1、难题突破题型（五）新定义问题题型解读所谓“新定义”问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点,在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.解决“新定义”问题关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法;二是根据问题情境的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.例例1 2019安顺 阅读以下材料:对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550-1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到1
2、8世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系.对数的定义:一般地,若ax=N(a0,且a1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN.比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log525可以转化为指数式52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:loga(MN)=logaM+logaN(a0,a1,M0,N0).|类型一|新法则、新运算型【分层分析】(1)根据“若ax=N(a0且a1),则x=logaN”求解;解:(1)4=log381解析 由题意可得,指数式34=81写成对数式为:4=log381,故答案为:4=
3、log381.例例1 2019安顺 阅读以下材料:对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550-1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系.对数的定义:一般地,若ax=N(a0,且a1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN.比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log525可以转化为指数式52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:loga(MN)=logaM+logaN(a0,a1,M0,N0).例例1 2019安顺 阅读以下材料:对数
4、的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550-1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系.对数的定义:一般地,若ax=N(a0,且a1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN.比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log525可以转化为指数式52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:loga(MN)=logaM+logaN(a0,a1,M0,N0).解：(3)2解析log69+log68-log62=log6(982)=log636=2.故答
5、案为:2.【方法点析】此类问题在于读懂新定义,然后仿照范例进行运算,细心研读定义,细致观察范例是解题的关键.例例2 2019宁波 定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图Z5-1,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;|类型二|新定义几何概念型 图Z5-1(2)如图,在54的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;(3)如图,在(1)的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中
6、点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.图Z5-1解:(1)证明:AB=AC,AD是ABC的角平分线,ADBC,ADB=90,DAB+DBA=90,FAB与EBA互余.四边形ABEF是邻余四边形.例例2 2019宁波 定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(2)如图,在54的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;图Z5-1解:(2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)例例2 2019宁波 定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(3)如图,在(1)
7、的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.图Z5-1【方法点析】解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念,将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆,从而解决问题.对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的.|题型精练|答案 B答案 A答案 5.2018台州 如图Z5-2,把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角(090)得到另一条数轴y,x轴和y轴构成一个平面斜坐标系.规定:过点P作y轴的平行线,交x轴于点A,过点P作x轴的平行线,交y轴于点B,若点A在x轴上对应的实数为a,点B在y轴上对应的实数为b
8、,则称有序实数对(a,b)为点P的斜坐标.在某平面斜坐标系中,已知=60,点M的斜坐标为(3,2),点N与点M关于y轴对称,则点N的斜坐标为.图Z5-2答案(-3,5)图Z5-3(2)如图Z5-3,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线l上任意一点,点T(x,y)是点D,E的融合点.试确定y与x的关系式.若直线ET交x轴于点H,当DTH为直角三角形时,求点E的坐标.图Z5-3图Z5-3(2)如图Z5-3,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线l上任意一点,点T(x,y)是点D,E的融合点.试确定y与x的关系式.若直线ET交x轴于点H,当DTH为直角三角形时,求点E的坐标.图Z5-37.
9、2019金华 如图Z5-4,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点.(1)当m=0时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.(2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标.(3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围.图Z5-4解:(1)当m=0时,二次函数的表达式为y=-x2+2,画出函数图象(图),当x=0时,y=2;当x=1时,y=1,抛物线经过点(0,2)和(1,1).好点有:(0,0),(0,
10、1),(0,2),(1,0)和(1,1),共5个.7.2019金华 如图Z5-4,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点.(2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标.图Z5-4解:(2)当m=3时,二次函数的表达式为y=-(x-3)2+5,画出函数图象(图),当x=1时,y=1;当x=2时,y=4;当x=4时,y=4,抛物线上存在好点,坐标分别是(1,1),(2,4)和(4,4).7.2019金华 如图Z5-4,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点.(3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围.图Z5-4
