1、 1 第三节 解一元一次方程 (二 ) 一 . 本周教学内容： 一元一次方程（二） 列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。 列方程解应用题的主要步骤： 1. 认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； 2. 用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式 ； 3. 利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）； 4
2、. 求出所列方程的解； 5. 检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。 【学习提示】 一 . 数字问题 ： （ 1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、 b、 c 均为整数，且 1 a 9， 0 b 9， 0 c 9）则这个三位数表示为： 100a 10b c。 （ 2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2N 表示，连续的偶数用 2N 2 或 2N 2 表示；奇数用 2N 1 或 2N 1 表示。 例 1. 一个三位数，三个数位上的数字之和是 17，百位上的数比十位上的数大 7，
3、个位上的数是十位上的数的 3 倍，求这个三位数 分析 由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为 x，则百位上的数为 X 7，个位上的数是 3X，等量关系为三个数位上的数字和为 17。 解： 设这个三位数十位上的数为 X，则百位上的数为 X 7，个位上的数是 3X X X 7 3X 17 解得 X 2 X 7 9， 3X 6 答：这个三位数是 926 2 例 2. 一个两位数，个位上 的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数 等量关系：原两位数 36对调后新两位数 解： 设十位上的数字 X，则个位上的数是 2X，
4、10 2X X（ 10X 2X） 36 解得 X 4， 2X 8，答：原来的两位数是 48。 二 . 工程问题 ： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。 例 3. 一件工作，甲独作 10 天完成，乙独作 8 天完成， 两人合作几天完成？ 分析 甲独作 10 天完 成，说明的他的工作效率是 1/10，乙的工作效率是 1/8 等量关系是：甲乙合作的效率合作的时间 1 解： 设合作 X 天完成 （ 1/10 1/8） X 1 解得 X 40/9 答：两人合作 40/9 天完成 例 4. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需
5、 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析 设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量乙完成工作量工作总量。 解： 设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1， 由题 意得， ( ) 3 1， 解这个方程， 1 12 15 5x 60 5x 33 x 6 答：乙还需 6 天才能完成全部工程。 例 5. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可 注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小
6、时可注满水池？ 分析 等量关系为：甲注水量乙注水量丙排水量 1。 3 解 ： 设打开丙管后 x 小时可注满水池， 由题意得， ( )(x 2) 1 解这个方程， (x 2) 1 21x 42 8x 72 13x 30 x 2 答：打开丙管后 2 小时可注满水池。 三 . 行程问题： 解题指导 （ 1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程速度时间。 （ 2）基本类型 有 1）相遇问题； 2）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 （ 3）解此类题的关键是抓住 甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 例 6
7、. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。 （ 1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （ 2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （ 3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （ 4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （ 5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析
8、。 （ 1） 分析： 相遇问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系是：慢车走的路程快车走的路程 480 公里。 4 解： 设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得， 140x 90(x 1) 480 解这个方程， 230x 390 x 1 答：快车开出 1 小时两车相遇 分析 ： 相背而行，画图表示为： 6 0 0 甲 乙 等量关系是：两车所走的路程和 480 公里 600 公里。 解： 设 x 小时后两车相距 600 公里， 由题意得， (140 90)x 480 600 解这个方程， 230x 120 x 答： 小时后两车相距 600 公里。 （ 3） 分析： 等量关系为：快车所走路程慢车所走
9、路程 480 公里 600 公里。 解： 设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得， (140 90)x 480 600 50x 120 x 2.4 答： 2.4 小时后两车相距 600 公里。 分析： 追及问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系为：快车的路程慢车走的路程 480 公里。 解： 设 x 小时后快车追上慢车。 由题意得， 140x 90x 480 解这个方程， 50x 480 x 9.6 答： 9.6 小时后快车追上慢车。 5 分析： 追及问题，等量关系为：快车的路程慢车走的路程 480 公里。 解： 设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得， 140x 90(x 1) 48
10、0 50x570 x 11.4 答：快车开出 11.4 小时后追上慢车。 例 7. 甲乙两人在同一道路上从相距 5 千米的 A、 B 两地同向而行，甲的速度为 5 千米 /小时，乙的速度为 3 千米 /小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追 上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为 15 千米 /小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？ 分析 追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程它的速度时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时 间 解： 设甲用 X 小时追上乙，根据题意列方程 5X 3X 5 解得 X 2.5，狗的总
11、路程： 15 2.5 37.5 答：狗的总路程是 37.5 千米。 例 8. 某船从 A 地顺流而下到达 B 地，然后逆流返回，到达 A、 B 两地之间的 C 地，一共航行了 7小时，已知此船在静水中的速度为 8 千米 /时，水流速度为 2 千米 /时。 A、 C 两地之间的路程为 10千米，求 A、 B 两地之间的路程。 分析 这属于行船问题，这类问题中要弄清： （ 1）顺水速度船在静水中的速度水流速度； （ 2）逆水速度船在静水中的速度水流速度。相等关系为：顺流航行的时间逆流航行的时间 7 小时。 解： 设 A、 B 两码头之间的航程为 x 千米，则 B、 C 间的航程为 (x 10)千米
12、， 由题意得， X/（ 8 2） （ X 10） /（ 8 2） 7 解这个方程， X/10 （ X 10） /6 7， x 32.5 答： A、 B 两地之间的路程为 32.5 千米。 四 . 利润赢亏问题 1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 2）有关关系式： 商品利润商品售价 商品进价商品标价折扣率 商品进价 6 商品利润率商品利润 /商品进价 商品售价商品标价折扣率 例 9. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价 60 元一双，八折出售后商家获利润率为 40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 分析 通过列表 分析已知条件，找到
13、等量关系式进价 折扣率 标价 优惠价 利润率 60 元 8 折 x 元 80%x 40% 等量关系：商品利润率商品利润 /商品进价 解： 设标价是 x 元， 1004060 60%80 ?x解之： x 105 优惠价为 80%x 8410510080 ?（元） 例 10. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？ 分析 探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X 元 进价 折扣率 标价 优惠价 利润 X 元 8 折 （ 1 40%） X 元 80%（ 1 40%） X 15 元 等量关系：（利润折扣后价格 进价
14、）折扣后价格进价 15 解： 设进价为 X 元， 80%X（ 1 40%） X 15， X 125 答：进价是 125 元。 五 . 储蓄问题 1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 2）利息本金利率期数 本息和本金利息 7 利息税利息税率（ 20%） 例 11. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元， 求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 分析 等量关系：本息和本金（ 1利率） 解： 设半年期的实际利率为 X， 250（ 1 X） 252.7 X 0.0108 所以年利率为 0.0108 2 0.0216 答：银行的年利率是 2.16% 例 12. 为了准备 6 年后小明上
