1、同学们好！1.与平行四边形有关的证明与计算 2.与矩形有关的证明与计算 3.与菱形有关的证明与计算 4.与正方形有关的证明与计算特殊四边形相关的证明与计算特殊四边形相关的证明与计算对角线对角线 相等相等对角线对角线 相等相等对角线对角线 互相垂直互相垂直 平行四边形是平行四边形是中心对称中心对称图形，这是它的本质特征矩形、菱形、正方形作为图形，这是它的本质特征矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的特征，而且它们都是特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的特征，而且它们都是轴对称轴对称图形，图形，分别具有一些独特的性质分别具有一些独特的性质 在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清
2、是在在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形四边形”，还是在，还是在“平行四边平行四边形形”的基础上来求证的，要熟悉各的基础上来求证的，要熟悉各判定定理判定定理之间的联系与区别之间的联系与区别 直角三角形斜边上的直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半中线等于斜边的一半，常将它与直角三角形的其他性质，常将它与直角三角形的其他性质联合运用，解决直角三角形中的计算或论证问题联合运用，解决直角三角形中的计算或论证问题 解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法，这里题的方法，这里方程思想方程思想很重要
3、很重要问题:将菱形的面积五等分.(2018北京石景山一模,19)问题:将菱形的面积五等分.小红发现只要将菱形周长五等分,再将各分点与菱形的对角线交点连接起来即可解决问题.如图,点O是菱形ABCD的对角线交点,AB=5,下面是小红将菱形ABCD面积五等分的操作与证明思路,请补充完整.(1)在AB边上取点E,使AE=4,连接OA,OE;(2)在BC边上取点F,使BF=,连接OF;(3)在CD边上取点G,使CG=,连接OG;(4)在DA边上取点H,使DH=,连接OH.由于AE=+=+=+=.可证SAOE=S四边形EOFB=S四边形FOGC=S四边形GOHD=SHOA.答案答案3;2;1;EB;BF;
4、FC;CG;GD;DH;HA图1,图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且MON=90;(2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).解析解析(1)正确画图(如图1).(3分)(2)正方形ABCD正确(如图2).(5分)分割正确(如图3).(7分)(2019北京门头沟一模,21)如图,在ABD
5、中,ABD=ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,连接BC,DC和AC,AC与BD交于点O.(1)用尺规补全图形,并证明四边形ABCD为菱形;(2)如果AB=5,cosABD=,求BD的长.35解析解析(1)补全的图形如图所示.(1分)证明:由题意可知BC=DC=AB.在ABD中,ABD=ADB,AB=AD.BC=DC=AD=AB.四边形ABCD为菱形.(3分)(2)四边形ABCD为菱形,BDAC,OB=OD.(4分)在RtABO中,AOB=90,AB=5,cosABD=,OB=ABcosABD=3.BD=2OB=6.(5分)35(2019北京顺义一模,21
6、)已知:如图,四边形ABCD是矩形,ECD=DBA,CED=90,AFBD于点F.(1)求证:四边形BCEF是平行四边形;(2)若AB=4,AD=3,求EC的长.解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,DC=AB,DCAB,(1分)1=DBA.AFBD于点F,CED=90,BFA=CED=90.又ECD=DBA,1=ECD,ECD FBA.(2分)ECFB,EC=BF.四边形BCEF是平行四边形.(3分)(2)AB=4,AD=3,BD=5,(4分)易证AFBDAB,=,可得BF=,EC=BF=.(5分)ABBDBFAB165165(2019北京西城一模,21)如图,在ABC中,AC=BC,D
7、,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF.(1)求证:四边形DFCE是菱形;(2)若A=75,AC=4,求菱形DFCE的面积.解析解析(1)证明:D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,DE=BC=FC,DF=AC=EC.(1分)AC=BC,DE=FC=DF=EC.(2分)四边形DFCE是菱形.(3分)(2)过点E作EHBC于点H,如图.1212AC=BC,A=B.A=75,C=180-A-B=30.(4分)AC=4,CE=CF=2.在RtEHC中,EH=CE=1,菱形DFCE的面积=CFEH=2.(5分)122019北京东城一模,21)如图,在ABC中,CD平分ACB,CD的垂直
8、平分线分别交AC,DC,BC于点E,F,G,连接DE,DG.(1)求证:四边形DGCE是菱形;(2)若ACB=30,B=45,ED=6,求BG的长.解析解析(1)证明:EG垂直平分DC,DE=CE,EDC=ECD.CD平分ECG,ECD=DCG.EDC=DCG.DEGC.(1分)同理DGEC.四边形DGCE是平行四边形.DE=CE,四边形DGCE是菱形.(2分)(2)四边形DGCE是菱形,DG=DE=6.DGEC,DGB=ACB=30.(3分)如图,过点D作DHBG于点H,DH=DG=3.HG=3.(4分)B=45,BH=DH=3.BG=3+3.(5分)1233(2019北京西城二模,21)如
9、图,在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,ADCD.点E在对角线CA的延长线上,连接BD,BE.(1)求证:AC=BD;(2)若BC=2,BE=,tanABE=,求EC的长.1323解析解析(1)证明:AB=DC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形.(1分)ADCD,ADC=90.四边形ABCD是矩形.AC=BD.(2分)(2)过点E作EFCB交CB的延长线于点F,如图,则EFB=90.四边形ABCD是矩形,ABC=90,ABC=EFB.EFAB,ABE=FEB.(3分)tanFEB=tanABE=.=.设FB=2x(x0),则EF=3x.BE2=EF2+FB2,BE=,()2=(3
10、x)2+(2x)2,解得x=1.FB=2,EF=3.(4分)BC=2,FC=FB+BC=4.EC=5.(5分)23FBEF23131322EFFC如图,点E在 ABCD内部,AFBE,DFCE.(1)求证:BCE ADF;(2)设 ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值.ST解析解析(1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M,ADBC,FAD=M,又AFBE,M=EBC,FAD=EBC.同理得FDA=ECB.在BCE和ADF中,EBC=FAD,BC=AD,ECB=FDA,BCE ADF.(5分)(2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知BCE ADF,AF=BE,又AFB
11、E,四边形ABEF为平行四边形,SAEF=SAEB.同理SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC,又T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T.=2.(10分)解法二:BCE ADF,T=SAED+SBCE.如图2,过点E作HGBC交BC于G,交AD于H,则EGBC,EHAD.于是,T=SAED+SBCE=BC(EG+EH)=BCGH=S,即=2.(10分)ST121212ST图1图2思路分析思路分析(1)延长FA与CB的延长线交于M,根据平行四边形ABCD的性质可以证明EBC=FAD,ECB=FDA,从而证明BCE ADF(ASA);(2)
12、解法一:连接EF,易证四边形ABEF、CDFE都是平行四边形,从而得T=S四边形AEDF=SAEF+SDEF=SAEB+SDEC,再证得T=SAED+SBCE,即可得出结果.解法二:利用BCE ADF可证T=SAED+SBCE,然后作HG垂直BC,由三角形的面积公式及AD=BC得出结果.方法总结方法总结求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟悉易求的图形面积.如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AMAB,CBE由DAM平移得到.若过点E作EHAC,H为垂足,则有以下结论:点M位置变化,使得DHC=60时,2BE=DM;无论点M运动到何处,都有DM=HM;无论点M运动到何处,CHM一定大于135,其中正确结论的序号为.2作业：l整理笔记l练习册 225-227红笔自判并改错 下午数学基础测试
