1、二次函数（含与其他函数的综合）的小题-含答案 1 （2018，北京，题 7，2 分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起 跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分， 运动员起跳后的竖直高度 y（单 位：m） 与水平距离x（单位：m） 近似满足函数关系 2 yaxbxc （ 0a ） 下 图记录了某运动员起跳后的x与 y 的三组数据， 根据上述函数模型和数据， 可 推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A10mB15m C20mD22.5m 【答案】B 【解析】设对称轴为x h ， 由（0，54.0）和（40，46.2）可知， 040 20 2 h ， 由（0，54.0）和（20，5
2、7.9）可知， 020 10 2 h ， 10 20h ，故选 B 【考点】抛物线的对称轴 2 （2018，白银，题 10，3 分）如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1对于下列说法：ab0；2a+b=0；3a+c0；a+bm（am+b） （m 为实数） ；当1x3 时，y0，其中正确的是（ ） A B C D 【解答】解：对称轴在 y 轴右侧， a、b 异号， ab0，故正确； 对称轴 x=1， 2a+b=0；故正确； 2a+b=0， b=2a， 当 x=1 时，y=ab+c0，
3、a（2a）+c=3a+c0，故错误； 根据图示知，当 m=1 时，有最大值； 当 m1 时，有 am2+bm+ca+b+c， 所以 a+bm（am+b） （m 为实数） 故正确 如图，当1x3 时，y 不只是大于 0 故错误 故选：A 3. ( 2018，深圳，题 11，2 分 ) 二次函数的图像如图所示， 下列结论正确是( ) A. B. C.D.有两个不相等的实数根 【答案】C 【考点】二次函数图象与系数的关系 【解析】 【解答】解：A.抛物线开口向下，a0， 对称轴在 y 轴右侧， b0， abc0，从而可知 A 错误； B.由图像可知对称轴为 2，即 b=-2a，从而得出 B 错误；
4、C.由图像可知当 x=-1 时，a-b+c0，将 b=-2a 代入即可知 C 正确； D.由图像可知当 y=3 时，x=1，故此方程只有一个根，从而得出 D 错误. 4.（2018，安顺，题 10,3 分）已知二次函数 2 (0)yaxbxc a 的图象如图， 分析下列四个结论： 0abc ； 2 40bac ；3 0ac ； 22 ()acb .其 中正确的结论有（ ） A 1个B2个C3个D4个 【答案】B 【考点】二次函数图象与系数的关系 【解析】 【解答】 0abc 抛物线开口向下，a0， 对称轴在y轴左侧， b 0， abc 0，因此该选项错误。 2 40bac 由二次函数图像与x轴
5、有两个交点，因此 2 40bac ,该选项正确。 30ac 由图像可知当x=-2时，y0，即4a-2b+c0 （1） 当x=1时，y0，即a+b+c0 （2） 由（1）+（2）*2得：6a+3c0，即2a+c0； 又a0，a+（2a+c）=3a+c0，故该选项错误。 22 ()acb x=1时，y=a+b+c0， （a+b+c）(a-b+c）0，即 22 a+c-bacbacb （） 0 22 ()acb ，故该选项正确。 5.（2018，荆门，题 12,5 分）二次函数 2 0yaxbxc a 的大致图象如图所 示，顶点坐标为 2, 9a ，下列结论： 4 20abc ； 5 0abc ；
6、若方程 511a xx 有两个根 1 x 和 2 x ， 且 12 xx ，则 12 51xx ； 若方程 2 1axbxc 有四个根，则这四个根的和为 4 .其中正确的结论有 （ ） A1个B2个C.3个D4个 【答案】B 【考点】二次函数图象与系数的关系 【解析】根据二次函数的性质一一判断即可 【解答】解：抛物线的顶点坐标（2a，9a） ， =2a，=9a， b=4a，c=5a， 抛物线的解析式为 y=ax2+4ax5a， 4a+2b+c=4a+8a5a=7a0，故正确， 5ab+c=5a4a5a=4a0，故错误， 抛物线 y=ax2+4ax5a 交 x 轴于（5，0） ， （1，0） ，
7、 若方程 a（x+5） （x1）=1 有两个根 x1 和 x2，且 x1x2，则5x1x2 1，正确，故正确， 若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为8，故错误， 故选：B 6 （2018，衡阳，题 12，3 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1， 0） ，顶点坐标（1，n）与 y 轴的交点在（0，2） ， （0，3）之间（包含端点） ，则 下列结论： 3a+b0； 1a； 对于任意实数 m，a+bam2+bm 总成立； 关于 x 的方程 ax2+bx+c=n1 有两个不相等的实数根 其中结论正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4
8、 个 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，再由抛物线的对称轴方程得到 b=2a， 则 3a+b=a，于是可对进行判断；利用 2c3 和 c=3a 可对进行判断；利 用二次函数的性质可对进行判断；根据抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=n1 有两 个交点可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 而抛物线的对称轴为直线 x=1，即 b=2a， 3a+b=3a2a=a0，所以正确； 2c3， 而 c=3a， 23a3， 1a，所以正确； 抛物线的顶点坐标（1，n） ， x=1 时，二次函数值有最大值 n， a+b+cam2+bm+c， 即 a+bam2+bm，所以正确； 抛物线的顶
9、点坐标（1，n） ， 抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=n1 有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+c=n1 有两个不相等的实数根，所以正确 故选：D 7 （2018，岳阳，题 8，3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函 数 y= （x0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x1，m） ， B（x2，m） ，C（x3，m） ，其中 m 为常数，令 =x1+x2+x3，则 的值为（ ） A1 Bm Cm2 D 【分析】三个点的纵坐标相同，由图象可知 y=x2 图象上点横坐标互为相反数， 则 x1+x2+x3=x3，再由反比例函数性质可求 x3
10、【解答】解：设点 A、B 在二次函数 y=x2 图象上，点 C 在反比例函数 y= （x0） 的图象上因为 AB 两点纵坐标相同，则 A、B 关于 y 轴对称，则 x1+x2=0，因为 点 C（x3，m）在反比例函数图象上，则 x3= =x1+x2+x3=x3= 故选：D 8、 （2018，株洲，题 8，3 分）已知二次函数的图像如下图，则下列哪个选项表 示的点有可能在反比例函数 a y x 的图象上( ) A、 （1,2） B、 （1，2） C、 （2,3） D、 （2，3） 【分析】根据抛物线的开口方向可得出 a0，再利用反比例函数图象上点的坐 标特征，即可找出点（2，3）可能在反比例函数
11、 y=的图象上，此题得解 【解答】解：抛物线 y=ax2 开口向上， a0， 点（2，3）可能在反比例函数 y=的图象上 故选：C 9 （2018，南通，题 9，3 分）如图，等边 ABC 的边长为 3cm， 动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 ABC 的方向 运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x(s)，yPC2，则 y 关 于 x 的函数的图像大致为（ ） A B C 10.(2018,宁夏，题 8,3 分)如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容 器内按一定的速度均匀注水，60 秒后将容器内注满.容器内水面的高度 h（cm） 与注水时间 t（s）之间的函数关
12、系图象大致是（ ） x y 第第8题图题图 11 （2018，德州，题 7，4 分）如图，函数 y=ax22x+1 和 y=axa（a 是常数， 且 a0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） AB C D 【分析】可先根据一次函数的图象判断 a 的符号，再判断二次函数图象与实际是 否相符，判断正误即可 【解答】解：A、由一次函数 y=ax-a 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2-2x+1 的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数 y=ax-a 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2-2x+1 的图象应该 开口向上，对称轴 x=0，故选项正确； C、由一次函数 y=ax-
13、a 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2-2x+1 的图象应该 开口向上，对称轴 x=0，和 x 轴的正半轴相交，故选项错误； D、由一次函数 y=ax-a 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2-2x+1 的图象应该 开口向上，故选项错误 故选：B 12 （2018，东营，题 9,3 分）如图所示，已知 ABC 中，BC=12， BC边上的高h=6，D为BC上一点，EFBC，交AB于点E， 交AC于点F，设点E到边BC的距离为x则 DEF的面积 y关于x的函数图象大致为 ( ) 【分析】可过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H，所以根据相似三角形的性质可求出 EF，进而求出函数
14、关系式，由此即可求出答案 【解答】解：过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H，所以根据相似比可知：=， 即 EF=2（6x） F A BCD E 所以 y=2（6x）x=x2+6x （0x6） 该函数图象是抛物线的一部分， 故选：D 13 （2018，菏泽，题 8，3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 如图所示，则一次函数 y=bx+a 与反比例函数 y=在 同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的取值范围，进而利用 一次函数与反比例函数的性质得出答案 【解答】解：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
15、开口向上， a0， 该抛物线对称轴位于 y 轴的右侧， a、b 异号，即 b0 当 x=1 时，y0， a+b+c0 一次函数 y=bx+a 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数 y=的图象分布在第二、四象限， 故选：B 14 （2018，青岛，题 8，3 分）已知一次函数 y=x+c 的图象如图，则二次函数 y=ax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） ABCD 【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出0、c0，由此即可得出： 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴 x=0，与 y 轴的交点在 y 轴负正半轴， 再对照四个选项中的图象即可得出结论 【解答】解：观察
16、函数图象可知：0、c0， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴 x=0，与 y 轴的交点在 y 轴负正半 轴 故选：A 15 （2018，潍坊，题 12，3 分）如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，B=60， 动点 P 以 1 厘米秒的速度自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止， 动点 Q 以 2 厘 米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止若点 P、Q 同时出发运动 了 t 秒，记BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系 的是（ ） A B C D 【分析】应根据 0t2 和 2t4 两种情况进行讨论把 t 当作已
17、知数值，就 可以求出 S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解 【解答】解：当 0t2 时，S=2t（4t）=t2+4t； 当 2t4 时，S=4（4t）=2t+8； 只有选项 D 的图形符合 故选：D 16 （2018，枣庄，题 17，4 分）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图 象，其中 M 为曲线部分的最低点，则ABC 的面积是 【分析】根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，而从 C 向 A 运 动时，BP 先变小后变大，从而可求出 BC 与 AC 的
18、长度 【解答】解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大， 由图象可知：点 P 从 B 向 C 运动时，BP 的最大值为 5， 即 BC=5， 由于 M 是曲线部分的最低点， 此时 BP 最小， 即 BPAC，BP=4， 由勾股定理可知：PC=3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， PA=3， AC=6， ABC 的面积为：46=12 故答案为：12 17 （2018，南充，题 16，3 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a 0）与 x 轴交于 A，B 两点，顶点 P（m，n） 给出下列结论： 2a+c0； 若（，y1） ， （，y2） ， （，
19、y3）在抛物线上， 则 y1y2y3； 关于 x 的方程 ax2+bx+k=0 有实数解，则 kcn； 当 n= 时，ABP 为等腰直角三角形 其中正确结论是 （填写序号） 【分析】利用二次函数的性质一一判断即可； 【解答】解：，a0， ab， x=1 时，y0， ab+c0， 2a+cab+c0，故错误， 若（，y1） ， （，y2） ， （，y3）在抛物线上， 由图象法可知，y1y2y3；故正确， 抛物线与直线 y=t 有交点时，方程 ax2+bx+c=t 有解，tn， ax2+bx+ct=0 有实数解 要使得 ax2+bx+k=0 有实数解，则 k=ctcn；故错误， 设抛物线的对称轴交
20、 x 轴于 H =， b24ac=4， x=， |x1x2|=， AB=2PH， BH=AH， PH=BH=AH， PAB 是直角三角形，PA=PB， PAB 是等腰直角三角形 故答案为 18 （2018，新疆，题 15，5 分）如图，已知抛物线 y1=x2+4x 和直线 y2=2x我 们规定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1 和 y2，若 y1y2，取 y1 和 y2 中较小值为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2 当 x2 时，M=y2； 当 x0 时，M 随 x 的增大而增大； 使得 M 大于 4 的 x 的值不存在； 若 M=2，则 x=1 上述结论正确的是 （
21、填写所有正确结论的序号） 【分析】观察函数图象，可知：当 x2 时，抛物线 y1=x2+4x 在直线 y2=2x 的下方，进而可得出当 x2 时，M=y1，结论错误； 观察函数图象，可知：当 x0 时，抛物线 y1=x2+4x 在直线 y2=2x 的下方， 进而可得出当 x0 时， M=y1， 再利用二次函数的性质可得出 M 随 x 的增大而增 大，结论正确； 利用配方法可找出抛物线 y1=x2+4x 的最大值，由此可得出：使得 M 大于 4 的 x 的值不存在，结论正确； 利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当 M=2 时的 x 值，由此可得出：若 M=2，则 x=
22、1 或 2+，结论错误 此题得解 【解答】解：当 x2 时，抛物线 y1=x2+4x 在直线 y2=2x 的下方， 当 x2 时，M=y1，结论错误； 当 x0 时，抛物线 y1=x2+4x 在直线 y2=2x 的下方， 当 x0 时，M=y1， M 随 x 的增大而增大，结论正确； y1=x2+4x=（x2）2+4， M 的最大值为 4， 使得 M 大于 4 的 x 的值不存在，结论正确； 当 M=y1=2 时，有x2+4x=2， 解得：x1=2（舍去） ，x2=2+； 当 M=y2=2 时，有 2x=2， 解得：x=1 若 M=2，则 x=1 或 2+，结论错误 综上所述：正确的结论有 故
23、答案为： 19 （2018，宁波，题 11，4 分）如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的 点 P若点 P 的横坐标为1，则一次函数 y=（ab）x+b 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数的图象可以判断 a、b、ab 的正负情况，从而可以得到 一次函数经过哪几个象限，本题得以解决 【解答】解：由二次函数的图象可知， a0，b0， 当 x=1 时，y=ab0， y=（ab）x+b 的图象在第二、三、四象限， 故选：D 20 （2018，大庆，题 10，3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（ 1，0） 、点 B（3，0）
24、、点 C（4，y1） ，若点 D（x2，y2）是抛物线上任意一点， 有下列结论： 二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为4a； 若1x24，则 0y25a； 若 y2y1，则 x24； 一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为1 和 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用交点式写出抛物线解析式为 y=ax22ax3a，配成顶点式得 y=a（x 1）24a，则可对进行判断；计算 x=4 时，y=a51=5a，则根据二次函数的 性质可对进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对进行判断；由于 b= 2a，c=3a，则方程 cx2+bx+a=0 化为3ax22ax+
25、a=0，然后解方程可对进 行判断 【解答】解：抛物线解析式为 y=a（x+1） （x3） ， 即 y=ax22ax3a， y=a（x1）24a， 当 x=1 时，二次函数有最小值4a，所以正确； 当 x=4 时，y=a51=5a， 当1x24，则4ay25a，所以错误； 点 C（1，5a）关于直线 x=1 的对称点为（2，5a） ， 当 y2y1，则 x24 或 x2，所以错误； b=2a，c=3a， 方程 cx2+bx+a=0 化为3ax22ax+a=0， 整理得 3x2+2x1=0，解得 x1=1，x2=，所以正确 故选：B 21 （2018，长春，题 14，3 分）如图，在平面直角坐标系
26、中，抛物线 y=x2+mx 交 x 轴的负半轴于点 A点 B 是 y 轴正半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点 A 恰好落在抛物线上过点 A作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C若点 A的横坐 标为 1，则 AC 的长为 【分析】解方程 x2+mx=0 得 A（m，0） ，再利用对称的性质得到点 A 的坐标为 （1， 0） ， 所以抛物线解析式为 y=x2+x， 再计算自变量为 1 的函数值得到 A （1， 2） ，接着利用 C 点的纵坐标为 2 求出 C 点的横坐标，然后计算 AC 的长 【解答】解：当 y=0 时，x2+mx=0，解得 x1=0，x2=m，则 A（m，0） ， 点 A 关于点 B 的对称点为 A，点 A的横坐标为 1， 点 A 的坐标为（1，0） ， 抛物线解析式为 y=x2+x， 当 x=1 时，y=x2+x=2，则 A（1，2） ， 当 y=2 时，x2+x=2，解得 x1=2，x2=1，则 C（2，1） ， AC 的长为 1（2）=3 故答案为 3
