1、 高三学生“线上教育”学习情况调查高三学生“线上教育”学习情况调查 高高 中中 数数 学学 20203 注意事项：注意事项：1本试卷共 160 分，考试时间 120 分钟； 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3答题时必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写，作图可用 2B 铅笔 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分把答案填写在答题卷相应位置上分把答案填写在答题卷相应位置上 1已知集合，则=. 2某校高一、高二、高三学生数之比为 2：3：4，现用分层抽样方法抽取位同学参加志愿服务， 其中高三年级抽取了
2、12 位同学，则=. 3有 4 件产品，其中 1 件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两 件产品均为正品的概率是. 4若执行右面的程序框图，则输出的 k 值是. 5复数 2019 1i i z + =（其中 i 是虚数单位）的虚部是. 6已知，且，则. 7我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红 光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座 7 层塔 共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有盏灯. 8. 双曲线的渐近线与抛物线 2 2(0)ypx p=的两个交点(原点除外) 连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率
3、为. 9. 四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA=2，则四棱锥的 侧面积是. 10.已知正项数列的前 项和为，且，则. 11. 已知函数，若 1 ( ( ) 2 f f x=，则 x. 31nn=+ 开始开始 n=3，k=0 n 为偶数为偶数 n=8 输出输出 k 结束结束 k=k+1 是是 否否 是是 否否 2 n n = 12.若对于给定的正实数正实数 k，函数 f(x) k x 的图象上总存在点 C，使得以 C 为圆心，1 为半径的圆上有 两个不同的点到原点 O 的距离为 2，则 k 的取值范围是. 13.已知平面四边形 ABCD 中，则
4、BC=. 14.设函数（aR）的两个极值点分别为，若 2 2e e1 a -2 恒成立，则实数 a 的取值范围是. 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，点 分别为中点. （1）求证：平面； （2）求证：EF平面 1 B AF. C1 B1 A1 D E F B A C 16. (本小题满分 14 分) 在ABC中，角ABC、 、的对边分别为a，b，c，
5、已知 1 3 cC=， （1）若ABC的面积为 3 4 ，求a，b； （2）若sin26sincosBAB=，求ABC的面积 17. (本小题满分 15 分) 江南某湿地公园内有一个以O为圆心，半径为20米的圆形湖心洲.该湖心洲的所对两岸近似两 条平行线 21,l l，且两平行线之间的距离为70米.公园管理方拟修建一条木栈道,其路线为CBA (如图，A在B右侧）.其中，BC与圆O相切于点Q，, 1 lOA 30OA=米. 设，=CBP 满足 2 0 . （1）试将木栈道 A-B-C 的总长表示成关于的函数)(L，并指出其定义域； （2）求木栈道 A-B-C 总长的最短长度. 18. (本小题满
6、分 15 分) 已知椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，过椭圆 C 上 一点的直线与椭圆交于两点（均不在坐标轴上） ，设为坐 标原点，过的射线 OP 与椭圆交于点. （1）若，求实数 的值； （2）当为时，若四边形的面积为，试求直线 的方程. l2 l1 C B AP O Q 19. (本小题满分 16 分) 构造数组，规则如下：第一组是两个 1，即，第二组是，第三组是 ， ， 在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的 倍得到下一组， 其中设第 组中有个数，且这个数的和为(n N). （1）直接写出与的关系式，并求和； （2）已知， 1 1 , 1 1 , 1 n n n n a b n
7、S + = 为奇数 为偶数 ，是数列的前项和，是数列的前 项 和.若对任意n N，求所有满足条件的正整数 的值. 20. (本小题满分 16 分) 已知函数，( )exg x =. （1）设, 当1a =时，求曲线在点处的切线方程； 当0a 时，求证： 2 ( ) e F x 对任意(0,)x+恒成立. （2）讨论的极值点个数. 高三学生“线上教育”学习情况调查高三学生“线上教育”学习情况调查 高高中中数学参考答案数学参考答案 20203 一、填空题： 1 2. 27 3. 1 2 4. 4 5. -1 6. 5 12 7. 3 8. 5 9. 44 2 10. 4041 11. 3 12.
8、（0， 9 2 ） 13. 4 14. 1 e e a 二、解答题： 15解： （1）连，三棱柱中，侧面是平行四边形， 因平行四边形对角线互相平分，是中点，是中点， 2 分 又是中点，,平面,平面, 平面. 6 分 （2）为等腰直角三角形，又是中点， 直三棱柱知平面，平面， 8 分 ，平面，平面, 平面，. 10 分 直三棱柱知平面，平面， ，侧面是平行四边形，矩形， 又由为等腰直角三角形，且，可知, 又是中点，是中点，易证， 得, ，又， . 12 分 又, 平面，平面. 14 分 16解： （1）， 2 分 由， 4 分 解得. 6 分 （2）2sincos6sincosBBAB，所以2c
9、os(sin3sin)0BBA， 或sin3sinBA. 8 分 当时， 又 1 3 cC，； 10 分 当sin3sinBA时，由知3ba， 又 2222 2cos71cababCa，又， 7 7 a， 3 7 7 b ， 12 分 1173 733 3 sin 2277228 ABC SabC . 13 分 所以三角形的面积为 3 6 或 3 3 28 . 14 分 17解：过 Q 向分别向 AO 和 1 l作垂线，垂足为 H 和 M . 由题意可得，QOH，所以.cos20,sin20OHQH 则cos2030 MQAH,在直角三角形BMQ中， tan cos20-30 tan QM B
10、M. 2 分 所以 tan cos2030 sin20 BMQHBMAMAB = sin cos30-20 . 4 分 又 sin 70 BC，所以ABBCl sin 70 + sin cos30-20 = sin cos3090 ， （ 2 0 ）. 6 分 因为00BCAB且,则 0sin 3 2 cos ，令 3 2 cos 0 ， 则) 2 ,( 0 .所以定义域为：) 2 ,( 0 . 8 分 （2）由 sin cos30-90 ）（L ，得到L()= 2 sin cos31 30 ，) 2 ,( 0 . 令L()=0，得 3 1 cos.因为 3 2 3 1 ，所以），（ 2 0
11、，其中cos= 3 1 . 10 分 0 + 极小值 所以min 90 10 ( )60 2 1 1 9 L . 14 分 答：A-B-C 总长的最小值是60 2米. 15 分 18解：(1)椭圆 C 的右焦点坐标为，且， 又，解得， 所以椭圆. 2 分 设，则，由 得，又，故. 4 分 (2)设， 由直线过点知 6 分 由得 ， l2 l1 H M C B AP O Q 有. 且，. 8 分 由得， 因为， 所以. 10 分 所以. 化简得， 得， 14 分 由解得. 所以直线 的方程为：. 15 分 19解： （1），n N, ， 是等比数列，首项为 1，公比为 2，； 2 分 ，n N，
12、 4 分 ， 是等比数列，首项为 1，公比为， . 6 分 （2） 1 1 , 2 1 , 2 n n n n b n 为奇数 为偶数 ， 8 分 10 分 因为 1 1 4n 对于一切 * Nn递增，所以 31 11 44n ， 所以， 12 分 若对任意的 * Nn， 则 21 , 32 （， 14 分 所以，解得，又k N，则1 或 2，或 3， 故所有满足条件的正整数k的值为 1 和 2 和 3. 16 分 20解： （1）， 时，1 =0F （），又， 切线方程为. 2 分 即证：对任意， 只需要证：0a 时，对任意恒成立， ，由(2e2e )0 x x 得，且 当时，(2e2e )
13、0 x x ，所以在单调递减； 当时，(2e2e )0 x x ，所以在单调递增； . 4 分 在上单调递增，, 当0a 时，对任意(0,)x成立. 6 分 （2）， 所以只有一个极值点或有三个极值点， 令，当只有一个极值点时，的图象必穿过 轴且只穿过一次， 即为单调减函数或者极值同号， 为单调减函数时， 在 R 上恒成立， 得，. 8 分 极值同号时，设 12 ,x x为极值点，则， =0 有解，得， 且, . 11 分 同理， ， 化简得 ， ，解得，. 所以当时，只有一个极值点； 13 分 当有三个极值点时， 同理可得. 15 分 综上：当时，( )f x有且仅有一个极值点； 当时，( )f x有三个极值点 16 分
