1、专题函数压轴题函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题解答动二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数解析式，进而确定函数图象；解不同时间段运动时对应的函数解析式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案求解，最后汇总成最终答案临沂市近五年中
2、考对此问题的考查：临沂市近五年中考对此问题的考查：2017 2017年、年、20162016年和年和20132013年中考试题第年中考试题第2626题都考查了二次函数动点、存在题都考查了二次函数动点、存在点问题；点问题；20152015年和年和20142014年中考试题第年中考试题第2626题考查了二次函数题考查了二次函数存在点问题；存在点问题；20132013年中考试题第年中考试题第1414题都考查了动点函数图题都考查了动点函数图象问题象问题类型一类型一 动点函数图象问题动点函数图象问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有
3、关动点函数图象的变化情况分析此类问题情况，确定出有关动点函数图象的变化情况分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数解析式，最个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数解析式，最后根据函数解析式判别图象的变化后根据函数解析式判别图象的变化例例1 1 (2016(2016济南济南)如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，B B9090，ABABADAD5 5，BCBC4 4，M M，N N，E E分别是分别是ABAB，ADAD，CBCB上的上的点，点，
4、AMAMCECE1 1，ANAN3.3.点点P P从点从点M M出发，以每秒出发，以每秒1 1个单位长个单位长度的速度沿折线度的速度沿折线MBMBBEBE向点向点E E运动，同时点运动，同时点Q Q从点从点N N出发，以出发，以相同的速度沿折线相同的速度沿折线NDNDDCDCCECE向点向点E E运动，当其中一个点到运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动设达后，另一个点也停止运动设APQAPQ的面积为的面积为S S，运动时，运动时间为间为t t s s，则，则S S与与t t之间的函数关系的大致图象为之间的函数关系的大致图象为()【分析分析】由点由点Q Q从点从点N N出发，沿折线出发，
5、沿折线NDNDDCDCCECE向点向点E E运动，运动，确定出点确定出点Q Q分别在分别在NDND，DCDC，CECE运动时对应的运动时对应的t t的取值范围，再的取值范围，再根据根据t t所在的取值范围分别求出其对应的函数解析式，最后所在的取值范围分别求出其对应的函数解析式，最后根据函数解析式确定对应的函数图象根据函数解析式确定对应的函数图象【自主解答自主解答】如图，过点如图，过点D D作作DFABDFAB于点于点F F，过点，过点Q Q作作QGABQGAB于点于点G G，当当0t20t2时，点时，点Q Q在线段在线段NDND上上ABCDABCD，B B9090，四边形四边形BCDFBCDF
6、是矩形，是矩形，DFDFBCBC4 4，1 1(2017(2017白银白银)如图如图1 1，在边长为，在边长为4 4 cmcm的正方形的正方形ABCDABCD中，中，点点P P以每秒以每秒2 2 cmcm的速度从点的速度从点A A出发，沿出发，沿ABBCABBC的路径运动，的路径运动，到点到点C C停止过点停止过点P P作作PQBDPQBD，PQPQ与边与边AD(AD(或边或边CD)CD)交于点交于点Q Q，PQPQ的长度的长度y(y(cmcm)与点与点P P的运动时间的运动时间x(x(s s)的函数图象如图的函数图象如图2 2所所示当点示当点P P运动运动2.5 2.5 s s时，时，PQP
7、Q的长是的长是()()2 2(2017(2017葫芦岛葫芦岛)如图，菱形如图，菱形ABCDABCD的边长为的边长为2 2，AA6060，点点P P和点和点Q Q分别从点分别从点B B和点和点C C出发，沿射线出发，沿射线BCBC向右运动，且速度向右运动，且速度相同，过点相同，过点Q Q作作QHBDQHBD，垂足为，垂足为H H，连接，连接PH.PH.设点设点P P运动的距离运动的距离为为x(0 x(0 x2)x2)，BPHBPH的面积为的面积为S S，则能反映，则能反映S S与与x x之间的函数之间的函数关系的图象大致为关系的图象大致为()()类型二类型二 二次函数综合题二次函数综合题二次函数
8、的综合题是中考数学的必考问题，一般作为二次函数的综合题是中考数学的必考问题，一般作为压轴题出现，常与动点、存在点、相似等相结合，难度较大压轴题出现，常与动点、存在点、相似等相结合，难度较大，是考生失分的重灾区，是考生失分的重灾区1 1二次函数动点问题二次函数动点问题例例2 2(2017(2017滨州滨州)如图，直线如图，直线y ykxkxb(kb(k，b b为常数为常数)分别分别与与x x轴、轴、y y轴交于点轴交于点A(A(4 4，0)0)，B(0B(0，3)3)，抛物线，抛物线y yx x2 22x2x1 1与与y y轴交于点轴交于点C.C.(1)(1)求直线求直线y ykxkxb b的函
9、数解析式；的函数解析式；(2)(2)若点若点P(xP(x，y)y)是抛物线是抛物线y yx x2 22x2x1 1上的任意一点，设上的任意一点，设点点P P到直线到直线ABAB的距离为的距离为d d，求，求d d关于关于x x的函数解析式，并求的函数解析式，并求d d取取最小值时点最小值时点P P的坐标；的坐标；(3)(3)若点若点E E在抛物线在抛物线y yx x2 22x2x1 1的对称轴上移动，点的对称轴上移动，点F F在在直线直线ABAB上移动，求上移动，求CECEEFEF的最小值的最小值【分析分析】(1)(1)利用待定系数法可求得直线解析式；利用待定系数法可求得直线解析式；(2)(2
10、)过过P P作作PHABPHAB于点于点H H，过，过H H作作HQxHQx轴，过轴，过P P作作PQyPQy轴，两轴，两垂线交于点垂线交于点Q Q，则可证明，则可证明PHQPHQBAOBAO，设，设H(mH(m，m m3)3)，利用相似三角形的性质可得到利用相似三角形的性质可得到d d与与x x的函数解析式，再利用的函数解析式，再利用二次函数的性质可求得二次函数的性质可求得d d取得最小值时的取得最小值时的P P点的坐标；点的坐标；34(3)(3)设设C C点关于抛物线对称轴的对称点为点关于抛物线对称轴的对称点为CC，由对称的性，由对称的性质确定出质确定出CC点的坐标，利用点的坐标，利用(2
11、)(2)中所求函数解析式求得中所求函数解析式求得d d的值，即可求得的值，即可求得CECEEFEF的最小值的最小值【自主解答自主解答】(1)y(1)ykxkxb b经过经过A(A(4 4，0)0)，B(0B(0，3)3)，(2)(2)如图，过点如图，过点P P作作PHABPHAB于点于点H H，过点，过点H H作作x x轴的平行线轴的平行线MNMN，分别过点分别过点A A，P P作作MNMN的垂线段，垂足分别为的垂线段，垂足分别为M M，N.N.设设H(mH(m，m m3)3)，则，则M(M(4 4，m m3)3)，N(xN(x，m m3)3)，P(xP(x，x x2 22x2x1)1)PHA
12、BPHAB，PHNPHNAHMAHM9090.AMMNAMMN，MAHMAHAHMAHM9090，MAHMAHPHN.PHN.AMHAMHPNHPNH9090，AMHAMHHNP.HNP.MAyMAy轴，轴，MAHMAHOBAOBA，343434(3)(3)如图，作点如图，作点C C关于直线关于直线x x1 1的对称点的对称点CC，过点，过点CC作作CFABCFAB于于F F，交抛物线的对称轴，交抛物线的对称轴x x1 1于点于点E E，此时，此时CECECFCF的值最小的值最小解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运
13、动速度是多少，结合直线或抛物线的解析式设线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的解析式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算干中与动点有关的条件进行计算.3 3(2017(2017菏泽菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线y yaxax2 2bxbx1 1交交y y轴于点轴于点A A，交，交x x轴正半轴于点轴正半轴于点B(4B(4，0)0)，与过，与过A A点的直线相交于另一点点的直线相交于另一点D(3D(3，)，过点，过点D D作作DCxDCx轴，垂足轴，垂足
14、为为C.C.52(1)(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)(2)点点P P在线段在线段OCOC上上(不与点不与点O O，C C重合重合)，过，过P P作作PNxPNx轴，交直轴，交直线线ADAD于于M M，交抛物线于点，交抛物线于点N N，连接，连接CMCM，求，求PCMPCM面积的最大值；面积的最大值；(3)(3)若若P P是是x x轴正半轴上的一动点，设轴正半轴上的一动点，设OPOP的长为的长为t t，是否存在，是否存在t t，使以点使以点M M，C C，D D，N N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出求出t t的值；若不存在，请说明理
15、由的值；若不存在，请说明理由(2)(2)设直线设直线ADAD的解析式为的解析式为y ykxkxb b，2 2二次函数存在点问题二次函数存在点问题例例2 2(2017(2017苏州苏州)如图，二次函数如图，二次函数y yx x2 2bxbxc c的图象与的图象与x x轴轴交于交于A A，B B两点，与两点，与y y轴交于点轴交于点C C，OBOBOC.OC.点点D D在函数图象上，在函数图象上，CDxCDx轴，且轴，且CDCD2 2，直线，直线l l是抛物线的对称轴，是抛物线的对称轴，E E是抛物线的是抛物线的顶点顶点(1)(1)求求b b，c c的值；的值；(2)(2)如图，连接如图，连接BE
16、BE，线段，线段OCOC上的点上的点F F关于直线关于直线l l的对称点的对称点FF恰好在线段恰好在线段BEBE上，求点上，求点F F的坐标；的坐标；(3)(3)如图，动点如图，动点在线段在线段OBOB上，过点上，过点作作x x轴的垂线分别轴的垂线分别与与BCBC交于点交于点M M，与抛物线交于点，与抛物线交于点N.N.试问：抛物线上是否存在试问：抛物线上是否存在点点Q Q，使得，使得PQNPQN与与APMAPM的面积相等，且线段的面积相等，且线段QQ的长度最的长度最小？如果存在，求出点小？如果存在，求出点Q Q的坐标；如果不存在，说明理由的坐标；如果不存在，说明理由【分析分析】(1)(1)由
17、条件可求得抛物线对称轴，则可求得由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b b的值；的值；由由OBOBOCOC，可用，可用c c表示出表示出B B点坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标，代入抛物线解析式可求得c c的值；的值；(2)(2)可设可设F(0F(0，m)m)，则可表示出，则可表示出FF的坐标，由的坐标，由B B，E E的坐的坐标可求得直线标可求得直线BEBE的解析式，把的解析式，把FF坐标代入直线坐标代入直线BEBE解析式可得解析式可得到关于到关于m m的方程，可求得的方程，可求得F F点的坐标；点的坐标；(3)(3)设点设点P P坐标为坐标为(n(n，0)0)，可表示出可表示出PAPA，P
18、BPB，PNPN的长，作的长，作QRPNQRPN，垂足为，垂足为R R，则可求得，则可求得QRQR的长，用的长，用n n可表示出可表示出Q Q，R R，N N的坐标，在的坐标，在RtRtQRNQRN中，由勾股定中，由勾股定理可得到关于理可得到关于n n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时最小值时n n的值，则可求得的值，则可求得Q Q点的坐标点的坐标【自主解答自主解答】(1)CDx (1)CDx轴，轴，CDCD2 2，抛物线对称轴为直线抛物线对称轴为直线l：x x1 1，1 1，b b2.2.OBOBOCOC，C(0C(0，c)c)，B B点
19、的坐标为点的坐标为(c c，0)0)，0 0c c2 22c2cc c，解得，解得c c3 3或或c c0(0(舍去舍去)，c c3.3.b2(2)(2)设点设点F F的坐标为的坐标为(0(0，m)m)对称轴为直线对称轴为直线l：x x1 1，点点F F关于直线关于直线l的对称点的对称点F F的坐标为的坐标为(2(2，m)m)直线直线BEBE经过点经过点B(3B(3，0)0)，E(1E(1，4)4)，利用待定系数法可得直线利用待定系数法可得直线BEBE的解析式为的解析式为y y2x2x6.6.点点F F在在BEBE上，上，m m2 22 26 62 2，即点，即点F F的坐标为的坐标为(0(0
20、，2)2)(3)(3)存在点存在点Q Q满足题意满足题意设点设点P P坐标为坐标为(n(n，0)0)，则则PAPAn n1 1，PBPBPMPM3 3n n，PNPNn n2 22n2n3.3.如图，作如图，作QRPNQRPN，垂足为，垂足为R R，SSPQNPQNS SAPMAPM，(n(n1)(31)(3n)n)(n n2 22n2n3)3)QRQR，QRQR1.1.1212点点Q Q在直线在直线PNPN的左侧时，的左侧时，Q Q点的坐标为点的坐标为(n(n1 1，n n2 24n)4n)，R R点点的坐标为的坐标为(n(n，n n2 24n)4n)，N N点的坐标为点的坐标为(n(n，n
21、 n2 22n2n3)3)在在RtRtQRNQRN中，中，NQNQ2 21 1(2n(2n3)3)2 2，解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的解析式，设出该点的坐标；然后用该所在的直线或抛物线的解析式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则别该点坐标是否符合题意，若
22、符合题意，则该点存在，否则该点不存在该点不存在.4 4(2016(2016日照日照)如图如图1 1，抛物线，抛物线y y (x(x2)2)2 2nn与与x x轴交轴交于点于点A(mA(m2 2，0)0)和和B(2mB(2m3 3，0)(0)(点点A A在点在点B B的左侧的左侧)，与，与y y轴交轴交于点于点C C，连接，连接BC.BC.35解：解：(1)(1)抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是x x2 2，m m2 22m2m3 34 4，解得，解得m m1.1.A(A(1 1，0),B(50),B(5，0)0)把把A(A(1 1，0)0)代入抛物线解析式，代入抛物线解析式，得得 (9(9n)
23、n)0 0，解得，解得n n9.9.mm1 1，n n9.9.353 3二次函数相似问题二次函数相似问题例例4 4(2017(2017枣庄枣庄)如图，抛物线如图，抛物线y y x x2 2bxbxc c与与x x轴交轴交于点于点A A和点和点B B，与，与y y轴交于点轴交于点C C，点，点B B坐标为坐标为(6(6，0)0)，点，点C C坐标为坐标为(0(0，6)6)，点，点D D是抛物线的顶点，过点是抛物线的顶点，过点D D作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为E E，连接，连接BD.BD.12(1)(1)求抛物线的解析式及点求抛物线的解析式及点D D的坐标；的坐标；(2)(2)点点F
24、 F是抛物线上的动点，当是抛物线上的动点，当FBAFBABDEBDE时，求点时，求点F F的坐标；的坐标；(3)(3)若点若点M M是抛物线上的动点，过点是抛物线上的动点，过点M M作作MNxMNx轴与抛物线交于轴与抛物线交于点点N N，点，点P P在在x x轴上，点轴上，点Q Q在坐标平面内，以线段在坐标平面内，以线段MNMN为对角线作为对角线作正方形正方形MPNQMPNQ，请写出点，请写出点Q Q的坐标的坐标【分析分析】(1)(1)由由B B，C C的坐标，利用待定系数法可求得抛物的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点线解析式，再求其顶点D D即可；即可；(2)(2)过过F
25、F作作FGxFGx轴于点轴于点G G，可设出，可设出F F点坐标，利用点坐标，利用FBGFBGBDEBDE，由相似三角形的性质可得到关于，由相似三角形的性质可得到关于F F点坐标的方程，点坐标的方程，可求得可求得F F点的坐标；点的坐标；(3)(3)由由M M，N N两点关于对称轴对称，可知点两点关于对称轴对称，可知点P P为对称轴与为对称轴与x x轴的轴的交点，点交点，点Q Q在对称轴上，可设出在对称轴上，可设出Q Q点的坐标，则可表示出点的坐标，则可表示出M M的的坐标，代入抛物线解析式可求得坐标，代入抛物线解析式可求得Q Q点的坐标点的坐标【自主解答自主解答】(2)(2)如图，当点如图，
26、当点F F在在x x轴上方时，过轴上方时，过F F作作FGxFGx轴于轴于G G，连接，连接BF.BF.(3)(3)设对角线设对角线MNMN，PQPQ交于点交于点OO，如图，如图点点M M，N N关于抛物线对称轴对称，且四边形关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQMPNQ为正方形，为正方形，点点P P为抛物线对称轴与为抛物线对称轴与x x轴的交点，点轴的交点，点Q Q在抛物线对称轴上，在抛物线对称轴上，设点设点Q Q的坐标为的坐标为(2(2，2n)2n)，则点，则点M M的坐标为的坐标为(2(2n n，n)n)点点M M在抛物线在抛物线y y x x2 22x2x6 6的图象上，的图象上，n
27、n (2(2n)n)2 22(22(2n)n)6 6，化简得化简得n n2 22n2n16160 0，1212解得解得n n1 11 1 ，n n2 21 1 ，满足条件的点满足条件的点Q Q有两个，坐标分别为有两个，坐标分别为Q Q1 1(2(2，2 22 )2 )或或Q Q2 2(2(2，2 22 )2 )17171717二次函数相似问题常与动点、存在点相结合，利用动点或存二次函数相似问题常与动点、存在点相结合，利用动点或存在点的坐标表示出与相似三角形有关的线段长，要注意边的在点的坐标表示出与相似三角形有关的线段长，要注意边的对应有多种可能，对每一种情况都要具体分析讨论，然后利对应有多种可
28、能，对每一种情况都要具体分析讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例列出方程，通过解方程求得结用相似三角形的对应边成比例列出方程，通过解方程求得结果，还要考虑求出的结果是否符合题意及实际情况果，还要考虑求出的结果是否符合题意及实际情况5 5(2016(2016济南济南)如图如图1 1，抛物线，抛物线y yaxax2 2(a(a3)x3)x3(a0)3(a0)与与x x轴交于点轴交于点A(4A(4，0)0)，与，与y y轴交于点轴交于点B.B.在在x x轴上有一动点轴上有一动点E(mE(m，0)(0m4)0)(0m4)，过点，过点E E作作x x轴的垂线交直线轴的垂线交直线ABAB于点于点N N，
29、交抛物线于，交抛物线于点点P P，过点，过点P P作作PMABPMAB于点于点M.M.(1)(1)求求a a的值和直线的值和直线ABAB的函数解析式；的函数解析式；(2)(2)设设PMNPMN的周长为的周长为C C1 1，AENAEN的周长为的周长为C C2 2，若，若 求求m m的值；的值；(3)(3)如图如图2 2，在，在(2)(2)的条件下，将线段的条件下，将线段OEOE绕点绕点O O逆时针旋转得到逆时针旋转得到OEOE，旋转角为，旋转角为(0(09090)，连接，连接EAEA，EBEB，求，求EAEA EBEB的最小值的最小值236 6(2016(2016莱芜莱芜)如图，二次函数如图，
30、二次函数y yaxax2 2bxbxc c的图象经过点的图象经过点A(A(1 1，0)0)，B(4B(4，0)0)，C(C(2 2，3)3)，直线，直线BCBC与与y y轴交于点轴交于点D D，E E为二次函数图象上任一点为二次函数图象上任一点(1)(1)求这个二次函数的解析式；求这个二次函数的解析式；(2)(2)若点若点E E在直线在直线BCBC的上方，过点的上方，过点E E分别作分别作BCBC和和y y轴的垂线，交轴的垂线，交直线直线BCBC于不同的两点于不同的两点F F，G(FG(F在在G G的左侧的左侧)，求，求EFGEFG的周长的最的周长的最大值；大值；(3)(3)是否存在点是否存在
31、点E E，使得，使得EDBEDB是以是以BDBD为直角边的直角三角形，为直角边的直角三角形，如果存在，求点如果存在，求点E E的坐标；如果不存在，请说明理由的坐标；如果不存在，请说明理由解：解：(1)(1)二次函数二次函数y yaxax2 2bxbxc c的图象经过点的图象经过点A(A(1 1，0)0)，B(4B(4，0)0)，C(C(2 2，3)3)，(2)(2)设设BCBC所在直线的解析式为所在直线的解析式为y ykxkxn n，把把B(4B(4，0)0)，C(C(2 2，3)3)代入，得代入，得(3)(3)假设存在点假设存在点E E，使，使EDBEDB是以是以BDBD为直角边的直角三角形
32、为直角边的直角三角形连接连接ADAD，则，则ADAD .由由(2)(2)知，知，ABAB5 5，BDBD2 .2 .ADAD2 2BDBD2 2ABAB2 2，ABDABD是以是以BDBD为直角边的直角三角形为直角边的直角三角形设直线设直线ADAD的解析式为的解析式为y ymxmxp p，55当点当点E E的坐标为的坐标为(3(3，2)2)时，时，EDBEDB是以是以BDBD为直角边的直角三为直角边的直角三角形；当点角形；当点E E的坐标为的坐标为(4(4，0)0)时，与点时，与点B B重合，不能构成三角重合，不能构成三角形，故舍去形，故舍去综上所述，点综上所述，点E E的坐标为的坐标为(1 1，0)0)或或(8(8，18)18)或或(3(3，2)2)时，时，EDBEDB是以是以BDBD为直角边的直角三角形为直角边的直角三角形
