1、,2.3 垂径定理,第2章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优九年级数学下（XJ） 教学课件,1.进一步认识圆，了解圆的对称性. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）,导入新课,问题引入,问题1圆是轴对称图形吗？,问题2它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？,圆是轴对称图形,其对称轴是直径所在的直线 无数条,问题3你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,导入新课,讲授新课
2、,做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？,互动探究,C,线段: AP=BP,O,A,B,D,P,C,想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？,试一试,证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.,即AOB是等腰三角形.,ABCD，,AP=BP，,AOC=BOC.,从而AOD=BOD.,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧., CD是直径，CDAB，(条件), AP=BP,推导格式：,温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成
3、整体,才能运用自如.,下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为CD没有过圆心,议一议,垂径定理的几个基本图形：,例1 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图，O中弦ABCD, 求证：ACBD.,证明：作直径MNAB. ABCD，MNCD. 则AMBM，CMDM AMCMBMDM ACBD,典例精析,例2 如图，O的弦AB8cm ，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.,解：连接OA， CEAB于D，,设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得,解得 x=5，,即半径OC的长为5cm.,x2=42+(x-2)2，,如果
4、把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ 过圆心 ；垂直于弦； 平分弦； 平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？,思考探索：,试一试,证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.,即AOB是等腰三角形.,P是AB的中点，,ABCD.,即AP=BP，, CD是直径，CDAB，,思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.,平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂径定理的推论,特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.,垂径定理的本质是:,满足
5、其中任两条，必定同时满足另三条,（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧,例3 如图，在O中，点C是AB的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2求的O半径,典例精析,解：连接AO， 点C是AB的中点， 半径OC与AB相交于点D， OCAB， AB=12，AD=BD=6， 设O的半径为R，CD=2， 在RtAOD中，由勾股定理得：AO2=OD2+AD2， 即：R2=（R-2）2+62，R=10 即，O的半径为10,你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
6、,试一试,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高., AB=37m，CD=7.23m., AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.,解得R27.3（m）.,即主桥拱半径约为27.3m.,R2=18.52+(R-7.23)2,在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：,弓
7、形中重要数量关系,d+h=r,如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.,2cm或12cm,练一练,例4 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径,典例精析,解：弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高， OEAB于F，AF= AB=3m， 设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m， AO=r，OF=r-2， 在RtAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r= m 即，AB所在圆O的半径为 m,当堂练习,1.如图，OEAB于E，若O
8、的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.,16,O,A,B,E,2.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又 AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD.,5.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .,1
9、4cm或2cm,4. 如图，在ABC中，已知ACB=130，BAC=20，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_,6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,根据勾股定理，得,解得R=545.,这段弯路的半径约为545m.,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）,垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分这条弦所对的两条弧.,两条辅助线： 连半径，作弦心距,构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.,基本图形及变式图形,课堂小结,见学练优本课时练习,课后作业,
