1、第四节 直接证明与间接证明 总纲目录 教材研读 1.直接证明 考点突破 2.间接证明 考点二 分析法 考点一 综合法 考点三 反证法 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等 ,经过一系列的推理论证 ,最后推导出所要证明的结论 成立 从要证明的结论出发 ,逐步寻求使它成立的 充分 条件 ,直至最后 ,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 )为止 实质 由因导果 执果索因 框图表示 P?Q1 Q1?Q2 Q2?Q3 Qn?Q Q?P1 P1?P2 P2?P3 得到一个明显成立的条件 文字语言 因为 所以 或由 得 要证 只需证 即
2、证 1.直接证明 教材研读 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 ,反证法是一种常用的间 接证明方法 . (1)反证法的定义 :假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下 ,结论 不成立 ),经过正确的推理 ,最后得出 矛盾 ,因此说明假设错误 ,从 而证明 原命题成立 的证明方法 . (2)用反证法证明的一般步骤 :(i)反设 假设命题的结论不成立 ;(ii)归 谬 根据假设进行推理 ,直到推出矛盾为止 ;(iii)结论 断言假设不 成立 ,从而肯定原命题的结论成立 . 1.命题“对任意角 ,cos4-sin4=cos 2”的证明 :“ cos4-sin4=(cos2- si
3、n2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”过程应用了 ( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 B 答案 B 因为证明过程是“从左往右” ,即由条件 ?结论 ,故选 B. 2.要证 a2+b2-1-a2b2 0,只要证明 ( ) A.2ab-1-a2b2 0 B.a2+b2-1- 0 C. -1-a2b2 0 442ab?2()2ab?D.(a2-1)(b2-1) 0 答案 D a2+b2-1-a2b2 0?(a2-1)(b2-1) 0. D 3.用反证法证明命题 :“三角形的内角中至少有一个不大于 60度” ,假设 正确的是 ( ) A.
4、假设三个内角都不大于 60度 B.假设三个内角都大于 60度 C.假设三个内角至多有一个大于 60度 D.假设三个内角至多有两个大于 60度 B 答案 B 根据反证法的定义 ,假设是对原命题结论的否定 ,故假设三个 内角都大于 60度 .故选 B. 4.若 a,b,c为实数 ,且 aabb2 C. 1a 1b ba abB 答案 B a2-ab=a(a-b), a0, a2ab. 又 ab-b2=b(a-b)0, abb2, 由得 a2abb2. 5.若 , , 成等比数列 ,则 lo x= . 2 3 x32g2 答案 2 解析 由题意得 ( )2= , 所以 = ,所以 x= . 设 lo x=y,即 = = , 所以 y=2,即 lo x=2. 3 2 xx 32 9232g32y?92232?32g6.已知点 An(n,an)为函数 y= 图象上的点 ,Bn(n,bn)为函数 y=x图象上的 点 ,其中 n N*,设 cn=an-bn,则 cn与 cn+1的大小关系为 . 2 1x ?cncn+1 答案 cncn+1 解析 由题意知 ,an= ,bn=n, cn= -n= . 显然 ,cn随着 n的增大而减小 , cncn+1. 2 1n ?2 1n ?211nn?
