1、江苏省南京师大附中2019届高三数学5月最后一卷试题(满分160分，考试时间120分钟)20195一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合Ax|x|1，xZ，Bx|0x2，则AB_2. 已知复数z(12i)(ai)，其中i是虚数单位若z的实部与虚部相等，则实数a的值为_3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是_4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是_5. 函数f(x)log2(1x)的定义域为_6.
2、 如图是一个算法流程图，则输出k的值为_(第6题)(第7题)7. 若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥PBCC1B1的体积为_8. 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第四象限内已知曲线C在点P处的切线方程为y2xb，则实数b的值为_9. 已知函数f(x)sin(2x)cos(2x)(00，b0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F1，F2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1PF1F2，则双曲线的离心率为_12. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，5)，点B是直线l：yx上位于第一象限内的一点已知以AB为
3、直径的圆被直线l所截得的弦长为2，则点B的坐标为_13. 已知数列an的前n项和为Sn，a11，a22，an2则满足2 019Sm3 000的正整数m的所有取值为_14. 已知等边三角形ABC的边长为2，2，点N，T分别为线段BC，CA上的动点，则取值的集合为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是.(1) 求cos()的值；(2) 若以x轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为，求的值16. (本
4、小题满分14分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.17. (本小题满分14分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设BOP为2.(上述图形均视作在同一平面内)(1) 记四边形COPQ的周长为f()，求f()的表达式；(2)
5、要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin 的值18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x4和直线x1相交于点M，N.试判断是否为定值，并说明理由19. (本小题满分16分)已知数列an满足a1a2an2(nN*)，数列bn的前n项和Sn(nN*)，且b11，b22.(1) 求数列an的通项公式；(2) 求数列bn的通项公式；(3) 设cn，记Tn是数列cn的前n项和，求正整数m，使得对于任意的n
6、N*均有TmTn.20. (本小题满分16分)设a为实数，已知函数f(x)axex，g(x)xln x.(1) 当a0恒成立，求b的取值范围；(3) 若函数h(x)f(x)g(x)(x0，xR)有两个相异的零点，求a的取值范围2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A，二阶矩阵B满足AB.(1) 求矩阵B；(2) 求矩阵B的特征值B. (选修44：坐标系与参数方程)设a为实数，在极
7、坐标系中，已知圆2asin (a0)与直线cos()1相切，求a的值C. (选修45：不等式选讲)求函数y的最大值【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90，ADAP4，ABBC2，点M为PC的中点(1) 求异面直线AP与BM所成角的余弦值；(2) 点N在线段AD上，且AN，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求的值23. 在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1
8、，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，1)这四个点中的任一位置记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L(n)(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求L(n)的表达式2019届高三模拟考试试卷(南师附中)数学参考答案及评分标准1. 0，12. 33. 184. 5. 0，1)6. 37. 8. 139. 10. 1811. 12. (6，3)13. 20，2114. 615. 解：因为锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知sin .从而cos .(3分)(1) cos()cos co
9、s sin sin ().(6分)(2) 因为钝角的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是，所以cos ，从而sin .(8分)于是sin()sin cos cos sin ().(10分)因为为锐角，为钝角，所以(，)，(12分)从而.(14分)16. 证明：(1) 设ACBDO，连结OE，四边形ACEF是矩形， EFAC，EFAC. O是正方形ABCD对角线的交点， O是AC的中点又点M是EF的中点， EMAO，EMAO.四边形AOEM是平行四边形， AMOE.(4分) OE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(7分)(2) 正方形ABCD， BDAC.平面ABCD平面ACEF
10、AC，平面ABCD平面ACEF，BD平面ABCD， BD平面ACEF.(9分) AM平面ACEF， BDAM.(10分)正方形ABCD，AD， OA1.由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形 AF1，四边形AOMF是正方形，(11分) AMOF.(12分)又AMBD，且OFBDO，OF平面BDF，BD平面BDF， AM平面BDF.(14分)17. 解：(1) 连结PC.由条件得(0，)在POC中，OC10，OP20，POC2，由余弦定理，得PC2OC2OP22OCOPcos(2)100(54cos 2)(2分)因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQPQ，所以PQ2PC
11、2CQ2400(1cos 2)，所以PQ20cos .(4分)所以四边形COPQ的周长为f()COOPPQQC4020cos ，即f()4020cos ，(0，)(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ的面积为S()，则S()SOCPSQCP100(cos 2sin cos )，(0，)(10分)所以S()100(sin 2cos22sin2)100(4sin2sin 2)，(0，)(12分)令S(t)0，得sin .列表：sin (0，)(，1)S()0S()增最大值减答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin 的值为.(14分)18. 解：(1) 依题意，2ca2，所以
12、c1，b，所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 因为直线l分别与直线x4和直线x1相交，所以直线l一定存在斜率(6分)设直线l：ykxm，由得(4k23)x28kmx4(m23)0.由(8km)24(4k23)4(m23)0，得4k23m20.(8分)把x4代入ykxm，得M(4，4km)，把x1代入ykxm，得N(1，km)，(10分)所以NF1|km|，MF1，(12分)由式，得3m24k2，把式代入式，得MF12|km|，即为定值.(16分)19. 解：(1) a122；(2分)当n2时，an2n.所以数列an的通项公式为an2n(nN*)(4分)(2) 由Sn，得2Snn(b1bn
13、)，所以2Sn1(n1)(b1bn1)(n2).由，得2bnb1nbn(n1)bn1，n2，即b1(n2)bn(n1)bn10(n2)，所以b1(n3)bn(n2)bn10(n3).由，得(n2)bn2(n2)bn1(n2)bn20，n3，(6分)因为n3，所以n20，上式同除以(n2)，得bn2bn1bn20，n3，即bn1bnbnbn1b2b11，所以数列bn是首项为1，公差为1的等差数列，故bnn，nN*.(8分)(3) 因为cn1，(10分)所以c10，c20，c30，c40，c50.记f(n)，当n5时，f(n1)f(n)0，所以当n5时，数列f(n)为单调递减数列，当n5时，f(n
14、)f(5)1.从而，当n5时，cn10.(14分)因此T1T2T3T5T6所以对任意的nN*，T4Tn.综上，m4.(16分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当a0时，因为f(x)a(x1)ex，当x0；当x1时，f(x)0，所以aex2xb对任意的a1及任意的x0恒成立由于ex0，所以aexex，所以ex2xb对任意的x0恒成立(4分)设(x)ex2x，x0，则(x)ex2，所以函数(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，所以(x)min(ln 2)22ln 2，所以b22ln 2.(6分)(3) 由h(x)axexxln x，得h(x)a(x1)ex1，
15、其中x0.若a0时，则h(x)0，所以函数h(x)在(0，)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)若a0.由第(2)小题知，当x0时，(x)ex2x22ln 20，所以ex2x，所以xex2x2，所以当x0时，函数xex的值域为(0，)所以存在x00，使得ax0ex010，即ax0ex01，且当x0，所以函数h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减因为函数有两个零点x1，x2，所以h(x)maxh(x0)ax0ex0x0ln x01x0ln x00.设(x)1xln x，x0，则(x)10，所以函数(x)在(0，)上单调递增由于(1)0，所以当x1时，
16、(x)0，所以式中的x01.又由式，得x0ex0.由第(1)小题可知，当ae，即a(，0)(11分)当a(，0)时，(i) 由于h()(1)0，所以h()h(x0)0.因为1e，设F(t)ettln t，te，由于te时，ln t2t，所以设F(t)0，即h()1时，x0ex0x0，且h()h(x0)0，同理可得函数h(x)在(x0，)上也恰有一个零点综上，a(，0)(16分)2019届高三模拟考试试卷(南师附中)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得BA1.(5分)(2) 矩阵B的特征多项式f()(1)(1)，(7分)令f()0，解得1或1，(9分
17、)所以矩阵B的特征值为1或1.(10分)B. 解：将圆2asin 化成普通方程为x2y22ay，整理得x2(ya)2a2.(3分)将直线cos()1化成普通方程为xy0.(6分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即a，(9分)解得a2.(10分)C. 解：因为()2()2(33x3x2)(1)，(3分)所以y.(5分)当且仅当，即x，1时等号成立(8分)所以y的最大值为.(10分)22. 解：(1) 因为PA平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.因为BAD90，所以PA，AB，AD两两互相垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由A
18、D2AB2BC4，PA4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)因为点M为PC的中点，所以M(1，1，2)所以(1，1，2)，(0，0，4)，(2分)所以cos，(4分)所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.(5分)(2) 因为AN，所以N(0，0)(04)，则(1，1，2)，(0，2，0)，(2，0，4)设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则即令x2，解得y0，z1，所以m(2，0，1)是平面PBC的一个法向量(7分)因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos，m|，解得10，4，所以的值为1.(10分)23. 解：(1) L(1)2，(1分)L(2)6，(2分)L(3)20.(3分)(2) 设m为沿x轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m步才能回到y轴上，所以m0，1，2，(其中为不超过的最大整数)，总共走n步，首先任选m步沿x轴正方向走，再在剩下的nm步中选m步沿x轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即CC2n2m，
