象限,a与e的夹角为 ,点A在从原点出发,倾斜角为 ,且在第一象限内的射 线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而 = a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y= x(x0)的距 离减去圆的半径,|a-b|min= -1.
26、选A.,一题多解 将b2-4eb+3=0转化为b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 设 =e, =a, =b, =3e, =2e,则 , 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. |a-b|=| |,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离 减去圆的半径. | |=2,AOM= ,|a-b|min=2sin -1= -1.,2.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,| |=6,| |=4.若点M,N满足 =3 , = 2 ,则 = ( ) A.20 B.15 C.9 D.6,答案 C 依题
27、意有 = + = + , = + = - = - ,所以 = = - =9.故选C.,3.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 与 的夹角 为,且tan =7, 与 的夹角为45.若 =m +n (m,nR),则m+n= .,答案 3,解析 解法一:tan =7,0, cos = ,sin = , 与 的夹角为, = , =m +n ,| |=| |=1,| |= , = , 又 与 的夹角为45, = = , 又cosAOB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45 = - =- , =| | |cosAOB=- ,将其代
28、入得m- n= , - m+n=1, 两式相加得 m+ n= , 所以m+n=3. 解法二:过C作CMOB,CNOA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N, 则 =m , =n , 由正弦定理得 = = , | |= ,由解法一知,sin = ,cos = , | |= = = , | |= = = , 又 =m +n = + ,| |=| |=1,m= ,n= ,m+n=3.,4.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|ae|+|be| ,则ab的最 大值是 .,答案,解析 对任意单位向量e,均有 |ae|+|be|ae+be|=|(a
29、+b)e|, |a+b| ,当且仅当a+b与e共线时,等号成立. a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2, ab ,即ab的最大值为 .,5.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5, =3 , =2,则 的值是 .,答案 22,解析 =( + )( + ) = = - + =25- 64- =13- =2, 故 =22.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 数量积的定义及模、夹角运算,1.(2018北京朝阳一模,4)已知a,b为非零向量,则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充
30、分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 B a,b为非零向量, ab0cos0 , 而a,b的夹角为锐角 , 又 , 故选B.,2.(2017北京丰台二模,5)已知向量a= ,b=( ,-1),则a,b的夹角为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由题意可得cos= = = = ,a,b的夹角为 ,故选B.,3.(2018北京顺义二模文,7)向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,则ab等于 ( ) A. B.1 C.-1 D.-2,答案 D 由题图可知,a=(-1,1),b=(-1,-3), 则ab=1-3=-2,故选D.,4.(2019北京朝阳二模文,5)已知平面向
31、量a,b的夹角为 ,且|a|=1,|b|=2,则|a+b|= ( ) A.3 B. C.7 D.,答案 B |a+b|= = = = .故选B.,5.(2019北京丰台二模文,9)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1,则向量a,b的夹角为 .,答案,解析 ab=|a|b|cos=2cos=1,所以cos= ,所以向量a与b的夹角为 .,易错警示 运用平面向量数量积的定义并注意向量夹角的范围是0,.,6.(2019北京西城一模文, 9)设向量a,b满足|a|=2,|b|=3,=60,则a(a+b)= .,答案 7,解析 a(a+b)=aa+ab=|a|2+|a|b|cos=4+2
32、3 =7.,7.(2019北京东城一模,12)已知向量a=(1, ),向量b为单位向量,且ab=1,则2b-a与2b的夹角为 .,答案,解析 由题意得,|a|=2,|b|=1,ab=1, 而|2b-a|= = =2, cos= = . 则2b-a与2b的夹角为 .,8.(2018北京海淀二模,11)已知平面向量a,b的夹角为 ,且满足|a|=2,|b|=1,则ab= ,|a+2 b|= .,答案 1;2,解析 ab=|a|b|cos=21 =1,|a+2b|= = = =2 .,考点二 数量积的综合应用,1.(2018北京西城期末,6)设a,b是非零向量,且a,b不共线.则“|a|=|b|”是
33、“|a+2b|=|2a+b|”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 由|a+2b|=|2a+b|,两边平方得, |a+2b|2=|2a+b|2, 即|a|2+4ab+4|b|2=4|a|2+4ab+|b|2, 所以3|a|2=3|b|2,即|a|=|b|, 所以“|a|=|b|”是“|a+2b|=|2a+b|”的充分必要条件,故选C.,2.(2018北京朝阳二模,5)如图,角,均以Ox为始边,终边与单位圆O分别交于点A,B,则 = ( ) A.sin(-) B.sin(+) C.cos(-) D.cos(+),答案 C 解法一
34、: =| | |cos=11cos(-)=cos(-)=cos(-).故选C. 解法二:由三角函数的定义得A(cos ,sin ),B(cos ,sin ), =(cos ,sin )(cos ,sin )= cos cos +sin sin =cos(-).,3.(2019北京门头沟一模,5)已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且其夹角为,则“|a-b|1”是“ ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 由题意|a-b|= = = = 1,得 2-2cos 1,从而有cos 1”是“ ”的充 分必要条件 .,4.(2018北
35、京海淀期末文,7)在ABC中,AB=AC=1,D是AC的中点,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A =( + ) = +| |2= + . 设BC=x,BCD=,则 =- cos , 在ABC中,由余弦定理得cos = = , 则 = . 易知x(0,2),代入上式得到 的取值范围是 .故选A.,方法点睛 本题考查向量基本定理的应用,向量数量积运算.解决向量的小题常用方法有:数形 结合法;向量的三角形法则,平行四边形法则等;建立平面直角坐标系将向量坐标化;向量基底 化,选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.,5.(2019北京顺义期末,6)设a,b是非零向量,则“a
36、b”是“|a+2b|=|a-2b|”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C |a+2b|=|a-2b|(a+2b)2=(a-2b)2ab=0,选C.,6.(2017北京东城期末,11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=8,则 等于 .,答案 44,解析 由a=5,b=7,c=8, 得cos A= = = . =bccos A=78 =44.,7.(2019北京海淀一模,11)已知向量a=(1,-2),同时满足条件:ab,|a+b|a|的一个向量b的坐 标为 .,答案 (-1,2)(答案不唯一),解析
37、 解法一:因为ab,所以设b=a=(,-2), 又因为|a+b|a|,所以|a+b|= , 解得-20,可取=-1,则b=(-1,2). 解法二:设b=a,当0时,显然|a+b|a|,不满足题意, 所以0,其中当=-1时,b=(-1,2),|a+b|=0|a|,满足题意,此时两向量互为相反向量. 解法三:设b=(x,y),ab,y=-2x, a+b=(x+1,y-2),|a+b|= . |a+b|a|,|a|= , ,(x+1)2+(y-2)25, (x+1)2+(-2x-2)2=5(x+1)25,即(x+1)21, -2x0,取x=-1,则y=2,b=(-1,2).(答案不唯一),B组 20
38、172019年高考模拟专题综合题组 时间:30分钟 分值:50分 一、选择题(每小题5分,共20分),1.(2019北京昌平期末,4)设a是单位向量,b是非零向量,则“ab”是“a(a+b)=1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 若ab,则a(a+b)=aa+ab=1,所以充分性成立,若a(a+b)=1,则aa+ab=1+ab=1,所以 ab=0,即ab,所以必要性成立.故选C.,2.(2017北京西城二模,6)设a,b是平面上的两个单位向量,ab= .若mR,则|a+mb|的最小值是 ( ) A. B. C. D.,答案
39、 C 由题意得|a+mb|2=a2+2mab+m2b2=1+ m+m2= + ,故当m=- 时,|a+mb|2取得 最小值,为 ,此时|a+mb|取得最小值,为 ,故选C.,3.(2019北京首师大附中一模,6)如图,平面四边形ABCD中,ABC=ADC=90,BC=CD=2,点E 在对角线AC上,AC=4,AE=1,则 的值为 ( ) A.17 B.13 C.5 D.1,答案 D 由题意可知CE=3,BCE=60, EB= = = , cosBEC= = = , cosBED=2cos2BEC-1= . =EBEDcosBED= =1. 故选D.,思路分析 利用余弦定理求出EB,cosBEC
40、,再根据二倍角公式得出cosBED,从而可计算出 结果.,4.(2019北京西城二模文,5)设向量a,b满足|a|=2,|b|=1,=60,则|a+2b|= ( ) A.2 B.2 C. D.12,答案 B |a+2b|= = = =2 .,解后反思 运用|a|= 与ab=|a|b|cos进行求解.,5.(2018北京海淀一模,8)已知点M在圆C1:(x-1)2+(y-1)2=1上,点N在圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1上,则下 列说法错误的是 ( ) A. 的取值范围为-3-2 ,0 B.| + |的取值范围为0,2 C.| - |的取值范围为2 -2,2 +2 D.若 = ,则实数的
41、取值范围为-3-2 ,-3+2 ,答案 B 解法一:如图1,因为MON90,所以 0, 因为|OM|OC1|+|C1M|=1+ , |ON|OC2|+|C2N|=1+ , 所以 =|OM|ON|cos-( +1)2=-3-2 , 注意到当M(1,0),N(0,-1)时, =0, 当M ,N 时, =-( +1)2=-3-2 .选项A正确. 图1 如图2, + = + + + = + ,故| + | |+| |=2,选项B错误.,图2 如图3, - = = + + , 故| - |=| | |+| |+| |=2+2 , | - |=| |-| |+| |-| |=-2+2 , 当M ,N 时,
42、| |=2+2 ; 当M ,N 时,| |=-2+2 . 选项C正确. 图3 由题意0,且|= ,注意到|OM|,|ON| -1, +1, 故| ,故-3-2 ,-3+2 ,选项D正确. 解法二:如图,设M(1+cos ,1+sin ),N(-1+cos ,-1+sin ),=,0,2, , 则 =| | |cos = cos , 当= ,= ,=时, 取最小值,为-3-2 , 当= 时, 取最大值,为0,选项A正确. 设M(1+cos ,1+sin ),N(-1+cos ,-1+sin )(,0,2),则 + =(cos +cos ,sin +sin ), 故| + |= 0,2,当=时,|
43、 + |取得最大值2, 当-=时,| + |取得最小值0, 选项B错误. 选项C、D的判断同解法一.故选B.,解题关键 本题是一道综合题,考查了数形结合的思想方法、转化的思想方法、三角换元的 方法,灵活运用上述思想方法是解本题的关键.,二、填空题(每小题5分,共25分) 6.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足a(a+b)=0,2|a|=|b|,则向量a,b的夹角为 .,答案,解析 设a与b的夹角为,因为a(a+b)=0,所以aa+ab=0|a|a|+|a|b|cos =0, 又因为2|a|=|b|0,所以|a|a|+2|a|a|cos =0,即1+2cos =0,所以cos =
44、- ,从而= .,7.(2017北京海淀二模,13)在四边形ABCD中,AB=2.若 = ( + ),则 = .,答案 2,解析 由题意可知 = ( + )= = = = |AB|2=2.,8.(2017北京朝阳一模,13) 如图,AB1C1,C1B2C2,C2B3C3是三个边长为2的等边三角形,且有 一条边在同一条直线上,边B3C3上有2个不同的点P1,P2,则 ( + )= .,答案 36,解析 如图,延长C3B3,与AB2的延长线交于点D,则 ,易知| |=3 ,| |=2 , 所以 =| | |cosDAP1=| | |=2 3 =18,同理, =18, 所以 ( + )= + =36
45、.,解题关键 解决本题的关键是根据向量数量积的分配律展开求点积.,方法归纳 向量数量积的运算满足分配律,即a(b+c)=ab+ac.,9.(2018北京丰台一模,14)已知C是ABD所在平面上一点,ABAD,CB=CD=1. (1)若 =3 ,则 = ; (2)若 = + ,则| |的最大值为 .,答案 (1)- (2)2,解析 (1)因为 =3 ,所以C为线段AB的三等分点, 因为CB=CD=1,所以AB= ,AC= ,如图所示, 则 = ( - )= - =0- cos 0=- . (2)因为 = + , 所以| |=| + |= = = =| |, 如图所示,当点C是线段BD的中点时,BD取得最大值, 此时BD=BC+CD=2,所以| |的最大值为2.,方法点睛 本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算,对于平面向量的计 算问题,往往有两种形式:一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几 何图形的问题,建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的作用,利用向量夹角公式、模公 式及向量垂直的充要条件,可将有
