1、,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,小结与复习,第1章 直角三角形,八年级数学下（XJ） 教学课件,直角三角形的性质定理1,直角三角形的两个锐角_.,互余,直角三角形的判定定理1,有两个角_的三角形是直角三角形.,互余,一、直角三角形的性质与判定,要点梳理,直角三角形的重要推论,1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_.,一半,2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的_.,一半,3.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于_.,30,1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么,a2 + b2 = c2,即直角三角形
2、两直角边的平方和等于斜边的平方.,在直角三角形中才可以运用,2.勾股定理的应用条件,二、勾股定理,3.勾股定理表达式的常见变形： a2c2b2, b2c2a2，,三、勾股定理的逆定理,1.勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形.,满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.,2.勾股数,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.,A,B,C,D,E,F,注意：对应相等. “HL”仅适用直角三角形, 书写格式应为: 在Rt ABC 和Rt DEF中， AB =DE， AC=DF， RtAB
3、CRtDEF (HL),四、直角三角形全等的判定,角的平分线的性质,OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分线的判定,五、 角平分线的性质与判定,例1：如图，ABDF，ACBC于C，CB的延长线与DF交于点E，若A20，则CEF等于( ) A110 B100 C80 D70,【分析】ACBC于C，ABC是直角三角形， ABC90A902070，ABC170， ABDF， 1CEF180， 即CEF180118070110.,考点讲练,A,例2 如图，在ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边
4、BC上若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长,解：点E，F分别是边AB，AC的中点， AE=BE= AB，AF=CF= AC， AB=AC，AE=AF， 在ADE和ADF中， ADEADF（SSS）， DAE=DAF，即AD平分BAC，,BD=CD= BC=3，ADBC， ADB=ADC=90， 在RtABD和RtACD中，E，F分别是边AB，AC的中点， DE= AB，DF= AC， AE=AF=DE=DF， 四边形AEDF的周长=4AE=2AB=,1.等腰三角形的一个底角为75，腰长4cm，那么腰上的高是_cm，这个三角形的面积是_cm2.,2,4,例3 在ABC中，已知
5、BD是高，B90，A、B、C的对边分别是a、b、c，且a3，b4，求BD的长,解：B90，b是斜边， 则在RtABC中，由勾股定理，得 又SABC bBD ac，,在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰,2已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或25,D,解：由折叠知：DADB，ACD为直角三角形 在RtACD中，AC2CD2AD2， 设CDx cm，则ADBD(8x)cm， 代入式，得6
6、2x2(8x)2， 化简，得366416x， 所以x 1.75， 即CD的长为1.75 cm.,3.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长,例4 已知在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，an21，b2n，cn21(n1)，判断ABC是否为直角三角形,解：由于a2b2(n21)2(2n)2n42n21， c2(n21)2 n42n21， 从而a2b2c2， 故可以判定ABC是直角三角形,运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断哪条边最大； 分别用代数方法计算出a2b2和c2的值(
7、c边最大)；判断a2b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形,4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有_,(2)(4),5. B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？,解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）, 乙船航行的距离为BP= 30（n mile） 162+302=1156，342=1156, BM2+BP2=MP2,
8、 MBP为直角三角形，MBP=90 , 乙船是沿着南偏东30方向航行的,6.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，ABC=90猜想A与C关系并加以证明,解：猜想A+C=180 连接AC. ABC=90， 在RtABC中，由勾股定理得 AC= 25cm， AD2+DC2=625=252=AC2， ADC是直角三角形，且D=90， DAB+B+BCD+D=180， DAB+BCD=180， 即A+C=180,例5 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？,【分析】将
9、本题中的实际问题转化为数学问题就是确定BD是否等于CD.由已知条件可知AB=AC，ADBC.,解：相等，理由如下：,ADBC，,ADB=ADC=90.,在RtADB和RtADC中，, RtADB RtADC(HL).,BD=CD.,例6 如图，在ABC中，EB=FC，且BD = CD, DEAB, DFAC.垂足分别为E , F. 求证：AD是ABC的角平分线.,【分析】先利用“HL”证明RtBDE RtCDF，从而得到DE=DF，再利用角平分线的判定定理证明AD是ABC的角平分线.,在RtBDE 和 RtCDF中，, RtBDE RtCDF(HL)., DE=DF.,DEAB, DFAC，,
10、 AD是ABC的角平分线.,证明：,例7 如图,1=2,点P为BN上的一点，PCB+ BAP=180 ， 求证:PA=PC.,【分析】由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.,证明：过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,PE=PF, PEA=PFC=90 ., PCB+ BAP=180 ,又BAP+EAP=180 ., EAP=PCB.,在APE和CPF中，, APE CPF(AAS)，, AP=CP.,【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图
11、形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有PABPDB,再证PDC是等腰三角形即可获证.,B,证明过程请同学们自行完成！,D,【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.,7.如图,1=2,点P为BN上的一点， PA=PC ，求证:PCB+ BAP=180 .,【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,PE=PF, PEA=PFC=90 .,在RtAPE和RtCPF中，, RtPAE RtPCF(HL)., EAP= FCP., BAP+EAP=180 ，, PCB+ BAP=180 .,想一想：本题如果不给图，条件不变，请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？,课堂小结,勾股定理,直角三角形,直角三角形的性质,两个直角三角形全等的判定（HL）,直角三角形的判定,勾股定理的逆定理,角平分线的性质,角平分线的判定,见章末练习,课后作业,
