1、B BA AC C图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积4 44 48 8S SA A+S+SB B=S=SC CC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格观察图甲，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？A AB BC C图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A
2、、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积C CA AB B图乙图乙2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.9 916162525S SA A+S+SB B=S=SC C正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8A AB BC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积a ab
3、bc ca ab bc cC CA AB BC CC C图乙图乙S SA A+S+SB B=S=SC CS SA A+S+SB B=S=SC C图甲图甲a ab bc ca ab bc c3.3.猜想猜想a a、b b、c c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c2勾股定理(毕达哥拉斯定理)（gougu theorem）如果直角三角形两直角如果直角三角形两直角边分别为边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么那么 即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方.222cbaac勾勾弦弦b股股在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把
4、弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾勾，下半部分称为，下半部分称为 股股。我国古代学者把直角三角形。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为斜边称为“弦弦”.勾勾股股勾股定理的证明勾股定理的证明a2+b2=c2a aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc cc c用拼图法证明用拼图法证明勾股定理的证明勾股定理的证明a2+b2=c2a aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc cc c用拼图法证明用拼图法证明3.3.猜想猜想a a、b b、c c 之间的关系？之间的关系？a2+b2=c
5、2SS大正方形大正方形=(a+b)=(a+b)2 2=a a2 2+b+b2 2+2ab+2ab S S大正方形大正方形=4=4S S直角三角形直角三角形+S S小正方形小正方形 =4 ab+c=4 ab+c2 2 =c c2 2+2ab+2aba a2 2+b+b2 2+2ab+2ab=c c2 2+2ab+2aba2+b2=c212a a2 2+b+b2 2+2ab+2abc c2 2+2ab+2abcabcabcabcab c2=4ab/2+(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为
6、c24ab/2+(b-a)2勾股定理的验证勾股定理的验证赵爽弦图赵爽弦图美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。有趣的总统证法有趣的总统证法结论变形结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；abcc2=a2+b2勾股定理的应用勾股定理的应用例：求出下列直角三角形中未知边的长度例：求出下列直角三角形中未知边的长度68x5x13解：由勾股定理得：解：由勾股定理得：
7、x2=36+64x2=100 x2=62+82 x=10 x2+52=132 x2=132-52x2=169-25x2=144 x=12 x 0 x 03.3.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值.8181144144x xy yz z625625576576144144169169 例例.在在RtRtABCABC中，中，=90=90.(1)(1)已知：已知：a=6a=6，=8=8，求，求c c；(2)(2)已知：已知：a=40a=40，c=41c=41，求，求b b；(3)(3)已知：已知：c=13c=13，b=5b=5，求，求a a；(4)(4)已
8、知已知:a:b=3:4,c=15,:a:b=3:4,c=15,求求a a、b.b.例题分析例题分析(1)在直角三角形中在直角三角形中,已知两边已知两边,可求第三边可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法方法小结小结、如图、如图:一个高一个高3 米米,宽宽4 米的大门米的大门,需在相对角需在相对角的顶点间加一个加固木板的顶点间加一个加固木板,则木板的长为则木板的长为 ()A.3 米米 B.4 米米 C.5米米 D.6米米C试一试试一试:、隔湖有两点、隔湖有两点A、，从与、，从与A方向成直方向成直角角 的的BC方向上的点方向上的点C测得测得CA=13米米,CB=12米米,则
9、则AB为为 ()ABCA.5米米 B.12米米 C.10米米 D.13米米1312?A试一试试一试:、一个直角三角形的三边长为三个连续、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数偶数,则它的三边长分别为则它的三边长分别为 ()A 2、4、6 4、6、8B试一试试一试:6、8、10 8、10、125 或或 7、已知：、已知：RtBC中，中，AB，AC,则则BC的长为的长为 .试一试试一试:4 43 3ACB4 43 3CAB 课堂练习：课堂练习：一判断题一判断题.1.1.ABCABC的两边的两边AB=5,AC=12,AB=5,AC=12,则则BC=13()BC=13()2.2.ABC ABC的的a=6
10、,b=8,a=6,b=8,则则c=10()c=10()二填空题二填空题 1.1.在在 ABCABC中中,C=90,C=90,AC=6,CB=8,AC=6,CB=8,则则 ABCABC面积为面积为_,_,斜边为上的高为斜边为上的高为_._.244.8二填空题二填空题 1.在在 ABC中中,C=90,(1)若若c=10,a:b=3:4,则则a=_,b=_.(2)若若a=9,b=40,则则c=_.2.在在 ABC中中,C=90,若若AC=6,CB=8,则则 ABC面积为面积为_,斜边为上的高为斜边为上的高为_.6841244.8y=01 1、如图，、如图，受台风麦莎影响，受台风麦莎影响，一棵树在离地
11、面一棵树在离地面4 4米处断裂，米处断裂，树的顶部落在离树跟底部树的顶部落在离树跟底部3 3米处，这棵树折断前有多高？米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活4米米3米米2、如图、如图:是一个长方形零件图是一个长方形零件图,根据所给的尺寸根据所给的尺寸,求两孔中心求两孔中心A、B之间的距离之间的距离ABC409016040y=0应用知识回归生活 例例已知已知:如图如图,等边等边ABC的边长是的边长是 6.(1)求高求高AD的长的长;(2)求求SABC .ABCD例题分析例题分析36?已知已知:如图如图,等边等边ABC的高的高AD是是 .(1)求边长求边长;(2)求求SABC .ABCD练一练
12、练一练332xx如图如图,折叠长方形折叠长方形（四个角都是直角，（四个角都是直角，对边相等）对边相等）的一边，使点的一边，使点DD落在落在BCBC边上的点边上的点F F处，若处，若AB=8AB=8，AD=10.AD=10.（1 1）你能说出图中哪些线段的长）你能说出图中哪些线段的长?（2 2）求）求ECEC的长的长.10104 46 68 81010 x xEFDCBA8-x8-x8-x8-xDABC蚂蚁沿图中的折线从蚂蚁沿图中的折线从A A点爬到点爬到D D点，一共爬了多点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为少厘米？（小方格的边长为1 1厘米）厘米）GFE勾股小常识：勾股数勾股小常识：勾股数
13、 1、a+b=c，满足，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数为基本勾股数.如：如：3、4、5;5、12、13;6、8、10；7、24、25 2、如果、如果a,b,c是一组勾股数，则是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股为正整数）也是一组勾股数，如：数，如：6、8、10；9、12、15 3、一组勾股数中必有一个数是、一组勾股数中必有一个数是5倍倍数。数。试一试：试一试：在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算术九章算术中记载了一道中记载了一道有趣的问题，这个问题的意有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是思是：有一个水池，水面是一个边长为一个边长为10尺的
14、正方形，尺的正方形，在水池的中央有一根新生的在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面芦苇，它高出水面1尺，如果尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？这根芦苇的长度各是多少？DABC52122222BCABAC5_,_2OB75.25.232222 AOAB._OB658.175.2_,_2OD5232222OCCD._OD236.25._BD0.58 m 如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，D点在点在CB延长线上，延长线上，求证：求证：AD2-AB2=
15、BDCDABCD证明：证明：过过A作作AEBC于于EEAB=AC，BE=CE在在Rt ADE中，中，AD2=AE2+DE2在在Rt ABE中，中，AB2=AE2+BE2 AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)(DE-BE)=(DE+CE)(DE-BE)=BDCD观察下列表格：观察下列表格：列举列举猜想猜想3 3、4 4、5 53 32 2=4+5=4+55 5、1212、13135 52 2=12+13=12+137 7、2424、25257 72 2=24+25=24+251313、b b、c c13132 2=b+c=b+c请你结合该表格及相
16、关知识，求出请你结合该表格及相关知识，求出b b、c c的值的值.即即b=b=，c=c=8485如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于别等于cm，cm和和cm，A和和B是这个台阶的是这个台阶的两个相对的端点，两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着点出发，沿着台阶面爬到台阶面爬到B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？BAABC二、圆柱二、圆柱(锥锥)中的最值问题中的最值问题例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6
17、m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6 1=5，BC=24 =12，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=169,AB=13(m).21BAC例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图),由勾股
18、定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABDCD1C1421 AC1=42+32=25 ;ABB1CA1C1412 AC1=62+12=37 ;AB1D1DA1C1412 AC1=52+22=29 .三、长方体中的最值问题三、长方体中的最值问题如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。ABCDGFE如图，有两棵树，一棵高如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高，另一棵高2m，两树相距
19、两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了到另一棵树的树梢，至少飞了（）A.7m B.8m C.9m D.10m8mABC8m2m在等腰在等腰ABC中，中，ABAC13cm，BC=10cm,求求ABC的面积和的面积和AC边上边上的高。的高。ABCD131310HBHACADBC2121如图，如图，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求，求AC的长。的长。解：解：ABD=90，DAB=30BD=AD=421在在RtABD中中,根据勾股定理根据勾股定理484822222 BDADAB在在RtABC中，中，CBCACBCAAB 且
20、且,222242122222 ABCACAAB62 AC又又AD=8ABCD308聪明的葛藤聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，它自葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。所示。葛藤又是一种聪明的植物，葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径最短路径螺旋线前进的。若螺旋线前进的。若将树干的侧面展开成一个平面，将树干的侧面展开成一个平面，如图（如图（2），可清楚的看出葛藤），可清楚的看出
21、葛藤在这个平面上是沿直线上升的。在这个平面上是沿直线上升的。（1）（2）数学奇闻有有 一棵树直立在地上，树高一棵树直立在地上，树高2丈，粗丈，粗3尺，有一尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（请问这根葛藤条有多长？（1丈等于丈等于10尺）尺）ABC20尺37=21（尺）聪明的葛藤小结：小结：1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积）面积之和等于大正方形的面积）2、探
22、索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理：、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理：即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平方平方CcbaABA的面积的面积+B的面积的面积=C的面积的面积a2+b2=c2实际问题实际问题直角三角直角三角形的问题形的问题数学问题数学问题利用勾利用勾股定理股定理已知两边已知两边求第三边求第三边 抽象抽象归类归类解决解决证法五：证法五：（欧几里得证法公元前（欧几里得证法公元前3世纪）世纪）“新娘的轿椅新娘的轿椅”或或“修士的头巾修士的头巾”如图，Rt ABC中，ACB=90，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CNDE，连接BK、CD。AK=ACAB=ADKAB=CADKAB CADS 正方形KACH=S 四边形ADNM同理：S 正方形BCGF=S 四边形BENM S 正方形KACH+S 正方形BCGF=S 四边形ADNM+S 四边形BENM S KAB=S CADAMADACAK2121AMADACAK222cbaS 正方形KACH+S 正方形BCGF=S 四边形ADEB 再再 见见
