1、知识网络知识网络单位向量及零向量平行向量和共线向量平行与垂直的条件向量向量有关概念向量的运算基本应用向量的定义相等向量及相反向量向量的加法向量的减法实数和向量的积向量的数量积求长度求角度一、向量的概念一、向量的概念1、向量：既有向量：既有 ，又有，又有 的量的量 叫做向量。叫做向量。大小大小方向方向二、向量的表示二、向量的表示 1、代数字母表示：aAB 或 2、几何有向表示：（有向线段、作图）3、坐标表示：（综合运算）axiy j），（yx），（yxOA xyaiO(x,y)jAaxy（可运算）向量的两要素：向量的两要素：大小大小方向方向和（与位置无关，没有大小）（与位置无关，没有大小）|aA
2、B 或三、几个特点向量三、几个特点向量3、相等、相等向量：向量：的向量叫相等向量。的向量叫相等向量。长度为长度为10任意的任意的平行平行2、单位、单位向量：向量：的向量叫单位向量。记作的向量叫单位向量。记作 。1、零向量：零向量：的向量叫零向量。记作的向量叫零向量。记作 ，零向量的方向是零向量的方向是 ，零向量与任意向量，零向量与任意向量 。4、相反、相反向量：向量：的向量叫相反向量。的向量叫相反向量。5、平行、平行向量：向量：的向量叫平行向量。的向量叫平行向量。注意：共线向量也称平行向量注意：共线向量也称平行向量长度为零长度为零长度相等，方向相反长度相等，方向相反长度相等，方向相同长度相等，
3、方向相同表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上|aa6、请说出以上向量的相互关系？、请说出以上向量的相互关系？三、向量的运算三、向量的运算（一）向量的加法（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图（二）向量的减法（二）向量的减法ABADDB 2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图 平行四边形法则：abab+ab+ABBCAC ()aRa（1）长度：）长度：（
4、2）方向：）方向：时，当0aa与 异向，时当0aa与 同向时，当00aa（三）数乘向量（三）数乘向量a bab（）aaa（）aa、数乘向量的运算律：3：、数乘向量的坐标运算2的大小和方向：、a1axyxy（，）（，）4、平面向量基本定理、平面向量基本定理12121 122eeaaee 如果，是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使1、平面向量数量积的定义：bacos|ba 2、数量积的几何意义：|cos.aabab等于 的长度与在方向上的投影的乘积OABB1(四四)数量积数量积abba）（1）（）（）（bababa2cbcacba）（34、运算律:21
5、21yyxxba3、数量积的坐标运算ea=ae=|a|cosab ab=0a，b同向同向ab=|a|b|反向时反向时ab=-|a|b|a2=aa=|a|2(aa=)cos=|ab|a|b|baba2a平面向量的数量积平面向量的数量积ab的性质的性质:四、向量垂直的判定四、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（五、向量平行的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定共线向量的判定)）（）（0/1aabba122111222/0bax yx yaxybxy（），其中（，），（，）|32211AByxByxA），则，（），（）若（|a 22xy221221）（）（yyxx2axy（）
6、设（，），则六、向量的长度六、向量的长度21|a aa（），2|aa七、向量的夹角七、向量的夹角cos|a ba b 向量表示向量表示坐标表示坐标表示向量表示向量表示坐标表示坐标表示222221212121yxyxyyxx特别注意：特别注意：00cos0为锐角或ba为钝角或0cos0ba 由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共线。例例1 e1、e2不共线，不共线，a=e1+e2 b=3e13e2 a与与b是否共线。是否共线。典型例题分析典型例题分析:解：假设解：假设,a与与b共线则共线则 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3
7、e2 1=3 1=-3 这样这样不存在。不存在。a与与b不共线。不共线。例例2 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则共线则k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=-k=-1 k=-1例例3、已知已知a=(3,-2)b=(-2,1)c=(7,-4)，用用a、b表示表示c。解：解：c=m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c=a-2b例例4、|a|=10 b=(3,-4)
8、且且ab求求a解：设解：设a=(x,y)则则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)例例5、设设|a|=|b|=1|3a-2b|=3则则|3a+b|=_解：解：法法1 a=(x1y1)b=(x2,y2)x12+y12=1 x22+y22=1 3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9 x1x2+y1y2=3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3
9、y1+y2)2 =9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12(3a+b)=2331法法2 9=9a2+4b2-12ab ab=又又,(3a+b)2=9a2+b2+6ab=12|3a+b|=2313212121,602,32.oe eaeebeeab 例6、设为两个单位向量且夹角为。若。求 与 的夹角解：解：22222121211222244aeeeeee ee 222112144cos604 14 1 1172eeee 7a同理可得同理可得 7b22121211227232622a beeeeee ee 712cos277a bab =1207123 21323a
10、bkkababkabab 例、已知（，），（，），当为何值时，（）与垂直。（）与平行。平行时它们是同向还是反向？（1）k=19（2）,反向31k8.0,(cos,sin),aabcabc例若向量则 与 一定满足()以上都不对以上都不对 D.)()(C.0 B.A.cbcbcbab 8.0,(cos,sin),aabcabc例若向量则 与 一定满足().()(0)(1sincos,12222cbcbcbcbcbcb 解解 答案答案 C 9.,_.ABCOA OBOB OCOC OAOABC 例已知在中则 是的心 解解 ()0,0,.OA OBOB OCOBOAOCOB CAOBCAOCAB OA
11、BCOABC 由得：即同理故 是的垂心考点归纳考点归纳 1、向量的概念、向量的概念 2、实数与向量的积、实数与向量的积 3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算 4、线段的定比分点、线段的定比分点 5、平面向量的数量积、平面向量的数量积练习练习一、选择题：一、选择题：1、如图所示，如图所示，G为为ABC的重心，则的重心，则GA+GB-GC等于（等于（）A.0 B.GE C.4GDD.4GF2、若若a=(,2)，b=(-3,5)，且，且a与与b的的夹角为钝角，则夹角为钝角，则的取值范围是的取值范围是()A.B.C.D.3、已知已知|a|=18,|b|=1,ab=-9，则，则a和和b的夹角的夹角
12、是（是（）A.120。B.150。C.60。D.30。310310310310ABDCGFEDAA4、已知已知|a|=|b|=1,a与与b的夹角为的夹角为90。，c=2a+3b,d=ka-4b,cd,k=（）A.-6B.6C.3D.-35、已知已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33，则则a与与b的夹角为（的夹角为（）A.30。B.60。C.120。D.150。6.若若|a-b|=,|a|=4,|b|=5,则则ab=()A.10 B.-10 C.10 D.1033232041BCA二、解答题：二、解答题：7、已知已知e1与与e2是夹角为是夹角为60。的单位向的单位向量，且量，且
13、a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求求ab及及a与与b的夹角的夹角。解解：e1,e2是单位向量，且夹角为是单位向量，且夹角为60。e1.e2=|e1|e2|cos60。=ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2)=-6|e12|+e1e2+2e22=-3而而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1e2+4e22=7|a|=|b|=cos=120。21217721|baba 8、（、（1）已知已知a,b都是非零向量，且都是非零向量，且a+3b与与7a-5b垂直垂直,a-4b与与7a-2b垂直，垂直，求求a与
14、与b的夹角；的夹角；(2)已知已知|a|=,|b|=，且且a与与b的夹角为的夹角为 ，试求，试求a+2b与与a-b的夹角的夹角的大小。的大小。解解：（：（1）(a+3b)(7a-5b)=0 (a-4b)(7a-2b)=0 7a+16ab-15b=0 7a2-30ab+8b2=0 a2=b2 2ab=b2 cos=60。32621|baba（2）a2=3 b2=4|a|b|=2 ab=|a|b|cos=cos30。=333)arccos(cos12)(|3144)2(|2|3131231312|2|)(2(222222QQbabababababababababababa 9、已知已知ABC中，中
15、，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。（1）求证：）求证：ABAC；（2）求点）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标；（3）求证：）求证：AD2=BDDC解：（解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又又B、D、C共线共线 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x=D(,)x-y-1=0 y=AD=(,-)272527252323（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|2=+=BDDC=+=AD2=BDDC212949232329214929494929
