1、 1 小专题 (十一 ) 角的计算 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做 ) 类型 1 直接计算 1如图，已知 AOC BOD 75， BOC 30，求 AOD. 2如图，点 A， O， E 在同一直线上， AOB 40， EOD 28 46， OD 平分 COE，求 COB 的度数 3已知 AOB 40， OD 是 BOC 的平分线 (1)如图 1，当 AOB 与 BOC 互补时，求 COD 的度数； (2)如图 2，当 AOB 与 BOC 互余时，求 COD 的度数 4如图，点 O 是直线 AB 上一点， EOF 90， OP 平分 AOE， OQ 平分 BOF， AOE 130，求
2、 POQ 的度数 2 类型 2 方程思想 5如图，已知 AOE 是平角， DOE 20， OB 平分 AOC，且 COD BOC 2 3，求 BOC 的度数 6如图，已知 AOB 12 BOC， COD AOD 3 AOB，求 AOB 和 COD 的度数 3 7.如图，点 O 为直线 AB 上一点，将直角三角板 OCD 的直角顶点放在点 O 处 已知 AOC 的度数比 BOD 的度数的 3倍多 10 度 (1)求 BOD 的度数； (2)若 OE、 OF 分别平分 BOD、 BOC，求 EOF 的度数 (写出必要的推理过程 ) 8如图，直线 AB、 CD 相交于点 O， OE 平分 BOD.
3、(1)若 BOD 68， DOF 90，求 EOF 的度数； (2)若 OF 平分 COE， BOF 30，求 BOD 的度数 4 类型 3 分类思想 9下面是小明做的一道题目以及他的解题过程： 题目：在同一平面上，若 BOA 75， BOC 22，求 AOC 的度数 解：根据题意可画图， AOC BOA BOC 75 22 53 . 如果你是老师，能判小明满分吗？若能，请说明理由，若不能，请将错误指出来，并给出你认为正确的解法 10已知：如图， OC 是 AOB 的平分线 (1)当 AOB 60时，求 AOC 的度数； (2)在 (1)的条件下， EOC 90，请在图中补全图形，并求 AOE
4、 的度数； (3)当 AOB时， EOC 90，直接写出 AOE 的度数 (用含的代数式表示 ) 5 11.如图， DOE 50， OD 平分 AOC， AOC 60， OE 平分 BOC. (1)用直尺、量角器画出射线 OA， OB， OC 的准确位置； (2)求 BOC 的度数，要求写出计算过程； (3)当 DOE， AOC 2时 (其中 0 ， 0 90 )，用含，的代数式表示 BOC 的度数 (直接写出结果即可 ) 类型 4 角度的旋转 12已知， O 是直线 AB 上的一点， COD 是直角， OE 平分 BOC. (1)如图 1. 若 AOC 60，求 DOE 的度数； 6 若 A
5、OC，直接写出 DOE 的度数 (用含的式子表示 )； (2)将图 1 中的 DOC 绕点 O 顺时针旋转至图 2 的位置，试探究 DOE 和 AOC 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由 7 13.点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使 BOC 65，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处 (1)如图 1，将三角板 MON 的一边 ON 与射线 OB 重合时，求 MOC 的度数； (2)如图 2，将三 角板 MON 绕点 O 逆时针旋转一定角度，此时 OC 是 MOB 的平分线，求 BON 和 CON 的度数； (3)将三角板 MON 绕点 O 逆时针旋转至图 3 时
6、， NOC 14 AOM，求 NOB 的度数 14如图，在 AOB 的内部作射线 OC，使 AOC 与 AOB 互补将射线 OA， OC 同时绕点 O 分别以每秒 12，每秒 8的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线 OA， OC 分别记为 OM， ON，设旋转时间为 t 秒已知 t 30， AOB 114 . (1)求 AOC 的度数； (2)在旋转的过 程中，当射线 OM， ON 重合时，求 t 的值； (3)在旋转的过程中，当 COM 与 BON 互余时，求 t 的值 15 (1)如图 1，若 AOC BOC 90， OE、 OF 分别平分 AOC 与 BOC.求 EOF 的度数； 8 (
7、2)如图 2，若 AOC BOD 80， OE、 OF 分别平分 AOD 与 BOC.求 EOF 的度数； (3)若 AOC BOD，将 BOD 绕点 O 旋转，使得射线 OC 与射线 OD 的夹角为， OE、 OF 分别平分 AOD 与 BOC.若 180，则 EOC _ (用含与的代数式表示 ) 9 参考答案 1因为 AOC 75， BOC 30， 所以 AOB AOC BOC 75 30 45 . 又因为 BOD 75，所以 AOD AOB BOD 45 75 120 . 2.因为 EOD 28 46， OD 平分 COE， 所以 COE 2 EOD 2 28 46 57 32 . 因为
8、 AOB 40，所以 COB 180 AOB COE 180 40 57 32 82 28 . 3.(1)因为 AOB 与 BOC 互补，所以 AOB BOC 180 .所以 BOC 180 40 140 . 因为 OD 是 BOC 的平分线，所以 COD 12 BOC 70 . (2)因为 AOB 与 BOC 互余，所以 AOB BOC 90 .所以 BOC 90 40 50 . 因为 OD 是 BOC 的平分线，所以 COD 12 BOC 25 . 4.因为点 O 是直线 AB 上一点， AOE 130，所以 BOE 180 AOE 180 130 50 . 因为 EOF 90，所以 BO
9、F EOF BOE 40 . 又因为 OP 平分 AOE， OQ 平分 BOF，所以 POE 12 AOE 65， BOQ 12 BOF 20 . 所以 POQ POE EOB BOQ 135 . 5.设 COD 2x，则 BOC 3x，因为 OB 平分 AOC，所以 AOB 3x . 所以 2x 3x 3x 20 180.解得 x 20.所以 BOC 3 20 60 . 6.设 AOB x，则 COD AOD 3 AOB 3x .因为 AOB 12 BOC，所以 BOC 2x . 因为 BOC COD AOD AOB 360，所以 2x 3x 3x x 360.解得 x 40. 所以 AOB
10、 40， COD 120 . 7.(1)设 BOD x，因为 AOC 的度数比 BOD 的度数的 3 倍多 10 度，且 COD 90，所以 x (3x 10) 90180.解得 x 20，所以 BOD 20 . (2)因为 OE、 OF 分别平分 BOD、 BOC，所以 BOE 12 BOD， BOF 12 BOC 12( BOD COD) 所以 EOF BOF BOE 12( BOC BOD) 12 COD 45 . 8.(1)因为 BOD 68， OE 平分 BOD，所以 DOE 12 BOD 34 . 因为 DOF 90，所以 EOF DOF DOE 56 . (2)设 BOD x，
11、因为 OE 平分 BOD，所以 DOE EOB 12 BOD 12x . 所以 EOC 180 DOE 180 x2 . 因为 EOF EOB BOF，所以 EOF x2 30 . 因为 OF 平分 COE，所以 EOC 2 EOF.所以 180 x2 2(x2 30 ) 解得 x 80.所以 BOD 80 . 9.小明不会得满分，他忽略了一种情况，正确解法： 10 如图 1， AOC BOA BOC 75 22 53； 如图 2， AOC BOA BOC 75 22 97 . 所以 AOC 97 .综上所述： AOC 的度数为 53或 97 . 10.(1)因为 OC 是 AOB 的平分线，
12、所以 AOC 12 AOB.因为 AOB 60，所以 AOC 30 . (2)如图 1， AOE EOC AOC 90 30 120； 如图 2， AOE EOC AOC 90 30 60 . (3)90 2 或 90 2. 11.(1)当射线 OA 在 DOE 外部时，射线 OA， OB， OC 的位置如图 1 所示； 当射线 OA 在 DOE 内部时，射线 OA， OB， OC 的位置如图 2 所示 (2)当射线 OA 在 DOE 外部时，此时射线 OC 在 DOE 内部，射线 OA， OD， OC， OE， OB 依次排列，如图 1. 因为 OD 平分 AOC， AOC 60，所以 DO
13、C 12 AOC 30 . 因为 DOE DOC COE， DOE 50， 所以 COE DOE DOC 50 30 20 . 因为 OE 平分 BOC，所以 BOC 2 COE 2 20 40； 当射线 OA 在 DOE 内部时，此时射线 OC 在 DOE 外部，射线 OC， OD， OA， OE， OB 依次排列，如图 2. 因为 OD 平分 AOC， AOC 60，所以 COD 12 AOC 30 . 因为 DOE 50，所以 COE COD DOE 30 50 80 . 因为 OE 平分 BOC，所以 BOC 2 COE 2 80 160 . (3)当射线 OA 在 DOE 外部时，
14、BOC 2 2； 当射线 OA 在 DOE 内部时， BOC 2 2 . 12.(1)因为 AOC 60，所以 BOC 180 AOC 180 60 120 . 因为 OE 平分 BOC，所以 COE 12 BOC 12 120 60 . 又因为 COD 90，所以 DOE COD COE 90 60 30 . DOE 90 12(180 ) 90 90 12 12 . (2) DOE 12 AOC，理由如下：因为 BOC 180 AOC， OE 平分 BOC， 所以 COE 12 BOC 12(180 AOC) 90 12 AOC. 所以 DOE 90 COE 90 (90 12 AOC) 12 AOC. 13.(1)因为 MON 90， BOC 65，所以 MOC MON BOC 90 65
