1、医用高等数学医用高等数学 教案教案 第四章多元函数微积分第四章多元函数微积分第一节第一节 多元函数多元函数第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分第三节第三节 多元函数微分法多元函数微分法第四节第四节 多元函数的极值多元函数的极值第五节第五节 二重积分二重积分2022-7-19医用高等数学第四章第2页第一节第一节 多元函数多元函数 一、空间解析几何简介一、空间解析几何简介二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、二元函数的极限与连续三、二元函数的极限与连续2022-7-19医用高等数学第四章第3页一、空间解析几何简介一、空间解析几何简介1.右手法则右手法则2.点的坐标点的坐标 P(x,y,z)
2、3.任意两点任意两点之间的之间的距离距离P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)则则21221221221)()()(|zzyyxxPP 2022-7-19医用高等数学第四章第4页几类几类常见的方程常见的方程4.Ax+By+Cz+D=0(平面方程平面方程)(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2=R 2(球面方程球面方程)x 2+y 2 =R 2(柱面方程柱面方程)z=x 2+y 2 (椭圆抛物面椭圆抛物面)z 2=x 2+y 2 (圆锥面圆锥面)见图见图 4-3见图见图 4-4见图见图 4-5见图见图 4-62022-7-19医用高等数学第四章第5页图形图形:球球面面方方程程
3、柱柱面面方方程程椭椭圆圆抛抛物物面面圆圆锥锥面面2022-7-19医用高等数学第四章第6页二、多元函数的概念二、多元函数的概念定义定义4-1 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP),(，变变量量 z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称 z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为 ),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）.其中其中x、y 称为称为自变量自变量,z 称为称为因变量因变量.函数值函数值 z0=f(x0,y0).)(|0,000yxfzyyxx 或或 在在 xOy 平面上使函数平面上使函数
4、 f(x,y)有定义的有定义的一切一切点的集合点的集合叫做函数的叫做函数的定义域定义域.2022-7-19医用高等数学第四章第7页多元函数多元函数.(补充补充):邻邻域域 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点，是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，类似地类似地可定义三元及三元以上函数可定义三元及三元以上函数0P),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为 多元函数中同样有多元函数中同样有定
5、义域定义域、值域值域、自变量自变量、因变量因变量等概念等概念.2022-7-19医用高等数学第四章第8页补充补充例例求求 的定义域的定义域.222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 2022-7-19医用高等数学第四章第9页二元函数二元函数 z=f(x,y)的图形的图形（如下页图）（如下页图）设设 函函 数数),(yxfz 的的 定定 义义 域域 为为 D，对对 于于 任任 意意 取取 定定 的的DyxP),(，对对 应应 的的函函 数数 值值 为为),(yxfz ，这这 样样，以以
6、x为为 横横坐坐 标标、y为为 纵纵 坐坐 标标、z为为 竖竖 坐坐 标标 在在 空空 间间就就 确确 定定 一一 点点),(zyxM，当当x取取 遍遍D上上一一 切切 点点 时时，得得 一一 个个 空空 间间 点点 集集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ，这这个个 点点 集集 称称 为为 二二 元元 函函 数数 的的 图图 形形.2022-7-19医用高等数学第四章第10页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.2022-7-19医用高等数学第四章第11页例如例如,例如例如,xyzoxyzsin 图形如右图图形如右图.2222azyx 右下图球面右下图球面.),(2
7、22ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:2022-7-19医用高等数学第四章第12页三、二元函数的极限与连续三、二元函数的极限与连续1.二元函数的极限二元函数的极限定义定义4-2 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,P(x,y)是定义域内任是定义域内任一点一点,当点当点 P(x,y)以任何路径无限接近于点以任何路径无限接近于点 P0(x0,y0)时时,f(x,y)无限接近于一个无限接近于一个定数定数 A,则称则称 A 是函数是函数 f(x,y)当当 xx0、yy0 或或 P(x,y)P0(x0,y0)时的
8、时的极限极限,也称为也称为二重极二重极限限(double limit).记作记作Ayxfyyxx),(lim00Ayxfpp),(lim0或或2022-7-19医用高等数学第四章第13页说明说明:确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：(1)定义中定义中 P P0 的方式是任意的；的方式是任意的；(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似.（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与 k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx
9、存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在2022-7-19医用高等数学第四章第14页补充补充例例.)0,0(),(,0lim22200 yxyxyxyx证明证明证证|222222yyxyxyxyx 因为因为|y 22yx 又又当当 x0,y0 时时,022 yx.0lim22200 yxyxyx故故2022-7-19医用高等数学第四章第15页例例4-9.lim2200不存在不存在证明证明yxyxyx 证证,),(22yxyxyxf 设设1o 当当(x,y)沿沿 x 轴趋于轴趋于(0,0)时时,2o 当当(x,
10、y)沿直线沿直线 y=kx 趋于趋于(0,0)时时,222202200limlimxkxxkyxyxxkxyx 21kk f(x,y)=0;其值随其值随 k 值的不同而变化值的不同而变化,故故 f(x,y)的的极限不存在极限不存在.2022-7-19医用高等数学第四章第16页补充补充例例:求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,当当 时，时，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立2022-7-19医用高等数学第四章第17页补充补充例例:证证证明证明 不存在不存在.
11、26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，故故 极限不存在极限不存在2022-7-19医用高等数学第四章第18页 观察观察不存在不存在.26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 播放播放2022-7-19医用高等数学第四章第19页2.二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义4-3 如果二元函数如果二元函数 z=f(x,y)满足满足:(1)在点在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义;(2)极限极限 存在存在;),(lim0yxf
12、PP.),(),(lim)3(000yxfyxfPP 则称函数则称函数 z=f(x,y)在在点点 P0(x0,y0)处处连续连续.如果函数如果函数 z=f(x,y)在区域在区域 D 内的内的每一点每一点上都连续上都连续,则称函数则称函数 z=f(x,y)在区域在区域 D 内内连续连续.函数的不连续点叫做函数的不连续点叫做间断点间断点.2022-7-19医用高等数学第四章第20页补充补充例例:讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性.解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的
13、不同而变化的不同而变化,极限不存在极限不存在.故故 函数在函数在(0,0)处不连续处不连续.2022-7-19医用高等数学第四章第21页多元初等函数：多元初等函数：由多元由多元多项式多项式及及基本初等基本初等函数经过函数经过有限次的四则运算有限次的四则运算和和复合复合步骤所步骤所构成的可用构成的可用一个式子一个式子所表示的多元函数叫所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数.一切多元初等一切多元初等函数在其函数在其定义区域内定义区域内是是连续连续的的.定义区域定义区域是指包含在是指包含在定义域内定义域内的的区域区域或或闭区域闭区域2022-7-19医用高等数学第四章第22页 一般地一般地,补充
14、补充例例:.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果求求2022-7-19医用高等数学第四章第23页第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一、偏导数的概念一、偏导数的概念二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义三、高阶偏导数三、高阶偏导数四、全微分四、全微分2022-7-19医用高等数学第四章第24页一、偏导数的概
15、念一、偏导数的概念定义定义4-4 设函数设函数),(yxfz 在在点点),(00yx的某的某一邻域内有定义，当一邻域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x 处有处有增量增量x 时，相应地时，相应地函数函数有有增量增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则存在，则称此称此极限极限为函数为函数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对x的的偏导数偏导数(partial derivative)，2022-7-19医用高等数学第四章第25页记为记为:同理同理可定义可定义函数函数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对y
16、的的偏导数偏导数，为为 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为 00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.2022-7-19医用高等数学第四章第26页偏导函数偏导函数,常简称为常简称为偏导数偏导数如果函数如果函数),(yxfz 在在区域区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个的偏导数都存在，那么这个偏导数偏导数就是就是x、y的的函数函数，它就称为函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的的偏导数偏导数，记作记作 xz
17、 ，xf ，xz或或),(yxfx.同理同理可以定义函数可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的的偏偏导数导数，记作记作 yz ，yf ，yz或或),(yxfy.2022-7-19医用高等数学第四章第27页偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 2022-7-19医用高等数学第四章第28页例例4-16 设设yxz )1,0(x
18、x，求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立2022-7-19医用高等数学第四章第29页例例4-18 已知已知理想气体的状态方程理想气体的状态方程RTpV （R为常数），为常数），求证求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pVRT 2022-7-19医用高等数学第四章第30页有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：(1)、(2)、例如例如偏偏导导数数xu 是是一一个个
19、整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;).0,0(),0,0(,),(yxffxyyxfz求求设设 求分界点、不连续点处的偏导数要求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；用定义求；解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0).0,0(yf 2022-7-19医用高等数学第四章第31页(3)、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函函数数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0,0(处处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连
20、续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续.2022-7-19医用高等数学第四章第32页二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义如图如图,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 2022-7-19医用高等数学第四章第33页几何意义几何意义:偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在所截得的曲线在点点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的斜率轴的斜率.偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在所截得的曲线在点点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴的斜率轴
21、的斜率.2022-7-19医用高等数学第四章第34页三、高阶偏导数三、高阶偏导数定义定义:),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数 ),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导二阶二阶及及二阶以上二阶以上的偏导数统称为的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.2022-7-19医用高等数学第四章第35页补充补充例例设设 13323 xyxyyxz，求求 22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及 33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 2
22、2xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx2022-7-19医用高等数学第四章第36页定理定理4-1 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合的两个二阶混合偏导数偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必区域内这两个二阶混合偏导数必相等相等 问题问题:混合偏导数都相等吗？具备怎样的条混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？件才相等？2022-7-19医用高等数学第四章第37页四、全微分四、全微分),(),(yxfyxxf xyxfx
23、 ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏增增量量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得2022-7-19医用高等数学第四章第38页全增量的概念全增量的概念 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻的某邻域内有定义，并设域内有定义，并设),(yyxxP 为这为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之值之差差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点P P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的
24、的全全增量增量,记为记为z，即即 z=),(),(yxfyyxxf 2022-7-19医用高等数学第四章第39页全微分的定义全微分的定义 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)(oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz=yBxA .2022-7-19医用高等数学第四章第40页习惯
25、上习惯上,记全微分为记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的全微分的定义可推广定义可推广到三元及三元以上函数到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分通常我们把二元函数的全微分等于等于它它的的两个偏微分之和两个偏微分之和这件事称为二元函数的这件事称为二元函数的微分微分符合符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况2022-7-19医用高等数学第四章第41页例例.arctan的全微分的全微分求函数求函数xyz 解解)()(1122xyxyxz ,22yxy )1()(112xxyyz ,22yxx 所以所以dxyxyzd22 .
26、22dyyxx 2022-7-19医用高等数学第四章第42页补充补充例例计算函数计算函数 xyez 在点在点)1,2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1,2(exz ,22)1,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分2022-7-19医用高等数学第四章第43页可微的条件可微的条件:定理定理(1)（必要条件必要条件）如果函数如果函数 ),(yxfz 在在点点),(yx可微分，则该函数在点可微分，则该函数在点),(yx的偏导的偏导数数xz 、yz 必存在，且函数必存在，且函数 ),(yxfz 在点在点),(yx 的全微分为的全微分为 yyzxxz
27、dz 2022-7-19医用高等数学第四章第44页说明说明：定理定理(2)（充分条件充分条件）多元函数的各偏导数存在并不能保证多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，全微分存在，如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分 2022-7-19医用高等数学第四章第45页多元函数多元函数连续连续、可导可导、可微可微的的关系关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导2022-7-19医用高等数学第四章第46页第三节第三节 多元函数微分法多元函数微分法一、复合函数微分法一、复合
28、函数微分法二、隐函数微分法二、隐函数微分法2022-7-19医用高等数学第四章第47页一、复合函数微分法一、复合函数微分法定理定理4-2 设函数设函数 z=f(u,v)是变量是变量 u,v 的函数的函数,而而 u 和和 v 又是变量又是变量 x,y 的函数的函数,u=u(x,y),v=v(x,y),则则 如果如果),(yxuu 及及),(yxvv 都在都在点点),(yx具有具有对对x和和y的偏导数的偏导数,且函数且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数具有连续偏导数，则复合函数则复合函数),(),(yxvyxufz 在对应点在对应点),(yx的的两个两个偏导数偏导数存在存
29、在,且可用下列公式且可用下列公式计算计算 xvvzxuuzxz ，yvvzyuuzyz .z=f u(x,y),v(x,y)是自变量是自变量x,y 的的二元复合函数二元复合函数.2022-7-19医用高等数学第四章第48页函数变量之间的复合关系图函数变量之间的复合关系图:uvxzy xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 2022-7-19医用高等数学第四章第49页类似地再类似地再推广推广:设设 ),(yxuu 、),(yxvv 、),(yxww 都在点都在点),(yx具有对具有对 x和和y的偏导数，复合函数的偏导数，复合函数),(),(),(yxwyxvyxufz 在对应点在
30、对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 xwwzxvvzxuuzxz ,ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx2022-7-19医用高等数学第四章第50页特例特例:如果函数如果函数)(tuu 及及)(tvv 都在点都在点t可导，函数可导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连具有连续偏导数，则复合函数续偏导数，则复合函数)(),(tvtufz 在对在对应点应点 t可导，且其导数可用下列公式计算：可导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz 2022-7-19医用高等数学第四章第51页上定理的结论可上定理的
31、结论可推广推广到到中间变量多于两个中间变量多于两个的的情况情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz2022-7-19医用高等数学第四章第52页例例4-25,23,ln2yxvyxuvuz 而而设设.,yzxz 求求解解xvvzxuuzxz 31ln22 vuyvu)23ln(22yxyx )23(322yxyx yvvzyuuzyz )2()(ln222 vuyxvu)23ln(232yxyx )23(222yxyx 2022-7-19医用高等数学第四章第53页补充补充例例分析分析,1222wvuz 设设,22yxu
32、其中其中,22yxv ,2xyw .yzxz 及及求求z 是以是以 x,y 为自变量为自变量,以以u,v 为中间变量为中间变量的复合函数的复合函数,其复合关系图示意如下其复合关系图示意如下:uvwxzy2022-7-19医用高等数学第四章第54页解解,222wvur 设设,1rz 则则而而333,rwwzrvvzruuz 因此因此xwwzxvvzxuuzxz )(2)(2)(2333rwyrvxrux )(23ywxvxur 222)(2yxx 同理同理222)(2yxyyz 2022-7-19医用高等数学第四章第55页例例4-26分析分析,)(),(为可微函数为可微函数设设ufxyfz 证明
33、证明:.0 yzyxzxz 是以是以 x,y 为自变量的抽象函数为自变量的抽象函数.则则 z=f(u)是以是以 u 为中间变量为中间变量,x、y 为自为自变量的复合函数变量的复合函数,其复合关系图示意如下其复合关系图示意如下:,xyu 令令uxzy2022-7-19医用高等数学第四章第56页证证已知已知 f(u)为可微函数为可微函数,.dd存在存在则则uf于是于是xuufxz dd)(dd2xyuf ufxydd2 yuufyz ddxuf1dd ufx dd1 故故yzyxzx ufxyufxydddd 0 2022-7-19医用高等数学第四章第57页例例4-28 设设z=arctan(xy
34、),而而 y=e x,xzdd求求解解xyyzxzxzdddd xeyxxyxy 222211xxexxe221)1(2022-7-19医用高等数学第四章第58页特殊地特殊地),(yxufz ),(yxuu 即即,),(yxyxufz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv ,yw 其中其中,1 xv,0 xw,0 yv.1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxufz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数 把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似2022-7-19医用高等数学第四章第59
35、页补充补充(例例4-25)-1,ln42xvuz 设设.,yzxz 求求解解xfxvvzxuuzxz 32431ln2xvuyvu )23ln(22yxyx )23(322yxyx yvvzyuuzyz )2()(ln222 vuyxvu)23ln(232yxyx )23(222yxyx ,23,yxvyxu 而而34x 2022-7-19医用高等数学第四章第60页多元函数多元函数(一阶一阶)微分形式不变性微分形式不变性全微分形式不变性的全微分形式不变性的实质实质:设函数设函数 ),(vufz 具有连续偏导数，则具有连续偏导数，则有全微分有全微分 dvvzduuzdz ;当当 ),(yxuu
36、、),(yxvv 时，时，有有 dyyzdxxzdz .无论无论 z 是自变量是自变量 x、y 的函数或中间变量的函数或中间变量u、v 的函数，它的全微分的函数，它的全微分形式形式是是一样一样的的.2022-7-19医用高等数学第四章第61页二、隐函数微分法二、隐函数微分法(1)若若 F(x,y)=0,其中其中 y=f(x).由全导数公式由全导数公式:0dddd xyyFxFxF0dd xyyFxF即即,0 yF若若则有则有yFxFxy ddyxFF 2022-7-19医用高等数学第四章第62页(2)F(x,y,z)=0,其中其中 z=f(x,y).,0 zF若若则则zFxFxz zxFF z
37、FyFyz zyFF 2022-7-19医用高等数学第四章第63页例例4-30 求由方程求由方程 y xe y+x=0 所确定的所确定的 y 作为作为 x 的函数的导数的函数的导数.解解 令令,1 yexF由由01 yexyF得得yyexexy 11dd.11yyexe 0),(xexyyxFy2022-7-19医用高等数学第四章第64页例例4-31 求由方程求由方程 e z-xyz=0 所确定的函数所确定的函数 z 的偏导数的偏导数.解解令令 F(x,y,z)=e z-xyz,则则,yzFx ,xzFy 0 xyeFzz于是于是zxFFxz ,xyeyzz zyFFyz .xyexzz 20
38、22-7-19医用高等数学第四章第65页第四节第四节 多元函数的极值多元函数的极值一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、条件极值二、条件极值2022-7-19医用高等数学第四章第66页一、二元函数的极值一、二元函数的极值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放播放2022-7-19医用高等数学第四章第67页定义定义4-6极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值.使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx
39、：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值；若 满 足 不 等 式有 极 大 值；若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；二元函数极值的定义二元函数极值的定义2022-7-19医用高等数学第四章第68页补充例补充例:例例(3)(1)(2)(3)例例(1)处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz 例例(2)处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz 处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz 2022-7-19医用高等数学第四章第69页定
40、理定理4-34-3 (极值存在的必要条件极值存在的必要条件)证证设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零 0),(00 yxfx，0),(00 yxfy.不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有),(yxf),(00yxf,2022-7-19医用高等数学第四章第70页类似地可证类似地可证推广推广 故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf
41、),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;如如果果三三元元函函数数),(zyxfu 在在点点),(000zyxP具具有有偏偏导导数数，则则它它在在),(000zyxP有有极极值值的的必必要要条条件件为为 0),(000 zyxfx，0),(000 zyxfy，0),(000 zyxfz.0),(00 yxfy2022-7-19医用高等数学第四章第71页驻点驻点.定理定理4-4(极值存在的充分条件极值存在的充分条件)例例如如,点点)0,0(是是函函数数xyz 的的驻驻点点，但但不不是是极极值值点点.仿照一元函数，
42、凡能使一阶偏导数同仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的时为零的点，均称为函数的驻点驻点极值点极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，注意:2022-7-19医用高等数学第四章第72页又又则则 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令 Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的处是否取得极值的条件条件如下：如下：（1 1）0
43、2 BAC时具有极值，时具有极值，当当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论 2022-7-19医用高等数学第四章第73页求函数求函数 z=f(x,y)极值的一般极值的一般步骤步骤:第第一一步步 解解方方程程组组,0),(yxfx0),(yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C.第第三三步步 定定出出2BAC 的
44、的符符号号,再再判判定定是是否否是是极极值值.2022-7-19医用高等数学第四章第74页多元函数的多元函数的最值最值求求最值的一般最值的一般方法方法：将函数在将函数在 D D 内的内的所有驻点处所有驻点处的函数的函数值及在值及在 D D 的的边界上的边界上的最大值和最小值相最大值和最小值相互互比较比较，其中，其中最大者最大者即为最大值，即为最大值，最小最小者者即为最小值即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函与一元函数相类似，我们可以利用函数的数的极值极值来来求求函数的函数的最大最大值和值和最小最小值值.2022-7-19医用高等数学第四章第75页例例4-32 求函数求函数 f(x,y)
45、=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值的极值.解解解方程组解方程组 063),(0963),(22yyyxfxxyxfyx得得驻点驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2),66),(xyxfxx,0),(yxfxy.66),(yyxfyy2022-7-19医用高等数学第四章第76页列表讨论如下列表讨论如下:(x0,y0)ABCB2ACf(x0,y0)(1,0)120672极小值极小值 5(1,2)120672不是极值不是极值(-3,0)120672不是极值不是极值(-3,2)120672极大值极大值 312022-7-19医用高等数学第四章第77页例例4-33在在求函数求函
46、数224),(yxyxf .122上的最大值上的最大值圆域圆域 yx解解 显然显然,函数在圆周函数在圆周 x2+y2=1 上的值到处上的值到处是是.3为求驻点为求驻点,令令,0422 yxxxf0422 yxyyf解得解得 x=0,y=0.这是函数在圆内的这是函数在圆内的唯一驻点唯一驻点,对应的函数值是对应的函数值是 f(0,0)=2,)3(所以函数在点所以函数在点(0,0)处取得处取得最大值最大值 2.2022-7-19医用高等数学第四章第78页二、条件极值二、条件极值(注：此小节内容不讲注：此小节内容不讲,略略 )2022-7-19医用高等数学第四章第79页第五节第五节 二重积分二重积分一
47、、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算二、二重积分的计算2022-7-19医用高等数学第四章第80页一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D2022-7-19医用高等数学第四章第81页播放播放:播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示2022-7-19医用高等数学第四章第82页步骤如下：步骤如下：2.用若干个小平顶用若干个小平顶柱
48、体体积之和近柱体体积之和近似表示曲顶柱体似表示曲顶柱体的体积的体积.xzyoD),(yxfz i),(ii1.先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域并取典型小区域;.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积2022-7-19医用高等数学第四章第83页*求平面薄片的质量求平面薄片的质量 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将
49、其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo2022-7-19医用高等数学第四章第84页2.二重积分的概念二重积分的概念定义定义4-7 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函数，上的有界函数，将闭区域将闭区域D任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表示它也表示它的面积，在每个的面积，在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ，),2,1(ni，并作和并作和 i
50、iniif ),(1，2022-7-19医用高等数学第四章第85页(续上页定义续上页定义)如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf),(，即即 Ddyxf),(iiniif ),(lim10.2022-7-19医用高等数学第四章第86页对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意
