1、“喷水鱼洗喷水鱼洗”实质上是一个盆边带有双耳的铜盆实质上是一个盆边带有双耳的铜盆.当用手当用手摩擦盆边的双耳时，盆内的水会浪花飞溅摩擦盆边的双耳时，盆内的水会浪花飞溅.第第12章章 机械振动机械振动12.1 简谐振动简谐振动主要内容：主要内容：1.什么是简谐振动？什么是简谐振动？2.简谐振动动力学和运动学特征简谐振动动力学和运动学特征3.用牛顿运动定理分析谐振子的运动规律用牛顿运动定理分析谐振子的运动规律4.简谐振动振动的旋转矢量表述简谐振动振动的旋转矢量表述5.谐振动振动的能量谐振动振动的能量 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.机械振动机械
2、振动 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动.周期和非周期振动周期和非周期振动 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.谐振子谐振子 作简谐运动的物体作简谐运动的物体.例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等中原子的振动等.简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解12.1.1 简谐振动简谐振动 定义定义:特点特点:(1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动x 是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y,z 或或 等等.
3、)cos()(tAtx m)()(Ttxtx 研究简谐振动的意义研究简谐振动的意义:OxtTT2mxOu 谐振子谐振子1.受力特点受力特点机械振动的力学特点机械振动的力学特点线性回复力线性回复力kxF2.动力学方程动力学方程makxF0dd222xtx)cos()(tAtx运动微分方程运动微分方程其中其中 为为 固有固有角频率角频率mk 3.速度和加速度速度和加速度 )sin(tAv)2 cos(tA)cos(2tAa)cos(2tA Okxl0 x m12.1.2 描述描述谐振动谐振动的特征量的特征量 1.振幅振幅 A2.周期周期T 和频率和频率 vv=1/T (Hz)3.相位相位(1)(t
4、 +)是是 t 时刻的相位时刻的相位(2)是是 t=0 时刻的相位时刻的相位 初相初相相位的意义相位的意义:)cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAvv 相位确定了振动的状态相位确定了振动的状态.v 相位每改变相位每改变 2 2 振动重复一次振动重复一次,相位相位 2 2 范围内变化范围内变化,状态不重复状态不重复.txOA-A=2 mxOv 相位差相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt1221（当时）若若 212k若若两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相。)12(12k两振动步调相反两振动步调相反,称称反相。反相。m2 x2Ok2 m
5、1 k1x1 xtoA1A2-A2x1x2T-A1x2TxoA1-A1A2-A2x1t 超前和滞后：超前和滞后：超超前前。比比振振动动振振动动时时当当12,01x1A2xtox2A落落后后比比振振动动振振动动12落落后后。比比振振动动振振动动时时当当12,0超超前前比比振振动动振振动动121A2x1xtox2A x2 比比 x1 较早达到正最大。较早达到正最大。x1 比比 x2 较早达到正最大。较早达到正最大。注意：领先、落后一般以注意：领先、落后一般以 的相位角来判断的相位角来判断4.振幅和初相位的确定振幅和初相位的确定)cos()(tAtxcos0Ax)sin(tAvsin 0Av2202
6、0vxA)arctan(00 xv注意注意:如何确定最后的如何确定最后的 .12.1.3 谐振动旋转矢量表示法谐振动旋转矢量表示法 t+oxxtt=0 Ava)sin(tAv)2cos(tA)cos(2tAa)cos(vvtA)cos(aatA特点特点:直观方便直观方便.)cos()(tAtx简谐振动旋转矢量表示法的应用简谐振动旋转矢量表示法的应用应用应用:可以方便地确定初相位可以方便地确定初相位和相位和相位0000 xv0000 xv0000 xv0000 xvxM1M212P例例1 已知某质点作简谐运动已知某质点作简谐运动,振动曲线如图振动曲线如图.试根据图中数据试根据图中数据 写出振动表
7、达式写出振动表达式.)cos(tAx0由图可见由图可见:A=2m,当当t=0 时有：时有：22x0 cos解得：解得：430 )cos(4t432x 解解:振动表达式：振动表达式：x/mt/s 20 01 12设运动表达式设运动表达式4 02v00 sin44 或或当当t=1 s 时有时有:0420 )cos(23240 或或 )(Av01 由由140 )sin(12.1.4 谐振动的能量谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)1.动能动能221vmEk)(sin2122tkA2 41d1kAtETETttkk2.势能势能221kxEp)(cos2122tkA3.机械能机械能221
8、kAEEEpk（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）mxOEkEPExOAA例例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为离为12cm的两点的两点A和和B，历时，历时2s，并且在，并且在A，B两点处具有两点处具有相同的速度；再经过相同的速度；再经过2s后，质点又从另一方向通过后，质点又从另一方向通过B点。点。AB解解Ox质点运动的周期和振幅。质点运动的周期和振幅。求求由题意可知，由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为的中点为平衡位置，周期为t1=2s,t2=1sT=2(t1+2t2)=8(s)cm6Axcm6Bx设
9、平衡位置为坐标原点，则设平衡位置为坐标原点，则)2cos(tAx设设 t=0 时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为t=1 时时,质点位于质点位于B点点,所以所以)282cos(6 A)282cos(tAcm 26A12.2 简谐振动的实例分析简谐振动的实例分析主要内容：主要内容：1.单摆单摆2.复摆复摆3.扭摆扭摆4.双原子分子内原子的振动双原子分子内原子的振动12.2.1 单摆单摆PTlm以小球为研究对象，作受力分析以小球为研究对象，作受力分析.设角沿逆时针方向为正设角沿逆时针方向为正.P 重力重力,T 绳的拉力绳的拉力.amTP沿切向方向的分量方程为
10、沿切向方向的分量方程为tmPddsinvlv 361sin（小角度时）（小角度时）0lg 令令lg202 结论结论:小角度摆动时，单摆的运动是谐振动小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.周期和角频率为：周期和角频率为：glT2lg（牛顿第二定律）（牛顿第二定律）12.2.2 复摆复摆（物理摆）（物理摆）PC mh)(zO以物体为研究对象以物体为研究对象设角沿逆时针方向为正设角沿逆时针方向为正 ZJmghsin（刚体绕定轴转动定律）（刚体绕定轴转动定律）小角度时小角度时0ZJmgh 令令ZJmgh202 结论结论:小角度摆动时，复摆的运动是谐振动小角度摆动时，复摆的运动是谐振动.周期和角频率为：周期
11、和角频率为：mghJTZ2ZJmgh12.2.3 扭扭摆摆以圆盘为研究对象以圆盘为研究对象在在（扭转角扭转角）不太大时，不太大时，DMz（刚体绕定轴转动定律）（刚体绕定轴转动定律）0ZJD 令令ZJD202 结论结论:在在扭转角扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动不太大时，扭摆的运动是谐振动.周期和角频率为：周期和角频率为：DJTZ2ZJD金属丝金属丝xyzDJZ（D为金属丝的扭转系数）为金属丝的扭转系数）圆盘受到的力矩为圆盘受到的力矩为u 双原子分子双原子分子某些双原子分子中，原子间的相互作用力可以用为某些双原子分子中，原子间的相互作用力可以用为32rbraF（其中，（其中，r 为原子间的距离
12、，为原子间的距离，a 和和 b 均为正的常数）均为正的常数）证明证明原子在平衡位置附近的微振动是谐振动原子在平衡位置附近的微振动是谐振动,并确定其周期并确定其周期.证明证明:平衡位置平衡位置03020rbraFab0r设原子偏离平衡位置的位移为设原子偏离平衡位置的位移为0r-rx 222000)dd(21)dd()(xrFxrFFFrrrrrr（在平衡位处置幂级数展开）（在平衡位处置幂级数展开）xrFFrr0)dd(（对于微小振动，高阶小量可略去）（对于微小振动，高阶小量可略去）3443)32()dd(0barbrarFabrrrxbaxrFFrr340)dd(kx34bak 其中其中，为等效
13、劲度系数，为等效劲度系数.结论结论:原子在平衡位置附近的微振动是谐振动原子在平衡位置附近的微振动是谐振动.周期为：周期为：mabkmT4322角频率为：角频率为：mba34质量为质量为 m 的比重计，放在密度为的比重计，放在密度为 的液体中。的液体中。已知比重计圆管的直径为已知比重计圆管的直径为 d。试证明在竖直方向的。试证明在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。振动为简谐振动，并计算周期。取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点平衡点平衡点0 Vgmg V 为平衡时比重计的排水体积为平衡时比重计的排水体积mgFOx222dd2txmgxdVmg04dd222xmgdtx222dd2txmx
14、dgVgmgmgd2gmdT42Ox 例例2 2 求如图所示的力学系统的振动周期。求如图所示的力学系统的振动周期。kmll 解：设轻杆水平状态时为平衡位置，解：设轻杆水平状态时为平衡位置，此时弹簧伸长此时弹簧伸长0y由刚体平衡，对支点力矩和为零：由刚体平衡，对支点力矩和为零：lkyl2mg0 已知：轻杆长已知：轻杆长 ，m，k l2kmg2y0 当杆偏离水平方向角度当杆偏离水平方向角度 时，由转动定律时，由转动定律 Jlyykl2mg0 )(2222dtdl2mkl )(0m4kdtd22 整理得：整理得：m4k km42T 很小很小 ly 很小很小 xkmr例例3 求圆柱弹簧振子的周期，设圆
15、柱仅限于纯滚运动。求圆柱弹簧振子的周期，设圆柱仅限于纯滚运动。已知：已知：rmk,求：求：T=?222J21mv21kx21E 解：圆柱作纯滚运动，因而机械能解：圆柱作纯滚运动，因而机械能 守恒，设圆柱质心相对平衡位置的守恒，设圆柱质心相对平衡位置的位移为位移为x时，圆柱的质心速率为时，圆柱的质心速率为 v转动角速度为转动角速度为 则该时刻总机械能：则该时刻总机械能：,212xvmrJ其中其中无滑滚动条件：无滑滚动条件：rv rxrv 22xm43kx21E 0dtdE 又由于又由于则：则：0 xxm23xkx 0 xm3k2x m3k2 km62T 判别简谐振动的依据判别简谐振动的依据（1）
16、运动表达式为）运动表达式为 ，其中，其中 A、和和 是常数。是常数。)cos(tAx（2）作用力的形式为）作用力的形式为 ，k 为常系数。为常系数。kxF（3）动力学方程可写成）动力学方程可写成 ，为常系数，其平方根即为角频率。为常系数，其平方根即为角频率。0 dd22xtx弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动212.3 谐振动的合成谐振动的合成主要内容：主要内容：1.同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成2.同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍3.相互垂直谐
17、振动的合成相互垂直谐振动的合成12.3.1 同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成1.解析法解析法分振动分振动:)cos(111tAx)cos(222tAx合振动合振动:)cos()cos(2211tAtAtAAtAA sin)sinsin(cos)coscos(22112211cosAsinA)cos(sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA21xxx 结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动2.旋转矢量法旋转矢量法11 A2 A2Ax2x1x21xxxO1221xxx)cos(
18、tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA分振动分振动)cos(111tAx)cos(222tAx合振动合振动 结论：结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷.讨论讨论:(1)若两分振动同相若两分振动同相,即即 2 1=2k (k=0,1,2,)(2)若两分振动反相若两分振动反相,即即 2 1=(2k+1)(k=0,1,2,)当当 A1=A2 时时,A=0则则 A=A1+A2,两分振动相互加强，两分振动相互加强，则则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，两分振动相互减弱，当当 A1=A2 时时,A=
19、2A1)cos(212212221AAAAA例例 设有设有 n 个同方向、同频率、振幅个同方向、同频率、振幅 a 相同、初相差依次为一相同、初相差依次为一常量常量的谐振动，它们的振动分别为的谐振动，它们的振动分别为taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax)1(cos(ntaxn3.n 个同方向同频率谐振动的合成个同方向同频率谐振动的合成求求 合振动的振动方程。合振动的振动方程。解解)cos(tAxxnn aCAR22nxOP2sin2Ra 2sin2nRA 2/sin2/sinnaA 21)(21)(21nn2)1(cos2sin2sin)cos(ntnatAx极大值极大值:2k
20、讨论讨论:naA 极小值极小值:2nkknk，n aCAR22nxOP0A次极大次极大:12.3.2 同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍分振动分振动:tAx cos111tAx222cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21合振动合振动:21xxx当当 时时,21AAA2)(12ktA 有最大值有最大值:t)(12合振动的振幅合振动的振幅tAAAAA)cos(212212221当当 时，时，21AAA)12()(12ktA有最小值有最小值:结论：结论：合振动合振动 x 不再是简谐振动不再是简谐振动,合振动振幅的频率为合振动振幅的频率为2)(12T12122v
21、vvtAtAxxx2121coscos当当 2 1 时时,2-1 2+1，令，令其中其中 )2cos(2)(12tAtA)2cos(cos12tt随随 t 缓变缓变随随 t 快变快变ttAxcos)(u 振幅相同不同频率的简谐振动的合成振幅相同不同频率的简谐振动的合成tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(21212合振动合振动:分振动分振动:结论：结论：合振动合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。可看作是振幅缓变的简谐振动。xx2x1tttv 拍的现象拍的现象 OOO拍原理的应用拍原理的应用单位时间内振动加强或减弱的次数叫单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频。拍频。显
22、然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。)2cos(12t)(txt拍现象的应用：拍现象的应用：v 用音叉振动校准乐器用音叉振动校准乐器v 测定超声波测定超声波v 测定无线电频率测定无线电频率v 调制高频振荡的振幅和频率等调制高频振荡的振幅和频率等1212)2(21212.3.3 两个相互两个相互垂直谐振动的合成垂直谐振动的合成 李萨如图李萨如图1.两个同频率相互垂直的谐振动的合成两个同频率相互垂直的谐振动的合成分振动分振动合运动合运动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx&讨论讨论 当当 =2 1=k (k为整数为整数)时时:0221222212
23、AyAxAyAx当当 =(2k+1)/2(k为整数为整数)时：时：1222212AyAx021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAyxy =0(第一象限第一象限)=/2 =3=3/2/2(第二象限第二象限)(第三象限第三象限)(第四象限第四象限)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx122.两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成分振动分振动tAx11cos)cos(22tAy 结论：结论：(1)1、2 之比为整数时之比为整数时:合成运动仍是周期运动合成运动仍是周期运动,轨迹是稳定的闭合曲线轨迹是稳定的闭合曲线(李李萨如图萨如图
24、)。(2)1、2 之比不为整数时之比不为整数时:合成运动为非周期运动合成运动为非周期运动;运动的轨迹为永不闭合的。运动的轨迹为永不闭合的。1A2A04241 11 21 32 33 43 54:55 621图 12.25:李李萨如曲线萨如曲线12.4 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介主要内容：主要内容：1.阻尼振动阻尼振动2.受迫振动受迫振动12.4.1 阻尼振动阻尼振动阻尼力阻尼力xf 振动的微分方程振动的微分方程 xkxxm 022xxnx 式中，式中，2=k/m,n=/(2 m)(阻尼系数阻尼系数)几种阻尼振动模式几种阻尼振动模式 v小阻尼小阻尼v大阻尼大阻尼v临界阻尼临界阻
25、尼 Okxl0 xfv m系统因受阻力振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。系统因受阻力振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。2.临界阻尼临界阻尼(n2=2)1.小阻尼小阻尼(n2 2)TnT222阻尼的应用阻尼的应用12.4.2 受迫振动受迫振动受力分析受力分析 弹性力弹性力阻尼力阻尼力 x 周期性驱动力周期性驱动力tFxkxxm cos 0 kx受迫振动的微分方程受迫振动的微分方程tfxxnxcos220 tFFcos0）2(00；令：mFfmnmkkxF xF PNFtFcos0 xl0 x其解为其解为)(2)(1特解通解xxx受迫振动微分方程的受迫振动微分方程的稳态稳态解为解为:)cos(
26、tAx其中，振幅其中，振幅 A 及受迫振动与干扰力之间的相位差及受迫振动与干扰力之间的相位差 分别为：分别为：2/12222024)(nfA2202tann 结论结论:振幅振幅 A 及受迫振动与干扰力之间的相位差及受迫振动与干扰力之间的相位差 都都与起始条件无关。与起始条件无关。&讨论讨论:v 位移共振位移共振(振幅取极值振幅取极值)v 速度共振速度共振(速度振幅取极值速度振幅取极值)1.位移共振位移共振(振幅取极值振幅取极值)（振幅共振曲线）（振幅共振曲线）共振频率共振频率:2202nr共振振幅共振振幅:2202nnfAr2.速度共振速度共振(速度振幅取极值速度振幅取极值)共振频率共振频率:
27、0共振速度振幅共振速度振幅:nfm2v2222024)(nfBmv（速度共振曲线）（速度共振曲线）u 共振的应用和危害共振的应用和危害如何减小共振的影响如何减小共振的影响 示教演示示教演示塔科马海峡桥的倒塌塔科马海峡桥的倒塌本章小结本章小结1.简谐振动方程简谐振动方程)cos()(tAtx2.简谐振动的相位简谐振动的相位(t +)是是 相位，决定相位，决定 t 时刻简谐振动的运动状态时刻简谐振动的运动状态.3.简谐振动的运动微分方程简谐振动的运动微分方程0dd222xtx4.由初始条件由初始条件振幅和初相位振幅和初相位22020vxA)(tan001xv5.弹簧振子的能量弹簧振子的能量动能：动
28、能：221vmEk)(sin21222tAm势能：势能：221kxEp)(cos2122tkA总机械能：总机械能：221kAEEEpk平均能量：平均能量：2pk4121kAEEE6.谐振动的旋转矢量表示谐振动的旋转矢量表示ox At )cos()(tAtx7.简谐简谐谐振动的合成谐振动的合成(1)同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成合振动仍为简谐振动，和振动的振幅取决于两个分合振动仍为简谐振动，和振动的振幅取决于两个分振动的振幅及相差，即振动的振幅及相差，即)cos(212212221AAAAA(2)同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成当两个分振动的频率相差较小时，
29、产生拍的现象，拍当两个分振动的频率相差较小时，产生拍的现象，拍频为频为1212)2()(vv/v(3)相互垂直的两个谐振动的合成相互垂直的两个谐振动的合成若两个分振动的频率相同，则合振动的轨迹一般为椭若两个分振动的频率相同，则合振动的轨迹一般为椭圆；若两个分振动的频率为简单整数比，则合振动的圆；若两个分振动的频率为简单整数比，则合振动的轨迹为李萨如图形。轨迹为李萨如图形。8.阻尼振动和受迫振动阻尼振动和受迫振动(1)阻尼振动阻尼振动小阻尼小阻尼(n2 2)和临界阻尼和临界阻尼(n2=2)情况下，弹簧振子情况下，弹簧振子的运动是非周期性的，振子随着时间逐渐返回平衡位的运动是非周期性的，振子随着时间逐渐返回平衡位置。临界阻尼与大阻尼情况相比，振子能能更快地返置。临界阻尼与大阻尼情况相比，振子能能更快地返回到平衡位置。回到平衡位置。(2)受迫振动受迫振动在周期性驱动力作用下的振动。稳态时振动的角频率在周期性驱动力作用下的振动。稳态时振动的角频率与驱动力的角频率相同；与驱动力的角频率相同；当驱动力角频率当驱动力角频率 时，振子振幅具有时，振子振幅具有最大值，发生位移共振；最大值，发生位移共振；当驱动力角频率当驱动力角频率r=0 时，振子速度振幅具有最大值，时，振子速度振幅具有最大值，系统发生速度共振。系统发生速度共振。2202nr
