1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2014北京,文1)若集合A=0,1,2,4,B=1,2,3,则AB=().A.0,1,2,3,4B.0,4C.1,2D.3答案:C解析:因为集合A,B中的公共元素为1,2,所以AB=1,2,应选C.2.(2014北京,文2)下列函数中,定义域是R且为增函数的是().A.y=e-xB.y=x3C.y=ln xD.y=|x|答案:B解析:A项,函数y=e-x为R上的减函数;B项,函数y=x3为R上的增函数;C项,函
2、数y=ln x为(0,+)上的增函数;D项,函数y=|x|在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数.故只有B项符合题意,应选B.3.(2014北京,文3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=().A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案:A解析:因为2a=(4,8),b=(-1,1),所以2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故选A.4.(2014北京,文4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.1B.3C.7D.15答案:C解析:开始时k=0,S=0.第一次循环,k=03,S=0+20=1,k=0+1=1,第二次循环,k=13,S
3、=1+21=3,k=1+1=2,第三次循环,k=23,S=3+22=7,k=3.此时不满足条件kb”是“a2b2”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:当a=0,b=-1时,ab成立,但a2=0,b2=1,a2b2不成立,所以“ab”是“a2b2”的不充分条件.反之,当a=-1,b=0时,a2=1,b2=0,即a2b2成立,但ab不成立,所以“ab”是“a2b2”的不必要条件.综上,“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件,应选D.6.(2014北京,文6)已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区
4、间是().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)答案:C解析:由题意知f(1)=61-log21=60,f(2)=62-log22=3-1=20,f(4)=64-log24=32-2=-120.故f(2)f(4)0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为().A.7B.6C.5D.4答案:B解析:因为A(-m,0),B(m,0)(m0),所以使APB=90的点P在以线段AB为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m.而圆C的圆心为C(3,4),半径为1.由题意知点P在圆C上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故m-1|CO|m+1,即m
5、-15m+1,解得4m6.所以m的最大值为6.故选B.8.(2014北京,文8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),右图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为().A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟答案:B解析:由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有0.7=a32+b3+c,0.8=a42+b4+c,0.5=a52+b5+c,解得a=-0.2,b=1.5
6、,c=-2.故p=-0.2t2+1.5t-2,其对称轴方程为t=-1.52(-0.2)=154=3.75.所以当t=3.75时,p取得最大值.故选B.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2014北京,文9)若(x+i)i=-1+2i(xR),则x=.答案:2解析:由已知得xi+i2=-1+2i,即xi=2i,解得x=2.10.(2014北京,文10)设双曲线C的两个焦点为(-2,0),(2,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为.答案:x2-y2=1解析:由题意知双曲线的焦点在x轴上,且c=2,设其方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),又由顶点
7、为(1,0)知a=1,所以b=c2-a2=1.故所求双曲线的方程为x2-y2=1.11.(2014北京,文11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为.答案:22解析:由题中三视图可知,三棱锥的直观图如图所示,其中PA平面ABC,M为AC的中点,且BMAC.故该三棱锥的最长棱为PC.在RtPAC中,PC=PA2+AC2=22+22=22.12.(2014北京,文12)在ABC中,a=1,b=2,cos C=14,则c=;sin A=.答案:2158解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-21214=4,故c=2.所以cos A=b2+c2-a22bc=22
8、+22-12222=78.故sin A=1-cos2A=1-782=158.13.(2014北京,文13)若x,y满足y1,x-y-10,x+y-10,则z=3x+y的最小值为.答案:1解析:如图,作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示),目标函数z=3x+y可化为y=-3x+z,作出直线l0:y=-3x并平移.因为kAB=-1-3,所以当直线过点A时,z取得最小值.由x+y-1=0,y=1,解得A(0,1),所以z的最小值为z=30+1=1.14.(2014北京,文14)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺
9、师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为个工作日.答案:42解析:最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工;最后由工艺师完成原料A的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)(2014北京,文15)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn
10、-an为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.分析:(1)先由等差数列an中的a1,a4求出公差d,即可求其通项an,然后根据b1,b4的值及bn-an为等比数列,从而求出该数列的第1项和第4项,得出其公比,从而写出其通项公式,即可求得bn的通项.(2)根据bn的通项公式的结构特征即可利用分组求和的方法求得bn的前n项和.解:(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=a4-a13=12-33=3.所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).设等比数列bn-an的公比为q,由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8,解得q=2.所以bn-
11、an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).数列3n的前n项和为32n(n+1),数列2n-1的前n项和为11-2n1-2=2n-1.所以,数列bn的前n项和为32n(n+1)+2n-1.16.(本小题满分13分)(2014北京,文16)函数f(x)=3sin2x+6的部分图象如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;(2)求f(x)在区间-2,-12上的最大值和最小值.分析:(1)首先利用公式求得f(x)=3sin2x+6的最小正周期,然后根据图形确定y0,即f(x)的最大值,再根
12、据x0的位置即可求得其取值.(2)先根据x的范围确定2x+6的范围,进而求得f(x)的最值.解:(1)f(x)的最小正周期为.x0=76,y0=3.(2)因为x-2,-12,所以2x+6-56,0.于是,当2x+6=0,即x=-12时,f(x)取得最大值0;当2x+6=-2,即x=-3时,f(x)取得最小值-3.17.(本小题满分14分)(2014北京,文17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.分析:(
13、1)首先利用侧棱垂直于底面得到BB1AB,然后结合已知即可证得AB平面BCC1B1,最后利用面面垂直的判定定理即得结论.(2)取AB的中点G,然后利用三棱柱的性质和三角形中位线性质可得GFEC1,进而转化为C1FEG,最后利用线面平行的判定定理证得结论.(3)先求出ABC的三边长,由已知可得该三棱锥的高等于AA1,然后代入锥体体积公式即得结果.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC.所以BB1AB.又因为ABBC,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,
14、所以FGAC,且FG=12AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=AC2-BC2=3.所以三棱锥E-ABC的体积V=13SABCAA1=1312312=33.18.(本小题满分13分)(2014北京,文18)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:组号分组频数10,2)622,4)834,6)1746,8)2
15、258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)分析:(1)直接根据频率分布表中的数据求出相应事件的频数,然后代入频率公式求值.(2)先根据频率分布表中的数据求出相应范围内的频率,然后根据频率分布直方图中纵轴表示频率组距即可求出a,b的值.(3)根据频率分布直方图数据的分布情况即可估计平均数所在位置.解:
16、(1)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-10100=0.9.从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组4,6)的有17人,频率为0.17,所以a=频率组距=0.172=0.085.课外阅读时间落在组8,10)的有25人,频率为0.25,所以b=频率组距=0.252=0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.19.(本小题满分14分)(2014北京,文19)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)
17、设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出a,c,即可求其离心率e.(2)分别设出A,B两点的坐标,先利用OAOB求出两点坐标之间的关系,然后用相应坐标表示出|AB|2,代入坐标之间的关系,根据代数式的结构特征求其最值.解:(1)由题意,椭圆C的标准方程为x24+y22=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=2.故椭圆C的离心率e=ca=22.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以OAOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y
18、0x0.又x02+2y02=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=x0+2y0x02+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(0x024).因为x022+8x024(00,且g(1)0,即-3t-1时,因为g(-1)=t-70,所以g(x)分别在区间-1,0),0,1)和1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-,0)和(1,+)上单调,所以g(x)分别在区间(-,0)和1,+)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.
