1、1.61.6微积分基本定理微积分基本定理问题问题引航引航1.微积分基本定理的内容是什么？微积分基本定理的内容是什么？2.定积分的取值符号有哪些？定积分的取值符号有哪些？1.1.微积分基本定理微积分基本定理(1)(1)内容：如果内容：如果f f(x x)是区间是区间 a a，b b 上的上的_函数，并且函数，并且F F(x x)=)=f f(x x)，那么，那么 f f(x x)dxdx=_.=_.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_._.(2)(2)表示：为了方便，常常把表示：为了方便，常常把F F(b b)-)-F F(a a)记成记成_，即即 f f(x
2、x)dxdx=_=_.=_=_.连续连续baF F(b b)-)-F F(a a)牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式baF(x)|babaF(x)|F F(b b)-)-F F(a a)2.2.定积分的符号定积分的符号由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取值也可能取_，还可能是，还可能是_._.(1)(1)当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于x x轴上方时，定积分的值取轴上方时，定积分的值取_值，值，且等于曲边梯形的且等于曲边梯形的_.(_.(如图如图1)1)(2)(2)当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于x
3、 x轴下方时，定积分的值取轴下方时，定积分的值取_值，值，且等于曲边梯形的且等于曲边梯形的_.(_.(如图如图2)2)负值负值0 0正正面积面积负负面积的相反数面积的相反数(3)(3)当位于当位于x x轴上方的曲边梯形面积等于位于轴上方的曲边梯形面积等于位于x x轴下方的曲边梯轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为形面积时，定积分的值为_，且等于位于，且等于位于x x轴上方的曲边梯形轴上方的曲边梯形面积面积_位于位于x x轴下方的曲边梯形面积轴下方的曲边梯形面积.(.(如图如图3)3)0 0减去减去1.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)微积分基本定理
4、中，被积函数微积分基本定理中，被积函数f f(x x)是原函数是原函数F F(x x)的导数的导数.(.()(2)(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为原函数的常数项为0.(0.()(3)(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数上必须是连续函数.(.()【解析解析】(1)(1)正确正确.由微积分基本定理知，被积函数由微积分基本定理知，被积函数f f(x x)是原函是原函数数F F(x x)的导数的导数.(2)(2)正确正确
5、.应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为通常取原函数的常数项为0.0.(3)(3)正确正确.应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数分区间上必须是连续函数.否则所求积分值错误否则所求积分值错误.答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)2.2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)sinxdxsinxdx=_.=_.(2)3(2)3x x2 2dxdx_._.(3)(2(3)(2x x-1)-1)dxd
6、x=2=2，则，则a a=_.=_.1111a0【解析解析】2.(1)2.(1)sinsin xdxxdx=-=-coscos x x =-=-coscos 1-1-coscos(-1)=0.(-1)=0.答案：答案：0 0(2)3(2)3x x2 2dxdx=x x3 3 =1 =13 3-(-1)-(-1)3 3=2.=2.答案：答案：2 2(3)(2(3)(2x x-1)-1)dxdx=(=(x x2 2-x x)=)=a a2 2-a a=2=2，解得解得a a=2=2或或a a=-1(=-1(不合题意舍去不合题意舍去)，故故a a=2.=2.答案：答案：2 21111|1111|a0
7、a0|【要点探究要点探究】知识点知识点 微积分基本定理微积分基本定理1.1.应用微积分基本定理求定积分的注意事项应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法一个简单有效的方法转化为计算函数转化为计算函数F F(x x)在积分区间上的在积分区间上的增量增量.(2)(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F F(x x)=
8、)=f f(x x)的函数的函数F F(x x)再计算再计算F F(b b)-)-F F(a a).).(3)(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分求定积分.2.2.常见函数的定积分公式常见函数的定积分公式(1)(1)CdxCdx=CxCx (C C为常数为常数).).(2)(2)x xn ndxdx=x xn n+1+1 (n n-1).-1).(3)(3)sinsin xdxxdx=-=-coscos x x .(4)(4)coscos xdxxdx=sinsin x x .(5)(5)dxdx=lnln x
9、x (b ba a0).0).(6)(6)e ex xdxdx=e ex x .(7)(7)a ax xdxdx=(=(a a0 0且且a a1).1).1xbababababababa1n1xaln aba|ba|ba|ba|ba|ba|ba|【微思考微思考】(1)(1)如果如果 f f(x x)dxdx=g g(x x)dxdx，那么是否一定有，那么是否一定有f f(x x)=)=g g(x x)？请？请举例说明举例说明.提示：提示：不一定，例如：当不一定，例如：当f f(x x)=2)=2x x，g g(x x)=3)=3x x2 2时，时，2 2xdxxdx=3 3x x2 2dxdx
10、，但，但f f(x x)g g(x x).).(2)“(2)“因为被积函数因为被积函数f f(x x)的原函数不唯一，所以的原函数不唯一，所以 f f(x x)dxdx也不唯也不唯一一.”.”这种说法正确吗？为什么？这种说法正确吗？为什么？提示：提示：这种说法不正确，虽然被积函数的原函数不唯一，但积这种说法不正确，虽然被积函数的原函数不唯一，但积分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的分值是原函数在区间端点值的差，差值是唯一确定的.即积分值即积分值是确定的是确定的.baba1010ba【即时练即时练】1.1.若若a a=(=(x x-2)-2)dxdx，则被积函数的原函数为，则被积函数的
11、原函数为()()A A.f f(x x)=)=x x-2 -2 B B.f f(x x)=)=x x-2+-2+C CC C.f f(x x)=)=x x2 2-2-2x x+C C D D.f f(x x)=)=x x2 2-2-2x x10122.2.下列积分值等于下列积分值等于1 1的是的是()()A A.xdxxdx B B.(.(x x+1)+1)dxdxC C.dxdx D D.1.1dxdx1010101012【解析解析】1.1.选选C C.因为因为(x x2 2-2-2x x+C C)=)=x x-2-2，所以所以 (x x-2)-2)dxdx中被积函数的原函数为中被积函数的原
12、函数为f f(x x)=)=x x2 2-2-2x x+C C.2.2.选选D D.xdxxdx=x x2 2 =，(x x+1)+1)dxdx=(=(x x2 2+x x)=)=dxdx=x x =，1 1dxdx=x x =1.=1.121012101210|12101210|32，10121210|121010|【题型示范题型示范】类型一类型一 定积分求法定积分求法【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014陕西高考陕西高考)定积分定积分(2(2x x+e ex x)dxdx的值的值为为()()A A.e e+2+2B B.e e+1+1C C.e e D D.e e-1-1(2)
13、(2)f f(x x)=)=求求 f f(x x)dxdx.10212x 0 x1x 1x2，20【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中的被积函数的原函数是什么？中的被积函数的原函数是什么？2.2.题题(2)(2)中求中求 f f(x x)dxdx需要分成哪几段？需要分成哪几段？【探究提示探究提示】1.1.原函数为原函数为f f(x x)=)=x x2 2+e ex x.2.2.需要分成两段，一段是需要分成两段，一段是 (1+2(1+2x x)dxdx，另一段是，另一段是 x x2 2dxdx.201021【自主解答自主解答】(1)(1)选选C C.(2(2x x+e ex x)dxd
14、x=(=(x x2 2+e ex x)=1+=1+e e-1-1=e e.(2)(2)f f(x x)dxdx=f f(x x)dxdx+f f(x x)dxdx=(1+2=(1+2x x)dxdx+x x2 2dxdx=(=(x x+x x2 2)+)+x x3 3=1+1+(8-1)=1+1+(8-1)=10201021102110|1321|1313.310|【方法技巧方法技巧】1.1.由微积分基本定理求定积分的步骤由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数于求得函数F F(x x)
15、，再计算定积分，具体步骤如下，再计算定积分，具体步骤如下.第一步：求被积函数第一步：求被积函数f f(x x)的一个原函数的一个原函数F F(x x)；第二步：计算函数的增量第二步：计算函数的增量F F(b b)-)-F F(a a).).2.2.分段函数的定积分的求法分段函数的定积分的求法(1)(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质段函数时，常常利用定积分的性质(3)(3)，转化为各区间上定积分，转化为各区间上定积分的和计算的和计算.(2)(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化
16、为分段当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算函数的定积分再计算.【变式训练变式训练】1.(1.(e ex x+2+2x x)dxdx等于等于()()A A.1 .1 B B.e e-1 -1 C C.e e D D.e e+1+12.2.计算定积分计算定积分 (x x2 2+sinsin x x)dxdx=_.=_.【解析解析】1.1.选选C C.因为被积函数为因为被积函数为e ex x+2+2x x的原函数为的原函数为e ex x+x x2 2，所以所以 (e ex x+2+2x x)dxdx=(=(e ex x+x x2 2)=()=(e e1 1+1+12
17、 2)-()-(e e0 0+0)=+0)=e e.2.(2.(x x2 2+sinsin x x)dxdx=(=(x x3 3-coscos x x)=)=答案：答案：10111010|111311|2.323【补偿训练补偿训练】(x x+coscos x x)dxdx=_.=_.【解析解析】因为因为(x x2 2+sinsin x x)=)=x x+coscos x x，所以所以 (x x+cosxcosx)dxdx，=(=(x x2 2+sinsin x x)=2.=2.答案：答案：2 22212221222|类型二类型二 微积分基本定理的综合应用微积分基本定理的综合应用【典例典例2 2
18、】(1)(1)已知已知x x(0(0，11，f f(x x)=(1-2)=(1-2x x+2+2t t)dtdt，则，则f f(x x)的值域是的值域是_._.(2)(2)已知已知 (3(3axax+1)(+1)(x x+b b)dxdx=0=0，a a，b bR R，试求，试求abab的取值范围的取值范围.1010【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中的被积函数和原函数分别是什么？中的被积函数和原函数分别是什么？2.2.如何处理含有参数的定积分问题？如何处理含有参数的定积分问题？【探究提示探究提示】1.1.被积函数为被积函数为g g(t t)=2)=2t t+1-2+1-2x x，原
19、函数为，原函数为G G(t t)=)=t t2 2+(1-2+(1-2x x)t t.2.2.将参数看成常数求定积分，然后根据题意进行转化，在本题将参数看成常数求定积分，然后根据题意进行转化，在本题中可将问题转化为不等式问题或方程根的问题中可将问题转化为不等式问题或方程根的问题.【自主解答自主解答】(1)(1-2(1)(1-2x x+2+2t t)dtdt=(1-2=(1-2x x)t t+t t2 2 =2-2=2-2x x即即f f(x x)=-)=-2 2x x+2+2，因为因为x x(0(0，11，所以，所以f f(1)(1)f f(x x)f f(0)(0)，即即00f f(x x)
20、2)2所以函数所以函数f f(x x)的值域是的值域是00，2).2).答案：答案：00，2)2)1010|(2)(3(2)(3axax+1)(+1)(x x+b b)dxdx=3=3axax2 2+(3+(3abab+1)+1)x x+b b dxdx=axax3 3+(3+(3abab+1)+1)x x2 2+bxbx=a a+(3+(3abab+1)+1)+b b=0=0，即即3 3abab+2(+2(a a+b b)+1=0.)+1=0.方法一：由于方法一：由于(a a+b b)2 2=a a2 2+b b2 2+2+2abab44abab，所以所以()()2 244abab，即，即9
21、(9(abab)2 2-10-10abab+10+10，得得(abab-1)(9-1)(9abab-1)0-1)0，解得，解得abab 或或abab1.1.所以所以abab的取值范围是的取值范围是(-(-，11，+).+).10101210|123ab121919方法二：设方法二：设abab=t t，得，得a a+b b=，故，故a a，b b为方程为方程x x2 2+x x+t t=0=0的两个实数根，的两个实数根，所以所以=-4=-4t t00，整理，得，整理，得9 9t t2 2-10-10t t+10+10，即即(t t-1)(9-1)(9t t-1)0-1)0，解得，解得t t 或或
22、t t1.1.所以所以abab的取值范围是的取值范围是(-(-，11，+).+).3t123t122(3t1)41919【延伸探究延伸探究】在本例题在本例题(1)(1)中，如果已知条件改为中，如果已知条件改为f f(t t)=(1-)=(1-2 2x x+2+2t t)dxdx，则，则f f(t t)=_.)=_.【解析解析】(1-2 (1-2x x+2+2t t)dxdx=(1+2=(1+2t t)x x-x x2 2 =2=2t t.答案：答案：2 2t t101010|【方法技巧方法技巧】含有参数的定积分问题的处理办法与注意点含有参数的定积分问题的处理办法与注意点(1)(1)含有参数的定
23、积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.(2)(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f f(x x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数积分上限与积分下限、积分区间与函数F F(x x)等概念等概念.【变式训练变式训练】设设f f(x x)=)=若若f f(f f(1)=1(1)=1，则，则a a=_=_【解题指南解题指南】求出求出x x00时，时，3 3t t2 2
24、dtdt的值，再由的值，再由f f(f f(1)=1(1)=1求求a a的的值值.【解析解析】因为因为x x=1=10 0，所以，所以f f(1)=(1)=lglg 1=0 1=0，又当又当x x00，因为，因为f f(x x)=)=x x+3+3t t2 2dtdt=x x+a a3 3，所以所以f f(0)=(0)=a a3 3，所以，所以a a3 3=1=1，a a=1=1答案：答案：1 1a20lg xx0 x3t dtx0，a0a0【补偿训练补偿训练】求使求使 (x x2 2+cxcx+c c)2 2dxdx最小时最小时c c的值的值.【解析解析】令令y y=(=(x x2 2+cx
25、cx+c c)2 2dxdx，则，则y y=(=(x x4 4+2+2cxcx3 3+c c2 2x x2 2+2+2cxcx2 2+2 2c c2 2x x+c c2 2)dxdx.=因为因为 0.0.所以当所以当c c=-=-时，时，(x x2 2+cxcx+c c)2 2dxdx最小最小.1010102217771711cc(c).563343165731410【巧思妙解巧思妙解】利用函数奇偶性巧解定积分利用函数奇偶性巧解定积分 【典例典例】已知函数已知函数f f(x x)=)=求求 f f(x x)dxdx的值的值.22x2x10 x2x2x12x0，22【教你审题教你审题】【常规解法
26、常规解法】f f(x x)dxdx=(=(x x2 2-2-2x x+1)+1)dxdx+(+(x x2 2+2+2x x+1)+1)dxdx=(=(x x3 3-x x2 2+x x)+(+(x x3 3+x x2 2+x x)=2 23 3-2-22 2+2+0-+2+0-(-2)(-2)3 3+(-2)+(-2)2 2+(-2)+(-2)=2220021320|1302|13134.3【巧妙解法巧妙解法】因为因为f f(x x)为偶函数，为偶函数，所以所以 f f(x x)dxdx=2 (=2 (x x2 2-2-2x x+1)+1)dxdx=2=2(x x3 3-x x2 2+x x)
27、=)=22201320|3212(222)34.3【方法对比方法对比】常规方法与巧妙解法相比计算多出一部分，增大了计算量常规方法与巧妙解法相比计算多出一部分，增大了计算量和出错的概率，在求对称区间上的定积分时，应该首先考虑函和出错的概率，在求对称区间上的定积分时，应该首先考虑函数性质与积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便数性质与积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便【教你一招教你一招】奇、偶函数在区间奇、偶函数在区间-a a，a a 上的定积分上的定积分(1)(1)若奇函数若奇函数y y=f f(x x)的图象在的图象在-a a，a a 上连续，则上连续，则 f f(x x)dxdx=0.=
28、0.(2)(2)若偶函数若偶函数y y=g g(x x)的图象在的图象在-a a，a a 上连续，则上连续，则 g g(x x)dxdx=2 =2 g g(x x)dxdx，如本例为偶函数，可用该结论计算，如本例为偶函数，可用该结论计算.aaaaa0【类题试解类题试解】求下列函数的定积分：求下列函数的定积分：(1)(1)x x3 3dxdx.(2)|.(2)|x x|dxdx.【常规解法常规解法】(1)(1)x x3 3dxdx=x x4 4 =1 =14 4-(-1)-(-1)4 4=0.=0.(2)|(2)|x x|dxdx=xdxxdx+(-+(-x x)dxdx=x x2 2 -x x2 2 =1133111411|143330031230|1203|99(0)9.22【巧妙解法巧妙解法】(1)(1)因为因为f f(x x)=)=x x3 3(-1(-1x x1)1)是奇函数，所以是奇函数，所以 x x3 3dxdx=0.=0.(2)(2)因为因为f f(x x)=|)=|x x|(-3|(-3x x3)3)是偶函数，所以是偶函数，所以|x x|dxdx=2 2 xdxxdx=2=2 x x2 2 =9.=9.1133301230|
