1、第一节数系的扩充与复数的引入,总纲目录,教材研读,1.复数的有关概念,2.复数的几何意义,3.共轭复数的概念,4.复数的模,5.复数的加法与减法,6.复数的乘法与除法,考点突破,考点二复数的运算,考点一复数的有关概念,考点三复数的几何意义,教材研读,2.复数的几何意义建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.,3.共轭复数的概念当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时,这两
2、个复数叫做互为共轭复数,复数z的共轭复数用?表示,即若z=a+bi(a,bR),则?=a-bi.,4.复数的模(1)定义:复数z=a+bi(a,bR)对应的向量?的模叫做z的模,记作|z|或|a+bi|,|z|=|a+bi|=?.(2)性质:|z1z2|=|z1|z2|,?=?,|zn|=|z|n,|?|=|z|.,6.复数的乘法与除法设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).(1)复数的乘法z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;交换律:z1z2=z2z1;结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(
3、2)复数的除法(a+bi)(c+di)=?+?i(c+di0).,7.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中kN*.,复数运算的常用结论(1)(1i)2=2i.(2)?=i,?=-i.(3)常用公式:(a+bi)(a-bi)=a2+b2;(abi)2=a2-b22abi(a,bR).,1.设mR,复数z=m2-1+(m+1)i表示纯虚数,则m的值为?()A.1B.-1C.1D.0,答案A由题意得?即?所以m=1.故选A.,A,2.设x,yR,若(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,则复数z=x+yi在复平面上对应的点位于?()A.第一象限B.第
4、二象限C.第三象限D.第四象限,D,3.若复数z=?,其中i为虚数单位,则?=?()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i,B,答案Bz=?=?=1+i,?=1-i,故选B.,4.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.,答案,解析z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,|z|=?=?.,5.复数z=1-i,则?+z=.,答案?-?i,解析z=1-i,?+z=?+1-i=?+1-i=?+1-i=?-?i.,典例1(1)(2017课标全国,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是?()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(
5、1+i)(2)(2017贵州贵阳检测)设i是虚数单位,如果复数?的实部与虚部相等,那么实数a的值为?()A.?B.-?C.3D.-3(3)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为?,则|(1-z)?|=?()A.?B.2C.?D.1,考点一复数的有关概念,考点突破,答案(1)C(2)C(3)A,解析(1)A.i(1+i)2=i2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.(2)?=?,由题意知?=?,解得a=3.(3)解法一:z=-1-i,?=-1+i,(1-z)?=(2+i)(-1+i)=-3+i,|-3+i|=
6、?=?,|(1-z)?|=?.故选A.解法二:|(1-z)?|=|1-z|?|=|2+i|z|=?=?.故选A.,规律总结解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.,1-1(2017湖北重点高中联合协作体期中)复数z=?(i是虚数单位),则z的虚部是?()A.1B.-1C.iD.-i,B,答案B复数z=?=?=?=-i,则z的虚部为-1.故选B.,A,答案Az=?=1+2i,?=1-
7、2i,故选A.,考点二复数的运算,典例2(1)(2017课标全国,2,5分)(1+i)(2+i)=?()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i(2)(2015课标全国,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=?()A.-1B.0C.1D.2(3)(2016课标全国,2,5分)若z=1+2i,则?=?()A.1B.-1C.iD.-i(4)?+?=.,答案(1)B(2)B(3)C(4)-1+i,方法技巧复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.,2-1复数?=?
8、()A.iB.1+iC.-iD.1-i,A,答案A?=?=?=?=i,故选A.,答案B设z=a+bi(a、bR),则2z+?=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,a=1,b=-2,z=1-2i,故选B.,B,2-3?+?= .,答案?+?i,解析?+?=?+?=i+i1 008?(1+i)=?+?i.,典例3(1)(2017课标全国,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于?()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是?()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+
9、)(3)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是?,?,则|z1+z2|=.,考点三复数的几何意义,答案(1)C(2)B(2)2,解析(1)z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.(2)复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,?a-1.故选B.(3)由题图可知z1=-2-i,z2=i,则z1+z2=-2,|z1+z2|=2.,规律总结复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量?相互联系,即z=a+bi(a,bR)?Z(a,b)?.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题简单化.,3-1复数z=?+3i在复平面内对应的点在?()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,A,答案Az=?+3i=?+3i=?+3i=2-i+3i=2+2i,故z在复平面内对应的点在第一象限,故选A.,C,答案C依题意得,复数z=?=i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A的坐标为(-2,1),其对应的复数为-2+i,故选C.,
