1、 这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征，或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论.考查学生的归纳、概括、类比能力.解决这类问题的一般方法是：“从特殊情形入手探索发现规律猜想结论验证.”一、数列规律 这类问题通常是先给出一组数，通过观察、归纳这组数的共性规律，写出一个一般性的结论.解决这类题目的关键是找出题目中的规律，分清不变量和变化量，寻求变化部分与序号间的关系.【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数
2、，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可.【解答】前（n-1）行的数据的个数为2+4+6+2（n-1）=n（n-1），所以，第n（n是整数，且n3）行从左到右数第n-2个数的被开方数是n（n-1）+n-2=n2-2，所以，第n（n是整数，且n3）行从左到右数第n-2个数是【答案】2n2.2n2【点评】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键.1.（2015广东东莞）观察下列一组数：根据这组数的排列规律，可推出第10个数是_.1 2 3 453 5 7 9 11，10212.（2015甘肃武威）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，
3、21，叫作三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，依此类推，那么第9个三角形数是_，2 016是第_个三角形数.45633.（2015江苏淮安）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a行，第b列，则a+b=_.147二、数式规律 这类问题一般是先给出一组数式，通过观察、分析，归纳出这组数式的共性，写出一个具有一般性的表达式.解答这类问题，要认真分析所给数式的共同点，根据共同点归纳出具有这些共同点的一般式，再代入已知数式验证其正确性.（2014安徽）观察下列关于自然数的等式：32-412=5 52-422=9 72-432=13 根据上述规律解决下列问
4、题：（1）完成第四个等式：92-4()2=()；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.【分析】由三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可.【解答】（1）32-412=5 52-422=9 72-432=13 所以第四个等式：92-442=17.（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1，左边=（2n+1）2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1，右边=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1.左边=右边.（2n+1）2-4n2=2（2n+1
5、）-1.【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.102016-2520三、图形规律 这类题目通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到一系列的图形），探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系.解决此类问题时应先观察图形的变化趋势，是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值.（2015贵州安顺）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为_（
6、用含n的式子表示）.【解答】观察图形可知，第1个图案共有基础图形31+1=4个；第2个图案共有基础图形32+1=7个；第3个图案共有基础图形33+1=10个；则第n个图案共有基础图形3n+1=3n+1个.【答案】3n+1【点评】此题考查了图形的规律性.解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.（2015浙江湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C
7、3D3（如图所示），以此类推，若A1C1=2，且点A，D2，D3，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是_.【分析】设AD10与A1C1的交点为M，构造相似三角形AD1MD2A1M，从而求得 然后利用A1MD2A2D2D3，从而求得A2C2的长，以此类推，求得A9C9的长.12A M3，【解答】设AD10与A1C1的交点为M.四边形都是正方形，AD1A1D2，AD1MD2A1M，又A1D1=A1C1-AB=2-1=1，12111A MD A2.D MAD112A M.3同理：A1MD2A2D2D3，设A2C2=x，则解得x=3.同理可求由此规律可得 即正方形A9C9C10D
8、10的边长是【答案】1122223A MA D.A DA D223.x2x33445592781A CA CA C248，n 1nnn 23A C.289973A C.2873.287326.（2014湖北武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形共有19个点，按此规律第5个图形中共有点的个数()A.31 B.46 C.51 D.662n+1四、点的坐标变化规律 这类问题一般与直角坐标系相联系，结合函数、图形的变化，进而引起点的坐标变化.解答这类问题，一般要从题目中或图形运动中寻找变化规律，用变化规律表示点的变化，进而推导要求的点的坐标.如
9、图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3An，.将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：抛物线的顶点M1，M2，M3，Mn，都在直线L：y=x上；抛物线依次经过点A1，A2，A3An，.则顶点M2 016的坐标为（_，_）.【分析】根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x-an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案.【解答】M1（a1，a1）是抛物线y1=（x-a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x-a1）2+a1相交于A1，得x2=（x-a1）2+a1，即x为整数点，a1=1，M
10、1（1，1）.21112a xaa，11xa1.2（）M2（a2，a2）是抛物线y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，2222222222222xx2a xaa2a xaa1xa1.2xa3M 3 3.，（）为整数点，（，）M3（a3，a3）是抛物线抛物线y=x2与y3相交于A3，x为整数点，a3=5，M3（5，5），由此规律可得an=n2-1=2n-1.a2 016=2 0162-1=4 031.【答案】（4 031,4 031）222333333yxaax2a xaa（）顶点，22233323333xx2a xaa2a xaa1xa1
11、.2，（）8.（2014湖北孝感）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图的方式放置，点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是_.（63，32）9.（2014泰安）如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，以此进行下去.若点A（，0），B（0，4），则点B2 016的横坐标为_.5310 080专项二 解答题专
12、项四、统计中考解读:统计为陕西中考解答题的必考题，分值为5分，涉及条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数分布直方图和频数分布表等。陕西中考多考查条形统计图与扇形统计图，主要考查的内容有（1）分析、补全统计图；（2）个体、样本、由样本估计总体；（3）数据的相关计算等。例例1（2018陕西中考）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境。为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试。根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成
13、绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下统计图表：解答题专项解答题专项依据以上统计信息，解答下列问题：(1)m=_，n=_;(2)这次测试成绩的中位数落在_组；(3)求本次全部测试成绩的平均数。38200【解解】（1）30 19%7236%=200，m=20015%=30，n=100%=19%。（2）B 一共有200个数据，从小到大排序后中位数是第100个和第101个数据的平均数，观察可知，中位数落在B组。（3）本次全部测试成绩的平均数为2 581 5 543 5 100 2 79680.1()200分。解答题专项1.(2018泰州)为了改善生态环境，某乡村计划植树4 000棵.由于志愿者的支援，
14、实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？类型类型1：方程：方程(组组)与不等式的应用与不等式的应用分类突破分类突破解：设原计划每天植树解：设原计划每天植树x x棵，则实际每天植树棵，则实际每天植树(1+20%)x(1+20%)x棵棵.依题意，得依题意，得解得解得x=200.x=200.经检验，经检验，x=200 x=200是原方程的解，且符合题意是原方程的解，且符合题意.所以所以 =20.=20.答：原计划植树答：原计划植树2020天天.2.(2018包头)某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2 400元.为扩大销量
15、，减少库存，4月份在3月份的售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元.(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元；(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？解：解：(1)(1)设设3 3月份这种商品的售价为月份这种商品的售价为x x元，则元，则4 4月份这种月份这种商品的售价为商品的售价为0.9x0.9x元元.根据题意，得根据题意，得 解得解得x=40.x=40.经检验，经检验，x=40 x=40是原分式方程的解，且符合题意是原分式方程的解，且符合题意.答：答：3 3月份这种商品的售价是月份这种商品的售价是4040元元
16、.(2)(2)设该商品的进价为设该商品的进价为a a元元.根据题意，得根据题意，得解得解得a=25.a=25.(40(400.9-25)0.9-25)=990(=990(元元).).答：该商店答：该商店4 4月份销售这种商品的利润是月份销售这种商品的利润是990990元元.3.(2018宜宾)宜宾市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单.为了尽快交货，公司增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部.解：设原计划每月生产智能手机解：设原计划每月生产智能手机x x万部，则实际每月生万部，则实际每月
17、生产智能手机产智能手机(1+50%)x(1+50%)x万部万部.根据题意，得根据题意，得解得解得x=20.x=20.经检验，经检验，x=20 x=20是原方程的解是原方程的解,且符合题意且符合题意.(1+50%)x=30.(1+50%)x=30.答：每月实际生产智能手机答：每月实际生产智能手机3030万部万部.4.(2018苏州)某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5 900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9 400元.(1)求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元；(2)如果学校购买A型电脑和B型打印机的预
18、算费用不超过20 000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？解：解：(1)(1)设每台设每台A A型电脑的价格为型电脑的价格为x x元，每台元，每台B B型打印型打印机的价格为机的价格为y y元，根据题意，得元，根据题意，得答：每台答：每台A A型电脑的价格为型电脑的价格为3 5003 500元，每台元，每台B B型打印型打印机的价格为机的价格为1 2001 200元元.(2)(2)设学校购买设学校购买a a台台B B型打印机，则购买型打印机，则购买A A型电脑为型电脑为(a-1)(a-1)台，根据题意，得台，根据题意，得3 500(
19、a-1)+1 200a20 000.3 500(a-1)+1 200a20 000.解得解得a5.a5.答：该学校至多能购买答：该学校至多能购买5 5台台B B型打印机型打印机.5.（2018赤峰）小明同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：解答下列问题：（1）第_次购买有折扣；（2）求A，B两种商品的原价；（3）若购买A，B两种商品的折扣数相同，求折扣数；（4）小明同学再次购买A，B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件三三6.(2018贵阳)某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠
20、送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元；(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变.如果再次购买两种树苗的总费用不超过1 500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？解：解：(1)(1)设甲种树苗每棵的价格是设甲种树苗每棵的价格是x x元，则乙种树苗每元，则乙种树苗每棵的价格是棵的价格是(x+10)(x+10)元，依题意，得元，依题意，得 解得解得x=30.x=30.经检验，经
21、检验，x=30 x=30是原方程的解，且符合题意是原方程的解，且符合题意.x+10=30+10=40.x+10=30+10=40.答：甲种树苗每棵的价格是答：甲种树苗每棵的价格是3030元，乙种树苗每棵的价元，乙种树苗每棵的价格是格是4040元元.(2)(2)设他们可购买设他们可购买y y棵乙种树苗，则可购买棵乙种树苗，则可购买(50-y)(50-y)棵甲棵甲种树苗，依题意种树苗，依题意,得得3030(1-10%)(50-y)+40y1 500.(1-10%)(50-y)+40y1 500.解得解得yyyy为整数，为整数，yy最大为最大为11.11.答：他们最多可购买答：他们最多可购买1111
22、棵乙种树苗棵乙种树苗.1.(2018达州)在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.如图2-6-1，用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30，再往雕塑方向前进4 m至B处，测得仰角为45.问：该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值)类型类型2：解直角三角形的应用：解直角三角形的应用解：如答图解：如答图2-6-12-6-1，过点，过点C C作作CDABCDAB，交，交ABAB的延长线于的延长线于点点D D，设，设CD=x m.CD=x m.CBD=45CBD=45，BDC=90BDC=90，BD=CD=x(m).BD=CD=x(m).A=30A=30，A
23、D=AB+BD=4+xAD=AB+BD=4+x，解得解得x=2+.x=2+.答：该雕塑的高度为答：该雕塑的高度为(2+)m.(2+)m.2.(2018贺州)如图2-6-2，一艘游轮在A处测得北偏东45的方向上有一灯塔B.游轮以 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里.(结果精确到1海里，参考数据：)解：过点解：过点C C作作CMABCMAB，垂足为点，垂足为点M M，如答图，如答图2-6-2.2-6-2.在在RtRtACMACM中，中，MAC=90MAC=90-45-45=45=45，则则MCA=MAC=45MCA=MAC
24、=45，AM=MC.AM=MC.由勾股定理，得由勾股定理，得AMAM2 2+MC+MC2 2=AC=AC2 2=(=(2)2)2 2.解得解得AM=CM=40.AM=CM=40.ECB=15ECB=15，BCF=90BCF=90-15-15=75=75.B=BCF-MAC=75B=BCF-MAC=75-45-45=30=30.在在RtRtBCMBCM中，中，即即33=40BM.33=40BM.解得解得BM=BM=AB=AM+BM=40+40+40AB=AM+BM=40+40+401.73109(1.73109(海里海里).).答：答：A A处与灯塔处与灯塔B B相距约相距约109109海里海里
25、.3.如图2-6-3，某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60，已知A点的高度AB为2 m，台阶AC的坡度i=12，且B，C，E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)解：如答图解：如答图2-6-32-6-3，过点，过点A A作作AFDEAFDE，垂足为点，垂足为点F F，设，设DF=x.DF=x.在在RtRtADFADF中，中，DAF=30DAF=30，AF=AF=ACAC的坡度的坡度i=12i=12，A
26、BCB=ABCB=AB=2 mAB=2 m，BC=4 m.BC=4 m.ABBCABBC，DECEDECE，AFDEAFDE，四边形四边形ABEFABEF为矩形为矩形.EF=AB=2 mEF=AB=2 m，BE=AF.BE=AF.DE=DF+EF=x+2.DE=DF+EF=x+2.在在RtRtDCEDCE中，中，tanDCE=tanDCE=DCE=60DCE=60，CE=(x+2).CE=(x+2).EB=BC+CE=4+(x+2)=AFEB=BC+CE=4+(x+2)=AF，4+(x+2)=x.4+(x+2)=x.解得解得x=1+.x=1+.DE=3+(m).DE=3+(m).答：树答：树D
27、EDE的高度为的高度为(3+)m.(3+)m.4.(2018黄冈)如图2-6-4，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角DCE=30，楼高AB=60 m，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45，其中点A，C，E在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；(2)求斜坡CD的长度.解：解：(1)(1)在在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，BCA=60BCA=60，AB=60 mAB=60 m，则则答：坡底答：坡底C C点到大楼的距离点到大楼的距离ACAC的的值是值是 m.m.(2)(2)设设CD=2xCD=2x，则，则DE=xDE=x，C
28、E=3x.CE=3x.过点过点D D作作DFABDFAB交交ABAB于点于点F,F,如答图如答图2-6-4.2-6-4.在在RtRtBDFBDF中，中，BDF=45BDF=45，BF=DFBF=DF，即，即60-x=20 +x.60-x=20 +x.解得解得x=40 -60.x=40 -60.2x=80 -120.2x=80 -120.CDCD的长度为的长度为(80 -120)m.(80 -120)m.答：斜坡答：斜坡CDCD的长度为的长度为(80 -120)m.(80 -120)m.类型类型3：统计图表综合题：统计图表综合题1.(2018昆明)近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此
29、进行了抽样调查.调查结果显示，支付方式有：A微信，B支付宝，C现金，D其他.该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图（如图2-6-5）.请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)本次一共调查了多少名购买者？(2)请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为多少度？(3)若该超市这一周内有1 600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名.解：解：(1)56(1)5628%=200.28%=200.答：本次一共调查了答：本次一共调查了200200名购买者名购买者.(2)D(2)D方式支付的有：方式支付的有：20020020
30、%=40(20%=40(人人)，A A方式支付的有：方式支付的有：200-56-44-40=60(200-56-44-40=60(人人).).补全条形统计图如答图补全条形统计图如答图2-6-52-6-5.在扇形统计图中在扇形统计图中,A,A种支付方式所对应的圆心角为种支付方式所对应的圆心角为360360 =108 =108.答答:A:A种支付方式所对应的圆心角为种支付方式所对应的圆心角为108108.(3)1 600(3)1 60060+=928(60+=928(名名).).答：使用答：使用A A和和B B两种支付方式的购买者共有两种支付方式的购买者共有928928名名.2.(2018陕西)对
31、垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用效率，减少污染，保护环境.为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试.根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下的统计图表：依据以上统计信息解答下列问题：(1)m=_，n=_；(2)这次测试成绩的中位数落在_组；(3)求本次全部测试成绩的平均数.30301919B B解：（解：（3 3）本次全部测试成绩的平均数为）本次全部测试成绩的平均数为3.(2018宿迁)某市举
32、行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分(60m100)，组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图2-6-7不完整的两幅统计图表.请根据以上信息，解决下列问题：(1)征文比赛成绩频数分布表中c的值是_；(2)补全征文比赛成绩频数分布直方图；(3)若80分以上(含80分)的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数.0.20.2解：解：(2)10(2)100.1=1000.1=100，1001000.32=320.32=32，1001000.2=20.0.2=20.补全征文比赛成绩频数分布补全征文比赛成绩频数分布直方图如答图直方图如答图2
33、-6-6.2-6-6.(3)(3)全市获得一等奖征文的篇数全市获得一等奖征文的篇数约为约为1 0001 000(0.2+0.1)=300(0.2+0.1)=300(篇篇).).答：全市获得一等奖征文的篇数答：全市获得一等奖征文的篇数约为约为300300篇篇.4.(2018衢州)为响应“学雷锋，树新风，做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”“文明交通岗”“关爱老人”“义务植树”“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查.结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项.根据调查结果绘制了如图2-6-8不完整的
34、折线统计图和扇形统计图.解：解：(1)(1)被随机抽取的学生共有被随机抽取的学生共有141428%=50(28%=50(名名).).(2)(2)活动数为活动数为3 3项的学生所对应的扇形圆心角项的学生所对应的扇形圆心角=360 360=7272.活动数为活动数为5 5项的学生有项的学生有50-8-14-10-12=6(50-8-14-10-12=6(名名).).补全折线统计图如答图补全折线统计图如答图2-6-7.2-6-7.(1)被随机抽取的学生共有多少名？(2)在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；(3)该校共有学生2 000名，估计其中参与了4项或
35、5项活动的学生共有多少名？(3)(3)参与了参与了4 4项或项或5 5项活动的学生共有项活动的学生共有2 000=720(2 000=720(名名).).1.(2016茂名)有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀.(1)随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率；(2)随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的概率.类型类型4：求事件的概率：求事件的概率解：解：(1)(1)四张正面分别标有数字四张正面分别标有数字1 1，2 2，3 3，4 4的不透明卡片，的
36、不透明卡片，随机抽取一张卡片，抽到数字随机抽取一张卡片，抽到数字“2”“2”的概率的概率=(2)(2)画出树状图如答图画出树状图如答图2-6-8.2-6-8.由树状图可知由树状图可知,第一次抽到数字第一次抽到数字“1”“1”且第二次抽到数字且第二次抽到数字“2”“2”的概率的概率=2.(2016南充)在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖.(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；(2)分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率.解：解：(1)(1
37、)从获得美术奖和音乐奖的从获得美术奖和音乐奖的7 7名学生中选取名学生中选取1 1名参名参加颁奖大会，刚好是男生的概率加颁奖大会，刚好是男生的概率 (2)(2)画出树状图如答图画出树状图如答图2-6-9.2-6-9.共有共有1212种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为的结果数为6 6，所以刚好是一男生一女生的概率所以刚好是一男生一女生的概率3.(2018泰州)泰州具有丰富的旅游资源，小明利用周日来泰州游玩，上午从A，B两个景点中任意选择一个游玩，下午从C，D，E三个景点中任意选择一个游玩.用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求小明
38、恰好选中景点B和C的概率.解：列表如下解：列表如下.由表可知共有由表可知共有6 6种等可能的种等可能的结果数，其中小明恰好选中结果数，其中小明恰好选中景点景点B B和和C C的结果数有的结果数有1 1种，种，所以小明恰好选中景点所以小明恰好选中景点B B和和C C的概率为的概率为 4.(2018南通)四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上.(1)从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；(2)随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率.解：解：(1)(1)因为共有因为共有4 4张牌，其中点数是偶数的有张牌，
39、其中点数是偶数的有3 3张，张，所以随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率是所以随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率是 (2)(2)列表如下列表如下.从上面的表格可以看出，总共有从上面的表格可以看出，总共有1212种结果，每种结果出种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好两张牌的点数都是偶数的有现的可能性相同，其中恰好两张牌的点数都是偶数的有6 6种，种，所以这两张牌的点数都是偶数的概率为所以这两张牌的点数都是偶数的概率为1.(2018怀化)已知：如图2-6-9，点A,F，E,C在同一直线上，ABDC，AB=CD，B=D.(1)求证：ABECDF；(2)若点E，G分别为线段FC，FD的
40、中点，连接EG，且EG=5，求AB的长.类型类型5：三角形的计算与证明：三角形的计算与证明证明：证明：(1)ABDC(1)ABDC，A=C.A=C.在在ABEABE与与CDFCDF中，中，ABEABECDF(ASA).CDF(ASA).(2)(2)点点E,GE,G分别为线段分别为线段FC,FDFC,FD的中点，的中点，EG=CD.CD=10.EG=CD.CD=10.AB=CDAB=CD，AB=10.AB=10.2.如图2-6-10，ABC为等边三角形，过点B作BDAC于点D，过点D作DEBC，且DE=CD，连接CE.(1)求证：CDE为等边三角形；(2)连接BE，若AB=4，求BE的长.解：解
41、：(1)(1)ABCABC为等边三角为等边三角形，形，ACB=60ACB=60.DEBCDEBC，EDC=ACB=60EDC=ACB=60.又又DE=DCDE=DC，CDECDE为等边三角形为等边三角形.(2)(2)过点过点E E作作EHBCEHBC于点于点H H，如答图，如答图2-6-10.2-6-10.BDACBDAC，CD=AC=AB=2.CD=AC=AB=2.又又CDECDE为等边三角形，为等边三角形，CE=CD=2.CE=CD=2.ECH=180ECH=180-ACB-ACE=60-ACB-ACE=60，3.(2017苏州)如图2-6-11，A=B，AE=BE，点D在AC边上，1=2
42、，AE和BD相交于点O.(1)求证：AECBED；(2)若1=42，求BDE的度数.(1)(1)证明：由题意，得证明：由题意，得AOD=BOEAOD=BOE，A=BA=B，AODAODBOE.BEO=2.BOE.BEO=2.又又1=21=2，1=BEO1=BEO，AEC=BED.AEC=BED.在在AECAEC和和BEDBED中，中，AECAECBED(ASA).BED(ASA).(2)(2)解：解：AECAECBEDBED，EC=EDEC=ED，C=BDE.C=BDE.C=EDC=(180C=EDC=(180-42-42)2=692=69.BDE=C=69BDE=C=69.4.(2017重庆
43、)如图2-6-12，ABC中，ACB=90，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE.(1)如图2-6-12，若AB=，BE=5，求AE的长；(2)如图2-6-12，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AFBD于点F，连接CD，CF，当AF=DF时，求证：DC=BC.(1)(1)解：由题意，得解：由题意，得AC=BC=AB=4.AC=BC=AB=4.CE=3.AE=AC-EC=1.CE=3.AE=AC-EC=1.(2)(2)证明：证明：ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，CAB=45CAB=45.AFBDAFBD，AFB=ACB=90AFB=ACB=90，即即A A，F F，C C，
44、B B四点共圆四点共圆.CFB=CAB=45CFB=CAB=45，DFC=AFC=135DFC=AFC=135.在在ACFACF与与DCFDCF中，中，ACFACFDCF(SAS).DC=AC.DCF(SAS).DC=AC.又又AC=BCAC=BC，DC=BC.DC=BC.1.如图2-6-13，ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：CF=AB；(2)连接BD，BF，当BCD=90时，求证：BD=BF.类型类型6：四边形的计算与证明：四边形的计算与证明证明：证明：(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ABDF.BAE=CFE.
45、ABDF.BAE=CFE.AE=EFAE=EF，AEB=CEFAEB=CEF，AEBAEBFEC(ASA).AB=CF.FEC(ASA).AB=CF.(2)(2)连接连接AC,AC,如答图如答图2-6-11.2-6-11.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，BCD=90BCD=90，四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.BD=AC.BD=AC.AB=CFAB=CF，ABCFABCF，四边形四边形ACFBACFB是平行四边形是平行四边形.BF=AC.BD=BF.BF=AC.BD=BF.2.(2018娄底)如图2-6-14，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
46、且OA=OC，OB=OD，过点O作EFBD，分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：AOECOF；(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由.(1)(1)证明：证明：OA=OCOA=OC，OB=ODOB=OD，四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.ADBC.ADBC.EAO=FCO.EAO=FCO.在在AOEAOE和和COFCOF中，中，AOEAOECOF(ASA).COF(ASA).(2)(2)解：四边形解：四边形BEDFBEDF是菱形是菱形.理由如下理由如下.AOEAOECOFCOF，AE=CF.AE=CF.AD=BCAD=BC，DE=BF.DE=BF.DEBFDEBF，四
47、边形四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形.OB=ODOB=OD，EFBDEFBD，EB=ED.EB=ED.四边形四边形BEDFBEDF是菱形是菱形.3.(2018连云港)如图2-6-15，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.(1)(1)证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，ABCDABCD，FAE=CDE.FAE=CDE.EE是是ADAD的中点，的中点，AE=DE.AE=DE.又又FEA=CEDFEA=CED，FAEFAECDE
48、(ASA).CDE(ASA).CD=FA.CD=FA.又又CDAFCDAF，四边形四边形ACDFACDF是平行四边形是平行四边形.(2)(2)解：解：BC=2CD.BC=2CD.理由如下理由如下.CFCF平分平分BCDBCD，DCE=45DCE=45.又又CDE=90CDE=90，CDECDE是等腰直角三角形是等腰直角三角形.CD=DE.CD=DE.EE是是ADAD的中点，的中点，AD=2DE=2CD.AD=2DE=2CD.又又AD=BCAD=BC，BC=2CD.BC=2CD.4.(2018广西)如图2-6-16，在ABCD中，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，且BE=DF.(1)求证：A
49、BCD是菱形；(2)若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积.(1)(1)证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，B=D.B=D.AEBCAEBC，AFCDAFCD，AEB=AFD=90AEB=AFD=90.BE=DFBE=DF，AEBAEBAFD(ASA).AFD(ASA).AB=AD.ABCDAB=AD.ABCD是菱形是菱形.(2)(2)连接连接BDBD交交ACAC于点于点O O，如答图，如答图2-6-12.2-6-12.四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，AC=6AC=6，ACBDACBD，AO=OC=AC=3.AO=OC=AC=3.AB=5AB=5，
50、AO=3AO=3，BO=4.BO=4.BD=2BO=8.BD=2BO=8.S S ABCD ABCD=ACACBD=24.BD=24.5.(2018潍坊)如图2-6-17，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DEAM于点E，BFAM于点F，连接BE.(1)求证：BF=AE；(2)已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求EBF的正弦值.(1)(1)证明：证明：四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，BA=ADBA=AD，BAD=90BAD=90.DEAMDEAM于点于点E E，BFAMBFAM于点于点F F，AFB=90AFB=90，DEA=90DEA=90.ABF+BAF
