1、 1 广东省汕头市 2017届高三数学上学期期末考试试题 文 第 I卷（选择题共 60 分） 一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5分， 共 60 分； 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 2,0,2,4M ? ， 2 | 9N x x?，则 MN? （ ） A 0,2 B 2,0,2? C 0,2,4 D 2,2? 2.已知 3, 5ab?， a 与 b 不共线，向量 ka b? 与 ka b? 互相垂直，则实数 k 的值为 A.53 B.35 C. 35? D. 53? 3.如图，在底面边长为 1，高为 2的正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B
2、 C D? 中，点 P 是平面 1 1 1 1ABCD 内一点，则三棱锥 P BCD? 的正视图与侧视图的面积之和为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 4己知命题 p： “a b” 是 “2 a 2b” 的充要条件； q： xeRx x ln, ? ，则（ ） A p q为真命题 B p q为假命题 C p q 为真命题 D p q 为真命题 5.已知 ? ? ? ?6,2,1 mba ? 和 共线 ，则圆锥曲线 2 2 1x ym?的离心率为 A. 36B.2 C. D.36或 2 6.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100个面包分给五个人，使每人所得成
3、等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小 1份为 A 53 B 103 C 56 D 116 7 . 43s in ( ) c o s ( ) , 0 ,3 2 5 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则 2cos( )3? 等于 ( ) A. 45? B. 35? C.45 D.35 2 8函数 的图象 如图所示，为了得到 g（ x） =cos2x的图象，则只需将 f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 9.?azayxzxyyxyyx 无数个，则取得最大值的最优解有若满足已知
4、,22),(（） A 1 B -1 C 1 或 -1 D无法确定 10在 ? ABC 中，点 D 满足 BD =34BC ，当 E 点在线段 AD 上移动时，若 AE = AB? + AC? ，则22( 1)t ? ? ? 的最小值是（） A 31010 B 824 C 910 D 418 11.已知函数 ?fx的定义域为 R，对于 12xx? ，有 ? ? ? ?1212 1f x f xxx? ? ，且 ?11f ? ，则不等式22(lo g 3 1 ) 2 lo g 3 1xxf ? ? ? ?的解集为 （ ） A ? ?,1 B ( ,1)? C ( 1,0) (0,3)? D ( ,
5、0) (0,1)? 12已知集合 M=x,y )| y f ( x )?,若对于任意11x ,y ) M?,存在22(x ,y ) M?,使得1 2 1 20x y y?成立 ,则称集合 M是“垂直对点集” .给出下列四个集合 : M=1( ,y)| y x?; M=1( x,y )| y sin x?; M=2( x,y log x?; ( , ) 2xx y y e? ? ?.其中是“垂直对点集”的序号是 （ A B C D 第 II卷 (非选择题共 90分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13题 ? 第 21题 为必考题，每个试题考生都必须作答 .第22题 ? 第 23题 为选 考题
6、，考生根据要求作答 . 二、填空题： （ 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ） 3 第 15 题图BCAD13 公比为 2的等比数列 na 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则 5a = 14均值 不等式 已知 0,0,43 ? yxxyyx 则 xy? 的最小值是 15 如图 CDCBADACADAB，ABDABC 3,3, ? 且上的点为线段中在 ， 则 Bcos = 16.已知函数? ? ),1(lo g ),10(s in)(2014 xxxxxf ? 若 cba, 互不相等，且)()()( cfbfaf ? ，则 cba ? 的取值范围是 三、解答题： （ 本大题共
7、 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17 （本小题满分 12分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 2a? ，且满足 11 2nnnaS ? ? *()nN? . （ ）证明数列 2nnS为等差数列； （ ）求 12. nS S S? ? ? . 18. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是菱形，60DAB?， PD? 平面 ABCD ， 1PD AD?， 点,EF分别为 AB 和 PD 的中点 . （ 1）求证：直线 /AF 平面 PEC ； （ 2）求三棱锥 P BEF? 的体积 . 19. （ 本
8、小题满分 12 分） 某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润 60 元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损 10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利 40 元 . （ 1）若商品一天购进该商品 10件，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：件， nN? ）的函数解析式； （ 2）商店记录了 50天该商品的日需求量 n （单位：件， nN? ），整理得下表： 4 若商店一天购进 10件该商品，以 50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间 500,650 内的概率 . 20.(本小题满分 12分 ) 已知椭
9、圆 ? 的中心在原点，焦点在 x 轴，离心率为 22 ，且长轴长是短轴长的 2 倍 . （ 1）求椭圆 ? 的标准方程； （ 2）设 ? ?0,2P 过椭圆 ? 左焦点 F 的直线 l 交 ? 于 BA, 两点 ,若对满足条件的任意直线 l ,不等式? ?RPBPA ? ? 恒成立 ,求 ? 的最小值 . 21（本小题满分 12分）已知函数 )(ln)1()( Raxaxaxxf ? （ ）当 10 ?a 时，求函数 )(xf 的单调区间； （ ）是否存在实数 a ，使 得至少有一个 0 (0, )x ? ? ，使 00()f x x? 成立，若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存 在，说明
10、理由 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 =4sin( )3? ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系 xOy . ( )求曲线 C 的直角坐标方程； （）若点 P 在曲线 C 上，点 Q 的直角坐标是 (cos ,sin )?（其中 R? ），求 |PQ 的最大值 . 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ( ) | 3 | | 2 |f x x x t? ? ? ?， tR? . ( )当 1t? 时，解不等式 ( ) 5fx? ； （）若存在实数 a 满足 ( ) | 3| 2f
11、a a? ? ?，求 t 的取值范围 . 5 高三 文 科数学期 末 考试 答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A D A A C D B C D D 二 、 填空 题： 13.1 14. 232? 15.7618 16. )2015,2( 三、解答题： 17. 解： （ ）证明：由条件可知， 11 2nn n nS S S ? ?，即 11 22nnnSS ? ?， 2 分 整理得 11 122nnSS? ?， 4 分 所以数列 2nnS是以 1为首项， 1为公差的等差数列 . 6 分 （ ）由（ ）可知， 112nnS nn? ?
12、? ?，即 2nnSn? ， 7 分 令 12nnT S S S? ? ? ? 21 2 2 2 2 nnTn? ? ? ? ? ? ? 8 分 212 1 2 ( 1 ) 2 2nnnT n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分 ? ， 212 2 2 2nnnTn ? ? ? ? ? ? ?， 10 分 整理得 12 ( 1) 2nnTn ? ? ? ?. 12 分 18. 解：（ 1）作 /FM CD 交 PC 于 M ，连接 ME . 1分 点 F 为 PD 的中点， 1/2FM CD ，又 1/2AE CD ， /AE FM ， 四边形 AEMF 为平行四边形， /AF E
13、M ， 3分 AF? 平面 PEC ， EM? 平面 PEC ，直线 /AF 平面 PEC . 5分 6 （ 2）连接 ED ，在 ADE? 中， 1AD? ， 12AE? ， 60DAE?， 2 2 2 2 21 1 1 32 c o s 6 0 1 ( ) 2 12 2 2 4E D A D A E A D A E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 6分 32ED? ， 2 2 2AE ED AD?， ED AB? . 7分 PD? 平面 ABCD ， AB? 平面 ABCD ， PD AB? ， PD ED D? ， PD? 平面 PEF ， ED? 平面 PEF ， AB
14、? 平面 PEF . 9分 1 1 1 3 32 2 2 2 8PEFS P F E D? ? ? ? ? ? ? ?， 三棱锥 P BEF? 的体积 P BEF B PEFVV? 13PEFS BE? ? ? 1 3 13 8 2? ? ? 348?.12分 19.解：（ 1）当日需求量 10n? 时， 利润为 6 0 1 0 ( 1 0 ) 4 0 4 0 2 0 0y n n? ? ? ? ? ? ?； 当日需求量 10n? 时，利润为 6 0 (1 0 ) 1 0 7 0 1 0 0y n n n? ? ? ? ? ? ?. 所以利润 y 关于需求量 n 的函数解析式为 4 0 2 0
15、 0 ( 1 0 , )7 0 1 0 0 ( 1 0 , )n n n Ny n n n N? ? ? ? ? ? ? . 6分 （ 2） 50 天内有 4天获得的利润为 390元，有 8天获得的利润为 460元，有 10元获得的利润为 530元，有 14天获得的利润为 600元，有 9天获得的利润为 640元，有 5天获得的利润为 680元 . 若利润在区间 500,650 内，日需求量为 9、 10、 11，其对应的频数分别为 10、 14、 9. 则利润在区间 500,650 内的概率为 10 14 9 3350 50? . 7 20. 【解析】（ 1）依题意 , ?222222cba
16、acba, ? 1分 解得 2 2a? , 2 1b? ,椭圆 ? 的标准方程为2 2 12x y?. ? 3分 （ 2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y, 1 1 2 2 1 2 1 2( 2 , ) ( 2 , ) ( 2 ) ( 2 )P A P B x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ?, 当直线 l 垂直于 x 轴时 , 121xx? ? , 12yy? 且 21 12y? , 此时 1( 3, )PA y? , 21( 3, ) ( 3, )PB y y? ? ? ? ?, 221 17( 3 ) 2P A P B y? ?
17、 ? ? ?.? 6分 当直线 l 不垂直于 x 轴时 ,设直线 l : ( 1)y k x?, 由 22( 1)22y k xxy? ? ,得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k? ? ? ? ?, 212 2412kxx k? ? ? ? ,212 22212kxx k? ? , ? 8分 21 2 1 2 1 22 ( ) 4 ( 1 ) ( 1 )P A P B x x x x k x x? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 2 1 2(1 ) ( 2 ) ( ) 4k x x k x x k? ? ? ? ? ? ? 222 2 2222 2 4(1 ) ( 2 ) 41 2 1 2kkk k kkk? ? ? ? ? ? ? ? 2217 221kk ? 217 13 172 2(2 1) 2k? . ? 11分 要使不等式 PA PB ?(?R )恒成立 , 只需 m ax 17() 2PA PB? ? ? ?,即 ? 的最小值为 172 . ? 12分 21 解： （ ） 函数 ?fx的定义域为 ? ?0,? ， 8 ? ? ? ? ? ? 22 111 x a xaafx x x x? ? ? ?
