1、第3节 函数的奇偶性与周期性,最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.,知 识 梳 理,1.函数的奇偶性 图像关于原点对称的函数叫作奇函数. 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.,2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有_，就把函数f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的_正周期.,f(xT)f(x),存在一个最小
2、,最小,微点提醒,1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：,4.对称性的三个常用结论 (1)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图像关于直线xa对称. (3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图像关于点(b，
3、0)中心对称.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.( ) (3)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.( ) (4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图像关于点(b，0)中心对称.( ),解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不具有奇偶性，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错. (3)由周期函数的定义，(3)正确. (4)由于yf(xb)的图像关于(
4、0，0)对称，根据图像平移变换，知yf(x)的图像关于(b，0)对称，正确. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修1P50练习改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.yx2sin x B.yx2cos x C.y|ln x| D.y2x 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数. 答案 B,答案 1,4.(2019汉中模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是( ),解析 对于A，yx3为奇函数，不符合题意；,对于D，y|tan x|是偶
5、函数，但在区间(0，)上不单调递增. 答案 C,5.(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_. 解析 x(，0)时，f(x)2x3x2，且f(x)在R上为奇函数， f(2)f(2)2(2)3(2)212. 答案 12,6.(2019上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0，1时，f(x)log2(x1)，则当x1，2时，f(x)_. 解析 当x1，2时，x21，0，2x0，1， 又f(x)在R上是以2为周期的偶函数， f(x)f(x2)f(2x)log2(2x1)log2(3x). 答案 log2(3x),考
6、点一 判断函数的奇偶性,【例1】 判断下列函数的奇偶性：,因此f(x)f(x)且f(x)f(x)， 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,函数f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称. 当x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数.,规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断
7、奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.,【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ),A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数,因为F(x)F(x)且F(x)F(x)， 所以F(x)g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 答案 (1)D (2)A,考点二 函数的周期性及其应用 【例2】 (1)(一题多解)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)
8、f(2)f(3)f(50)( ) A.50 B.0 C.2 D.50 (2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图像在区间0，6上与x轴的交点个数为_.,解析 (1)法一 f(x)在R上是奇函数，且f(1x)f(1x). f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x). 因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数， 由于f(1x)f(1x)，f(1)2， 故令x1，得f(0)f(2)0 令x2，得f(3)f(1)f(1)2， 令x3，得f(4)f(2)f(2)0， 故f(1)f(2)f(3)f(4)20200， 所以f(1)f(2
9、)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.,故f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202. (2)因为当0x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0， 则f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0， 故函数yf(x)的图像在区间0，6上与x轴的交点有7个. 答案 (1)C (2)7,规律方法 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间. 2.若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为
10、函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.,(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_.,(2)f(x4)f(x2)， f(x2)4f(x2)2，即f(x6)f(x)， f(919)f(15361)f(1)， 又f(x)在R上是偶函数， f(1)f(1)6(1)6，即f(919)6. 答案 (1)A (2)6,考点三 函数性质的综合运用 多维探究 角度1 函数单调性与奇偶性,【例31】 (2019南昌模拟)设f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(
11、3)的解集为( ) A.3，3 B.2，4 C.1，5 D.0，6,解析 因为f(x)是定义在2b，3b上的偶函数， 所以有2b3b0，解得b3， 由函数f(x)在6，0上为增函数，得f(x)在(0，6上为减函数. 故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4. 答案 B,规律方法 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性. 2.本题充分利用偶函数的性质f(x)f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.,角度2 函数的奇偶性与周期性,A.2 B.18 C.18 D.2,解析 (1)f(x)满足f(x5)f(x)， f(x)是
12、周期为5的函数， f(2 018)f(40353)f(3)f(52)f(2)，,f(2)f(2)(2332)2，故f(2 018)2. (2)由yf(x)和yf(x2)是偶函数知f(x)f(x)， 且f(x2)f(x2)，则f(x2)f(x2). f(x4)f(x)，则yf(x)的周期为4.,答案 (1)D (2)B,规律方法 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.,【训练3】 (1)(2019重庆九校
13、模拟)已知奇函数f(x)的图像关于直线x3对称，当x0，3时，f(x)x，则f(16)_.,解析 (1)根据题意，函数f(x)的图像关于直线x3对称，则有f(x)f(6x)， 又由函数为奇函数，则f(x)f(x)， 则有f(x)f(6x)f(x12)， 则f(x)的最小正周期是12， 故f(16)f(4)f(4)f(2)(2)2.,(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，,得f(ln t)f(1). 又函数f(x)在区间0，)上是单调递增函数，,思维升华 1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以
14、解决以下问题： (1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图像，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.,易错防范 1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件. 2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图像的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.,数学运算活用函数性质中“三个二级”结论,数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二维结论”解决数
15、学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.,类型1 奇函数的最值性质,已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.,解析 显然函数f(x)的定义域为R，,g(x)为奇函数， 由奇函数图像的对称性知g(x)maxg(x)min0， Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2. 答案 2,类型2 抽象函数的周期性,(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中
16、一个周期T2a.,(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.,【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 017)f(2 018)( ) A.3 B.2 C.1 D.0,解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(2 017)f(2 017)， 因为当x0时，有f(x3)f(x)， 所以f(x6)f(x3)f(x)， 即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次. 又当x(0，3)时，f(x)x1， f(2 017)f(33661)f(1)2，f(2
17、018)f(33662)f(2)3. 故f(2 017)f(2 018)f(2 017)31. 答案 C,类型3 抽象函数的对称性,已知函数f(x)是定义在R上的函数.,(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图像关于点(a，0)对称.,【例3】 (2018日照调研)函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图像关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_.,解析 因为函数yf(x1)的图像关于点(1，0)对称， 所以函数yf(x)的图像关于原点对称， 所以f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)， 所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4. 所以f(2 017)f(50441)f(1)4， 所以f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)f(2 014)f(2 014)0， 所以f(2 016)f(2 017)f(2 018)4. 答案 4,
