1、第二节 矩形、菱形、正方形,考点一 矩形的性质与判定 (5年3考) 例1 (2018威海中考)矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C， E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若 BCEF2，CDCE1，则GH( ) A1 B. C. D.,【分析】 延长GH交AD于点P，先证APHFGH得APGF 1，GHPH PG，再利用勾股定理得出答案 【自主解答】如图，延长GH交AD于点P. 四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形， ADCADGCGF90， ADBC2，GFCE1， ADGF，GFHPAH.,又H是AF的中点，AHFH. 在APH和FGH中， APHFGH(A
2、SA)， APGF1，GHPH PG，PDADAP1. CG2，CD1，DG1， 则 故选C.,矩形的性质应用及判定方法 (1)矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相等； 从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，对角线互 相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的等腰三角形 (2)矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则还需 证明一个角是直角或对角线相等；若直角较多，可利用“三个 角为直角的四边形是矩形”来证,1(2018枣庄中考)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中 点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值为( ),A,2(2018滨州中考)如图，在矩形ABCD中，
3、AB2，BC4， 点E，F分别在BC，CD上，若AE ，EAF45，则AF的 长为 ,3如图，在ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上， DFBE，连接AF，BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若CF3，BF4，DF5，求证：AF平分DAB.,证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， DCAB，即DFBE. 又DFBE，四边形BFDE为平行四边形 又DEAB，DEB90， 四边形BFDE为矩形,(2)四边形BFDE为矩形，BFC90. CF3，BF4，BC 5. 四边形ABCD是平行四边形，ADBC5， ADDF5，DAFDFA. 又DCAB，DFAFAB， DAFF
4、AB，即AF平分DAB.,考点二 菱形的性质与判定 (5年3考) 例2 (2017东营中考)如图，在ABCD中，用直尺和圆规作 BAD的平分线AG交BC于点E.若BF8，AB5，则AE的长为 ( ) A5 B6 C8 D12,【分析】 连接EF，先判定四边形ABEF的形状，再利用勾股 定理进行解答即可 【自主解答】 如图，连接EF，AE与BF交于点O. 四边形ABCD是平行四边形，且AG是BAD的平分线， FAEAEB，FAEEAB， AEBEAB，ABBE.,ABAF，AFBE，四边形ABEF为平行四边形 又ABBE， 四边形ABEF是菱形， AEBF，OB BF4，OA AE. AB5，在
5、RtAOB中， AO AE2AO6.故选B.,菱形的性质应用及判定方法 (1)判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是 先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形 (2)运用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个 条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，运 用这一性质可以求出线段和的最小值,4(2018日照中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，AOCO，BODO.添加下列条件，不能判定四 边形ABCD是菱形的是( ) AABAD BACBD CACBD DABOCBO,B,5(2018寿光模拟)如图，已知菱形ABCD的一个内角BAD 80，对角线A
6、C，BD相交于点O，点E在CD上，且DEDO， 则EOC_,25,6(2018扬州中考)如图，在平行四边形ABCD中，DBDA， 点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接 AE. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)若DC ，tanDCB3，求菱形AEBD的面积,(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ADCE，DAFEBF. AFDEFB，AFFB， AFDBFE，ADEB. ADEB，四边形AEBD是平行四边形 BDAD，四边形AEBD是菱形,(2)解：四边形ABCD是平行四边形， CDAB ，ABCD，ABEDCB， tanABEtanDCB3. 四边形AEB
7、D是菱形，ABDE，AFFB，EFDF， tanABE 3. BF ，EF ，DE3 ， S菱形AEBD ABDE 3 15.,考点三 正方形的性质与判定 (5年4考) 例3 (2018潍坊中考)如图，点M是正方形ABCD边CD上一点， 连接AM，作DEAM于点E，BFAM于点F，连接BE. (1)求证：AEBF； (2)已知AF2，四边形ABED的面积为24，求EBF的正弦值,【分析】 (1)通过证明ABFDAE得到AEBF； (2)设AEx，则BFx，DEAF2，利用四边形ABED的面积 等于ABE的面积与ADE的面积之和得到 xx x224，解方程求出x得到AEBF6，则EFx2 4，然
8、后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解,【自主解答】 (1)四边形ABCD为正方形， BAAD，BAD90. DEAM于点E，BFAM于点F， AFB90，DEA90. ABFBAF90，EADBAF90， ABFEAD.,在ABF和DAE中， ABFDAE(AAS)，AEBF. (2)设AEx，则BFx，DEAF2. S四边形ABEDSABESAED24， xx x224， 解得x16，x28(舍去)，,EFx24. 在RtBEF中，BE sinEBF,判定正方形的方法及其特殊性 (1)判定一个四边形是正方形，可以先判定四边形为矩形，再 证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形
9、为菱形， 再证有一个角是直角或者对角线相等 (2)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所 有性质,7(2017济南中考)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相 交于点O，AB3 ，E为OC上一点，OE1，连接BE，过点A 作AFBE于点F，与BD交于点G，则BF的长是( ),A,8(2018青岛中考)已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分 别在AD，DC上，AEDF2，BE与AF相交于点G，点H为BF的 中点，连接GH，则GH的长为 ,9(2015潍坊中考)如图1，点O是正方形ABCD两对角线的 交点分别延长OD到点G，OC到点E，使OG2OD，OE2OC， 然后以OG，OE为
10、邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.,(1)求证：DEAG. (2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角 (0360)得到正方形OEFG，如图2. 在旋转过程中，当OAG是直角时，求的度数； 若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF长的最 大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由,证明：如图，延长ED交AG于点H. O为正方形ABCD对角线的交点， OAOD，OAOD. OGOE，RtAOGRtDOE， AGODEO. AGOGAO90，DEOGAO90， AHE90，即DEAG.,(2)解：如图，在旋转过程中，OAG成为直角有以下两 种情况： (i)由0增大到9
11、0过程中，当OAG为直角时， OAOD OG OG， 在RtOAG中， sinAGO AGO30.,OAOD，OAAG，ODAG， DOGAGO30， 即30. (ii)由90增大到180过程中，当OAG为直角时，同 理可求BOG30，18030150. 综上所述，当OAG为直角时，30或150. AF长的最大值是2 ，此时315.,考点四 四边形综合题 百变例题 (2018枣庄中考改编)如图，将矩形ABCD沿AF折 叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EGCD交AF于点G， 连接DG. (1)求证：四边形EFDG是菱形； (2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由； (3)
12、若AG ，EG ，求BE的长,【分析】 (1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGF DFG，从而得到GDDF，再根据翻折的性质即可证明DG GEDFEF； (2)连接DE，交AF于点O.由菱形的性质可知GFDE，OGOF GF，然后证明DOFADF，由相似三角形的性质可证 明DF2FOAF，于是可得到EG，AF，GF的数量关系；,(3)过点G作GHDC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG，然 后在ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明 FGHFAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后 依据BEADGH求解即可,【自主解答】 (1)GEDF，EGFDFG. 由翻折的性质可知G
13、DGE，DFEF，DGFEGF， DGFDFG，GDDF， DGGEDFEF， 四边形EFDG是菱形,(2)EG2 GFAF. 理由如下：如图，连接DE，交AF于点O. 四边形EFDG是菱形， GFDE，OGOF GF. DOFADF90，OFDDFA， DOFADF， ，DF2FOAF. FO GF，DFEG，EG2 GFAF.,(3)如图，过点G作GHDC，垂足为点H. EG2 GFAF， AG ，EG ， FG(FG )， 解得FG ，FG (舍去),DFEG ，AF ， AD 10. GHDC，ADDC，GHAD， FGHFAD， ， 即 GH2， BEADGH1028.,变式1： 证
14、明：如图， 由题意可知，BGGH，AEAD10，AHAB6， 12，34. (1)1234BAD90， 23 BAD 9045， 即FAG45.,(2)AE10，AH6，HEAEAH1064. 设BGx，GHBGx， GEADBGEC10x28x. 在RtGHE中， GE2GH2HE2，(8x)2x242，x3， 即GHBG3，,SABG ABBG 639， SGHE GHHE 346， SABG SEGH. (3)GE8x835，BGEC325， BGCEGE.,变式2： 解：如图，当点B落在矩形内部时，连接AC. 在RtABC中，AB6，BC10， AC B沿AM折叠，使点B落在点B处， ABMB90.,当CMB为直角三角形时，只能得到MBC90， 点A，B，C共线，即B沿AM折叠，使点B落在对角线AC 上的点B处， MBMB，ABAB6， CB2 6. 设BMx，则MBx，CM10x，,在RtCMB中， MC2MB2CB2， (10x)2x2(2 6)2， 解得x BM,如图，当点B落在AD边上时， 此时四边形ABMB为正方形， BMAB6. 综上所述，BM的长为 或6.,
