1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2014北京文,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x. (1)求f(x)在区间-2,1上的最大值; (2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围; (3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论),解析 (1)由f(x)=2x3-3x得f (x)=6x2-3. 令f (x)=0,得x=- 或x= . 因为f(-2)=-10, f = , f =- , f(1)=-1, 所以f(x)在区间-2,1上的最大值为f = . (2)设过点P(1,t)的直线与曲
2、线y=f(x)相切于点(x0,y0), 则y0=2 -3x0,且切线斜率为k=6 -3,所以切线方程为y-y0=(6 -3)(x-x0), 因此t-y0=(6 -3)(1-x0).整理得4 -6 +t+3=0. 设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”. g(x)=12x2-12x=12x(x-1). g(x)与g(x)的变化情况如下表:,所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值. 当g(0)=t+30,即t-3时,此时g(x)在区间(-,1和(1,+)上分别至多有1个零点,
3、所以g(x)至多 有2个零点. 当g(1)=t+10,即t-1时,此时g(x)在区间(-,0)和0,+)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多 有2个零点. 当g(0)0且g(1)0,所以g(x)分别在区间-1,0),0,1)和 1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-,0)和(1,+)上单调,所以g(x)分别在区间(-,0)和1,+ )上恰有1个零点. 综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1). (3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切; 过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切; 过点C(0,2)存在
4、1条直线与曲线y=f(x)相切.,评析 本题主要考查导数的几何意义、导数的应用及函数方程问题,考查学生运用导数研究 函数性质的能力,考查了函数与方程、等价转化等思想方法.,2.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y= 在点(1,0)处的切线. (1)求L的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.,解析 (1)设f(x)= ,则f (x)= . 所以f (1)=1.所以L的方程为y=x-1. (2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0,x1). g(x)满足g(1)=0,且g(x)=1-f (x)= . 当01时,
5、x2-10,ln x0,所以g(x)0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)g(1)=0(x0,x1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.,思路分析 (1)先求导,再求切线斜率,进而得出切线方程; (2)令g(x)=x-1-f(x),待证等价于g(x)0(x0,x1),再利用函数单调性和最值解决问题.,一题多解 (2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0,x1). 令h(x)=x(x-1)-ln x,则g(x)= ,并且h(1)=0, h(x)=2x-1- = . 当01时,h(x)0,h(x)单调递增. 所以,h(x)h(1)=0(x0
6、,x1). 因此g(x)0(x0,x1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.,3.(2013北京文,18,13分)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线y=f(x)在点(a, f(a)处与直线y=b相切,求a与b的值; (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.,解析 由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f (x)=x(2+cos x). (1)因为曲线y=f(x)在点(a, f(a)处与直线y=b相切, 所以f (a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1. (2)令f (x)=0,得x=0.
7、f(x)与f (x)的情况如下:,所以函数f(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增, f(0)=1是f(x)的最小值. 当b1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当b1时, f(-2b)=f(2b)4b2-2b-14b-2b-1b, f(0)=11时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两 个不同交点. 综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+).,思路分析 (1)根据题意可得f (a)=0, f(a)=b,联立解出a,b的值即可; (2)利用导数得出其单调性与最值,即可得b的取值范围.,评析 本题考查了导数的几何意
8、义及应用导数研究函数的基本性质,考查了分类讨论、数形 结合等数学思想,难度不大.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 导数的概念及其几何意义,1.(2019课标全国理,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1,答案 D 本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导 数的求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养. y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1, 2=ae+1,a=e-1.切点为(1,1
9、), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b, b=-1,故选D.,解题关键 正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.,2.(2019课标全国文,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为 ( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0,答案 C 本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗 透的核心素养是数学运算. 由题意可知y=2cos x-sin x,则y|x=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y+1=-2 (x-),即2x+y+1-2=
10、0,故选C.,小题速解 由题意得y=2cos x-sin x,则y|x=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有 C符合.故选C.,3.(2018课标全国,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x,答案 D 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,得a=1,f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,则曲线y=f(x) 在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.
11、,解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标. (2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入解析式,从而建立方程(组). (3)在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件.,4.(2019课标全国理,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .,答案 y=3x,解析 本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. y=3(x2+3x+1)ex,曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3,曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3 x.,解题关键
12、掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.,5.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .,答案 x+2y-2=0,解析 本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算 法则、导数的几何意义的理解和掌握程度. y=cos x- ,y=-sin x- ,y|x=0=- ,即曲线在(0,1)处的切线斜率为- ,切线方程为y-1=- (x -0),即x+2y-2=0.,方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:求导函数;把该点横坐标代 入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;用点斜式写出切线方程.,6.(201
13、9江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经 过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .,答案 (e,1),解析 本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数 学运算. 设A(x0,y0),由y= ,得k= , 所以在点A处的切线方程为y-ln x0= (x-x0). 因为切线经过点(-e,-1), 所以-1-ln x0= (-e-x0).所以ln x0= , 令g(x)=ln x- (x0), 则g(x)= + ,则g(x)0,g(x)在(0,+)上为增函数. 又g(e)=0,ln x= 有
14、唯一解x=e.x0=e. 点A的坐标为(e,1).,方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: 设切点为(x0, f(x0); 求k=f (x0); 得出切线的方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0); 由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.,7.(2018课标全国,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .,答案 2x-y-2=0,解析 本题主要考查导数的几何性质. 由y=2ln x得y= .因为k=y|x=1=2,点(1,0)为切点, 所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.,8.(2018课标全国,14,
15、5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .,答案 -3,解析 设f(x)=(ax+1)ex,则f (x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f (0)=a+1=-2, 解得a=-3.,9.(2017天津,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上 的截距为 .,答案 1,解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距. 由题意可知f (x)=a- ,所以f (1)=a-1, 因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a), 所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),
16、即y=(a-1)x+1. 令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.,易错警示 不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.,10.(2016课标全国,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线, 则b= .,答案 1-ln 2,解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得 y= ,由y=ln(x+1)得y= ,k= = ,x1= ,x2= -1,y1=-ln k+2,y2=-ln k.即A ,B ,A、B在直线y=kx+b上, ,
17、评析 解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.,11.(2016课标全国,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的 切线方程是 .,答案 y=2x,解析 当x0时,-x0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x.,评析 本题主要考查利用函数的性质求解析式,同时综合考查了导数的几何意义.属难题.,12.(2015课标,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则a=
18、.,答案 1,解析 由题意可得f (x)=3ax2+1,f (1)=3a+1, 又f(1)=a+2,f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过 点(2,7), 7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.,考点二 导数的运算,1.(2018天津,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为 .,答案 e,解析 本题主要考查导数的计算. f(x)=exln x, f (x)=ex , f (1)=e1(ln 1+1)=e.,2.(2016天津,10,5分)已知函数f(
19、x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为 .,答案 3,解析 f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f (0)=3.,C组 教师专用题组,1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3,答案 A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,则由题意知只需函数y=f(x) 满足f (x1)f (x2)=-1即可.y=f(x
20、)=sin x的导函数为f (x)=cos x,则f (0)f ()=-1,故函数y=sin x具有T 性质;y=f(x)=ln x的导函数为f (x)= ,则f (x1)f (x2)= 0,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=ex 的导函数为f (x)=ex,则f (x1)f (x2)= 0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f (x)=3 x2,则f (x1)f (x2)=9 0,故函数y=x3不具有T性质.故选A.,疑难突破 函数的图象在两点处的切线互相垂直等价于在这两点处的切线的斜率之积为-1, 即相应的导数之积为-1,这是解决此题的关键.,评析 本题为
21、创新题,主要考查导数的几何意义及直线相互垂直的条件,属于偏难题.,2.(2018课标全国,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .,答案 y=2x,解析 本题主要考查导数的几何意义. 因为y= ,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点, 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.,3.(2015课标,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .,答案 8,解析 令f(x)=x+ln x,求导得f (x)=1+ , f (1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线 方程为
22、y-1=2(x-1),即y=2x-1.因为直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,设切点为P(x0,y0),则y =2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=- ,又a +(a+2)x0+1=2x0-1,即a +ax0+2=0,当a=0时, 显然不满足此方程,x0=- ,此时a=8.,评析 本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.,4.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P的 坐标为 .,答案 (1,1),解析 函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0
23、,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00), 函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- , 则有k1k2=-1,即1 =-1, 解得 =1,又x00, x0=1.又点P在曲线y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,5.(2014课标全国,21,12分)设函数f(x)=aexln x+ ,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y =e(x-1)+2. (1)求a,b; (2)证明:f(x)1.,解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=aexln x+ ex- ex-1+ ex-1. 由
24、题意可得f(1)=2, f (1)=e. 故a=1,b=2. (2)由(1)知, f(x)=exln x+ ex-1,从而f(x)1等价于xln xxe-x- . 设函数g(x)=xln x,则g(x)=1+ln x. 所以当x 时,g(x)0.,故g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的最小值为g =- . 设函数h(x)=xe-x- ,则h(x)=e-x(1-x). 所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.,评析 本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及最值问题,考查等价转 化思想及逻辑推理
25、能力.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019清华中学生标准学术能力试卷文,8)已知点P在曲线y= 上,为曲线在点P处的切 线的倾斜角,则的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 C y= = ,由于ex+ 2 =2 当且仅当ex= ,即x= ln 3时 取等号 ,所以y ,所以 .,2.(2019北京通州期中文,11)曲线y=ex+1在点(0,2)处的切线方程为 .,答案 x-y+2=0,解析 易知y=ex,所以曲线y=ex+1在点(0,2)处切线的斜率为e0=1,故曲线y=ex+1在点(0,2)处的切 线方程为x-y+2=0.,评析 考查导数的几何
26、意义及直线的方程.,3.(2017北京平谷零模,18)已知函数f(x)=(1-k)x+ . (1)如果f(x)在x=0处取得极值,求k的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当k=0时,过点A(0,t)存在曲线f(x)的切线,求t的取值范围.,解析 (1)函数f(x)的定义域为R, f (x)= , 函数f(x)在x=0处取得极值, f (0)= =0,解得k=0, 当k=0时, f (x)= , f (x)= 0x0, f (x)= 0, f(x)在(-ln(1-k),+)上单调递增. (3)设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0), 即y- = (
27、x-x0), 将A(0,t)代入,得t= . 令M(x)= ,所以M(x)= . 当M(x)= =0时,x=0. 所以当x(-,0)时,M(x)0,函数M(x)单调递增; 当x(0,+)时,M(x)0,函数M(x)单调递减. 所以当x0=0时,M(x)取得最大值,且M(x)max=M(0)=1,无最小值. 故t1.,4.(2019北京海淀期中,17)已知函数f(x)=x3+x2+ax-1. (1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间; (2)求证:直线y=ax- 是曲线y=f(x)的切线; (3)写出a的一个值,使得函数f(x)有三个不同的零点(只需直接写出数值).,解析 (1)当a=-1时
28、, f(x)=x3+x2-x-1, f(x)的定义域为R, 则f (x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1), 令f (x)=0,解得x1= ,x2=-1, 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,所以f(x)的单调递增区间是(-,-1), ,单调递减区间是 . (2)证明:f (x)=3x2+2x+a, 设切点坐标为(x0,y0),则f (x0)=3 +2x0+a=a, 解得x0=0或x0=- , 因为f(0)=-1, f =- a- . 所以点(0,-1)不在直线y=ax- 上,舍去, 点 在直线y=ax- 上, 故直线y=ax- 是曲线y=f(x)的切线. (3)a
29、=-5(a-1即可). 方法总结 利用导数确定函数的单调区间时,可令导数大于零(或小于零),解不等式即可;利 用导数求曲线的切线问题时,一般先设出切点坐标,利用切点处的导数值就是切线的斜率,再结 合已知条件,问题就可以解决.,5.(2019北京大兴期末文,19)已知函数f(x)=x3-ax+ . (1)若x轴为曲线y=f(x)的切线,求a的值; (2)求函数f(x)在0,1上的最大值和最小值.,解析 (1)由x轴为y=f(x)的切线,设切点坐标为(x0,0), (1分) 则 -ax0+ =0, (2分) 易知f (x)=3x2-a,且f (x0)=0,即3 -a=0, (3分) 将代入,解得x
30、0= , 所以a= . (4分) (2)f (x)=3x2-a, 当a0, f(x)在0,1上单调递增, (5分) 所以当x=0时, f(x)取得最小值 . 当x=1时, f(x)取得最大值 -a. (7分) 当a3时, f (x)0, f(x)在0,1上单调递减, (8分) 所以当x=1时, f(x)取得最小值 -a. 当x=0时, f(x)取得最大值 .,当0a3时,令f (x)=0,解得x= , (9分) 当x变化时, f (x), f(x)在区间0,1的变化情况如下表:,所以当x= 时, f(x)取得最小值 - . (11分) 因为f(0)= , f(1)= -a, 所以当0a1时,
31、f(x)在x=1处取得最大值 -a, 当1a3时, f(x)在x=0处取得最大值 . (13分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:50分钟 分值:75分 一、填空题（每小题5分，共10分）,1.(2017北京海淀二模,19改编)已知函数f(x)=eax-x.若曲线y=f(x)在(0, f(0)处的切线l与直线x+2y +3=0垂直,则a= .,答案 3,解析 易知f (x)=aeax-1,因为曲线y=f(x)在(0, f(0)处的切线l与直线x+2y+3=0垂直,所以切线l的 斜率为2,所以f (0)=2,所以a=3.,2.(2017北京海淀一模文,20改编)已知函数f(x
32、)=ex-x2+ax,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线与x轴 平行,则a= .,答案 -1,解析 易知f (x)=ex-2x+a,由已知可得f (0)=0, 所以1+a=0,解得a=-1.,二、解答题(共65分) 3.(2019北京怀柔一模,18)已知函数f(x)=ln x-ax(a0). (1)当a=2时,求f(x)的单调区间与极值; (2)若对于任意的x(0,+),都有f(x)0,求a的取值范围.,解析 (1)当a=2时, f(x)=ln x-2x, 所以f (x)= -2= (x0). 所以当00;当x 时, f (x)0),且a0,所以当00; 当x 时, f (x)0.
33、所以函数f(x)在 上单调递增, 在 上单调递减. 所以函数f(x)在x= 处取得极大值,即最大值, f(x)max=f =ln -1.因为对于任意的x(0,+),都有f(x) , 即a的取值范围是 .,4.(2019北京大兴期末,18)已知函数f(x)= -aln x. (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,求a的值; (2)求函数y=f(x)在区间1,4上的极值.,解析 (1)因为f(x)= -aln x, 所以f (x)= - , 所以f (1)= -a. (2分) 因为y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0. 所以 -a= , (3分) 解得a=0
34、. (4分) (2)因为f(x)= -aln x,x1,4, 所以f (x)= - = , (6分) 当2a1,即a 时, f (x)0在1,4上恒成立, 所以y=f(x)在1,4上单调递增; 所以y=f(x)在1,4上无极值; (8分) 当2a2,即a1时, f (x)0在1,4上恒成立, 所以y=f(x)在1,4上单调递减,所以y=f(x)在1,4上无极值; (10分) 当12a2,即 a1时, 令f (x)=0,即 -2a=0,解得x=4a2. 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,所以当x=4a2时, f(x)有极小值2a-2aln(2a),无极大值. (13分),5
35、.(2019北京通州期末,19)已知函数f(x)=a2ln x-ax,其中a0. (1)求f(x)的单调区间; (2)设g(x)=x2-m,若曲线y=f(x),y=g(x)有公共点P,且在点P处的切线相同,求m的最大值.,解析 (1)f(x)的定义域为(0,+). (1分) f (x)= -a= (a0). (2分) 令f (x)=0,得x=a. (3分) 当x(0,a)时, f (x)0;当x(a,+)时, f (x)0),则f(x0)=a2ln x0-ax0,g(x0)= -m. 因为f (x)= -a,g(x)=2x, 所以f (x0)= -a,g(x0)=2x0. (6分) 由题意,得
36、 (7分),由,得x0= 或x0=-a(舍). (8分) 把x0= 代入,得m= a2-a2ln (a0). (9分) 设h(t)= t2-t2ln (t0), 则h(t)= t (t0). (10分) 令h(t)=0,得t=2 . (11分) 当00,h(t)单调递增; 当t2 时,h(t)0,h(t)单调递减, 所以h(t)在(0,+)上的最大值为h(2 )=2 , 即m的最大值为2 . (13分),6.(2018北京东城二模,19)设函数f(x)=2ln x-x2+ax+2. (1)当a=3时,求f(x)的单调区间和极值; (2)若直线y=-x+1是曲线y=f(x)的切线,求a的值.,解
37、析 f(x)的定义域为(0,+). (1分) (1)当a=3时, f(x)=2ln x-x2+3x+2, 所以f (x)= -2x+3= . 令f (x)= =0,得-2x2+3x+2=0, 因为x0,所以x=2. f(x)、 f (x)的变化情况如下表:,所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+). f(x)有极大值2ln 2+4,无极小值. (6分) (2)因为f(x)=2ln x-x2+ax+2, 所以f (x)= -2x+a. 设直线y=-x+1与曲线y=f(x)的切点坐标为(x0, f(x0), 所以f (x0)= -2x0+a= =-1, 即2 -(a+1)x
38、0-2=0. 又因为f(x0)=2ln x0- +ax0+2=-x0+1, 即2ln x0- +(a+1)x0+1=0, 所以2ln x0+ -1=0. 设g(x)=2ln x+x2-1,则g(x)= +2x(x0), 因为g(x)= 0, 所以g(x)在区间(0,+)上单调递增. 所以g(x)在区间(0,+)上有且只有一个零点.因为g(1)=0,故x0=1,所以a=-1. (13分),7.(2019北京丰台二模文,20)已知函数f(x)=x3-ax2. (1)当a=3时,求函数f(x)在区间0,2上的最小值; (2)当a3时,求证:过点P(1, f(1)恰有两条直线与曲线y=f(x)相切.,
39、解析 (1)当a=3时, f(x)=x3-3x2, f (x)=3x2-6x=3x(x-2). (2分) 当x0,2时, f (x)0, 所以f(x)在区间0,2上单调递减. (4分) 所以f(x)在区间0,2上的最小值为f(2)=-4. (5分) (2)证明:设过点P(1, f(1)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0), f (x)=3x2-2ax, f(1)=1-a, 所以 所以2 -(a+3) +2ax0+1-a=0. 令g(x)=2x3-(a+3)x2+2ax+1-a, 则g(x)=6x2-2(a+3)x+2a=(x-1)(6x-2a), 令g(x)=0得x=1或x= ,因为
40、a3,所以 1.,解析 (1)当a=3时, f(x)=x3-3x2, f (x)=3x2-6x=3x(x-2). (2分) 当x0,2时, f (x)0, 所以f(x)在区间0,2上单调递减. (4分) 所以f(x)在区间0,2上的最小值为f(2)=-4. (5分) (2)证明:设过点P(1, f(1)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0), f (x)=3x2-2ax, f(1)=1-a, 所以 所以2 -(a+3) +2ax0+1-a=0. 令g(x)=2x3-(a+3)x2+2ax+1-a, 则g(x)=6x2-2(a+3)x+2a=(x-1)(6x-2a), 令g(x)=0得x=1或x= , 因为a3,所以 1.,所以g(x)的极大值为g(1)=0, g(x)的极小值为g 0, 所以g(x)在 上有且只有一个零点. 所以g(x)在R上有两个零点. 即方程2 -(a+3) +2ax0+1-a=0有两个不相等实根, 所以过点P(1, f(1)恰有两条直线与曲线y=f(x)相切. (13分),
