1、 1 广东省深圳市宝安区 2017届高三数学上学期期末考试试题 理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知 U?R ,函数 ? ?ln 1yx?的定义域为 M ,集合 ? ?2 0N x x x? ? ?,则下列结论正确的是 （ A） M N U? （ B） ? )( NCM U （ C） M N N? （ D） NCM U? 2.设 (1 i)( i)xy?2? ，其中 ,xy是实数，则 2ixy? （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 5 3. 下列说法正确的是 （ A） 函数 ? ?
2、 1fxx? 在其定义域上是减函数 （ B） 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 （ C） 命题“ x?R， 2 10xx? ? ? ”的否定是“ x? ?R， 2 10xx? ? ? ” （ D） 给定命题 p 、 q ，若 pq? 是真命题，则 p? 是假 命题 4. 圆 22 2 8 1 3 0x y x y? ? ? ? ?的圆心 被 直线 10ax y? ? ? 所截的线段长 为 32 ，则 ?a （ A） 43? （ B） 34? （ C） 3 （ D） 2 5.已知 432a? ， 254b? ， 1325c? ，则 （ A） abc? （ B） bac? （ C）
3、c a b? （ D） b c a? 6. 如图，以 x? 为始 边作角 ? 与 ? （ 0 ? ? ? ? ? ），它们 终边 分别与单位圆相交于点 ? 、 Q ，已知点 ? 的坐标为 34,55?， 30? ，则 ? ?sin ? （ A） 4 3 310?（ B） 4 3 310?（ C） 4 3 310?（ D） 4 3 310?7. 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100个面 包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小 的两份之和，问最小 1份为（ ） （ A） 56 （ B） 103 （ C） 53 （ D） 116 2
4、 8. 如图， 网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图，则该多面体 的体积 为 （ A） 310 （ B） 38 （ C） 354 （ D） 352 9函数 f(x) ? ?x 1x cos x( x 且 x0) 的图象可能为 ( ) （ A） （ B） （ C） （ D） 10 如图 4 是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形， E， F 分别为 PA， PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： 直线 BE与直线 CF异面； 直线 BE与直线 AF异面； 直线 EF 平面 PBC； 平面 BCE 平面 PAD. 其中正确的有 ( ) （ A）
5、1个 （ B） 2 个 （ C） 3个 （ D） 4个 11 已知双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的左、右两个焦点分别 为 BAFF , 21 为其左右顶点，以线段 21FF 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M ，且 ?30?MAB ,则双曲线的离心率为 （ A） 221 （ B） 321 （ C） 319 （ D） 219 12 定义在 R上的函数 f（ x）满足 f（ x） +f（ x+5） =16，当 x（ 0， 5时， f（ x） =x2-2x，则函数f（ x）在 0， 2017上的零点个数为 （ A） 606个 （ B） 604 个 （ C） 603个
6、（ D） 600个 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20 分 13 计算 ? dxx )1(cos0?_. 图 4 3 14 若将函数 ( ) sin 2 co s 2f x x x?的图象向左平移 ? 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 ? 的最小正值是 _. 15.设关于 x,y 的不等式组 2 1 0,0,0xyxmym? ? ?表示的平面区域 为 D,若存在 点 P(x0,y0) D? ,满足x0-2y0=2,求得 m的取值范围是 _. 16.若直线 y=kx+b与曲线 y=lnx+2 相切于点 P，与曲线 y=ln（ x+1）相切于点 Q，则 ?k _ 三、解答题
7、：本大题共 6小题，满分 70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17（本小题满分 12分） 设数列 na 的前 n 项和为 nS ， na 是 nS 和 1的等差中项 （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）求数列 nna 的前 n 项和 nT 18. （本小题满分 12 分） 在 C? 中，角 ? ,? ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ，已知 1?a ， bcC 2cos2 ? （ 1） 求角 ? 的大小 ； （ 2） 如果 33b? ，求 C? 的面积 4 MDECBA19 （ 本小题满分 12分） 如图 , ?EA 平面 ABC ， ?DB 平面 ABC , ABC 是
8、等边三角形， 2AC AE? , M 是 AB 的中点 . （ 1）求证： EMCM? ; （ 2）若直线 DM 与平面 ABC 所成角的正切值为 2 ， 求二面角 B CD E?的余弦值 . 20.（本小题满分 12分） 已知椭圆 1C ： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 63 ，焦距为 42，抛物线 2C ： 2 2 ( 0)x py p?的焦点 F 是椭圆 1C 的顶点 （ 1）求 1C 与 2C 的标准方程； （ 2） 1C 上不同于 F 的两点 P ， Q 满足 0FP FQ?，且直线 PQ 与 2C 相切，求 FPQ? 的面积 21. （ 本小题满分 12
9、 分） 已知函数 )(ln)( Raxaxxf ? . （ 1）求函数的单调区间； （ 2）若方程 2)( ?xf 存在两个不同的实数解 1x 、 2x ，求证： axx 221 ? . 5 22. （ 本小题满分 10分） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重合 若曲线 C 的参数方程为 3 2 cos (2 sinxy ? ? ?为参数）， 直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 14? (1)将曲线 C 的参数方程化为极坐标方程； (2)由直线 l 上一点向曲线 C 引切线，求切线长的最小值 6 高三理科数学答案 1-12 CDDAB ACB
10、DB BA 13 ? ； 14. 8? ; 15; )32,( ? 16. .2ln? 17【解析】（ 1）由题意得： 12nnSa? ， 当 2n? 时， 112( 1)nnSa?， -得 122n n na a a ? ， 即 12nnaa? ， 1 2nnaa? ? 由 式中令 1n? ， 可得 1 1a? ，数列 na 是以 1为首项， 2为公比的等比数列， 12nna ? （ 2）由 12nnna b n ? 得 1 1 2 2 3 3n n nT a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2 11 2 2 2 3 2 2 nn ? ? ? ? ? ?
11、 ? ? ? 1 2 3 12 1 2 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2 1 122 2 2 2 2 2 2 1 212 nn n n n nnT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1) 2 1nnTn? ? ? ? （ 18）解：（ ）因为 1?a ， bcC 2cos2 ? ， 由余弦定理得 2 2 21222bc cbb? ? ?,即 221b c bc? ? ? . ? 2分 所以 2 2 211c o s 2 2 2b c b cA b c b c? ? ?. ?
12、4分 由于 0 A ?, 所以 3A ? . ? 6分 19（ ） 因为 ABC 是等边三角形， M 是 AB 的中点 , 所 CM AB? . ? 1分 因为 EA? 平面 ABC , CM? 平面 ABC , 所以 CM EA? . ? 2分 7 PNMDECBA因为 AM EA A? , 所以 CM? 平面 EAM . ? 3分 因为 EM? 平面 EAM ,所以 CM EM? . ? 4 分 （ ）法 1: 以点 M 为坐标原点， MC 所在直线为 x 轴， MB 所在直线为 y 轴，过 M 且 与直线 BD 平行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 M xyz? . 因为 DB 平面
13、 ABC ,所以 DMB? 为直线 DM 与平面 ABC 所成角 . ? ? 5分由题意得 ta n 2BDDM B MB? ? ?, 即 2BD MB? ,? 6分从而 BD AC? . 不妨设 2AC? , 又 2AC AE? , 则 3CM? , 1AE? .? 7分故 ? ?0,1,0B , ? ?3,0,0C , ? ?0,1,2D , ? ?0, 1,1E ? .? 8分于是 ? ?3, 1, 0BC ?, ? ?0,0,2BD? , ? ?3, 1,1CE ? ? ? , ? ?3,1, 2CD ? ,设 平面 BCD 与平面 CDE 的法向量分别为1 1 1 2 2 2( ,
14、, ) , ( , , )m x y z n x y z?,由 0,0,m BCm BD? ? ? 得 1113 0,2 0,xyz? ? ?令 1 1x? ,得 1 3y? , 所以 ? ?1, 3,0m? . ? 9分 由 0,0,n CEn CD? ?得 2 2 22 2 23 0 ,3 2 0 ,x y zx y z? ? ? ? ? ? ?令 2 1x? ,得2 33y ?, 2 233z ?. 所 3 2 31, ,33n?. 所以 c o s , 0mnmnmn? ? ?. ? 11 分 所以二面角 B CD E?的余弦值为 0 . 12分 法 2: 因为 DB 平面 ABC ,
15、所以 DMB? 为直线 DM 与平面 ABC 所成角 . 5 分 由题意得 ta n 2BDDM B MB? ? ?, 即 2BD MB? ,? 从而 BD AC? .? 6分 不妨设 2AC? , 又 2AC AE? , 3CM? , 1AE? , 2AB BC BD? ? ?. ? 7分 由于 EA 平面 ABC ,DB 平面 ABC , 则 EA BD . 取 BD 的中点 N , 连接 EN , 则 2EN AB?. 在 Rt END 中 , 22 5E D E N N D? ? ?, 在 Rt EAC 中 , 22 5E C E A A C? ? ?, 在 Rt CBD 中 , 22
16、 22C D B C B D? ? ?, 取 CD 的中点 P , 连接 EP ,BP , BE , 8 则 ,EP CD BP CD?. ? 8分所以 EPB? 为二面角 B CD E?的平面角 . ? 9分 在 Rt EPC 中 , 22 3EP EC C P? ? ?,在 Rt CBD 中 , 1 22BP CD?, 在 Rt EAB 中 , 22 5EB EA AB? ? ?,因为 2 2 25EP BP EB? ? ?, 所以 90EPB ?. 所以二面角 B CD E?的余弦值 0 . 12分 20解：（ I）设椭圆 1C 的焦距为 2c ，依题意有 2 4 2c? ， 63ca?
17、 ， 解得 23a? ， 2b? ，故椭圆 1C 的标准方程为 22112 4xy?. ? 3分 又抛物线 2C ： 2 2 ( 0)x py p?开口向上，故 F 是椭圆 1C 的上顶点， (0,2)F? ， ? 4p? ，故抛物线 2C 的标准方程为 2 8xy? . ? 5分 （ II）显然，直线 PQ 的斜率存在 . 设直线 PQ 的方程为 y kx m?，设 11( , )Px y ， 22( , )Qx y ，则 11( , 2)FP x y?， 22( , 2)FQ x y?， ? 1 2 1 2 1 22 ( ) 4 0F P F Q x x y y y y? ? ? ? ? ? ?，? 6分 即 221 2 1 2( 1 ) ( 2 ) ( ) 4 4 0k x x k m k x x m m? ? ? ? ? ? ? ? （ * ） 联立 22112 4y kx mxy? ?，消去 y 整理得， 2 2 2( 3 1 ) 6 3 1 2 0k x km x m? ? ? ? ?（ *） . 依题意， 1x ， 2x 是方程（ *）的两根， 221 4 4 1 2 4 8 0km? ? ? ? ?， ? 122631kmxx k? ?， 212 23 1231mxx k ? ?，? 7分 将
