1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文科)第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2014四川,文1)已知集合A=x|(x+1)(x-2)0,集合B为整数集,则AB=()A.-1,0B.0,1C.-2,-1,0,1D.-1,0,1,2答案:D解析:A=x|(x+1)(x-2)0=x|-1x2,AB=AZ=x|-1x2Z=-1,0,1,2,故选D.2.(2014四川,文2)在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这
2、个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是()A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本答案:A解析:由题意知,5 000名居民的阅读时间是总体,200名居民的阅读时间为一个样本;每个居民的阅读时间为个体;200为样本容量;故选A.3.(2014四川,文3)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点()A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度答案:A解析:根据图象的变换规律“左加右减”知,选A.4.(2014四川,文4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是锥
3、体体积公式:V=13Sh,其中S为底面面积,h为高()A.3B.2C.3D.1答案:D解析:由俯视图知该三棱锥的底面积S底=1223=3,由侧视图知该三棱锥的高h=3.所以V三棱锥=13S底h=1333=1,故选D.5.(2014四川,文5)若ab0,cdbcB.adbdD.acb0,cd-d0,-ac-bd,即ac0,acdcbddc,即ad1,所以输出的S的最大值为2.故选C.7.(2014四川,文7)已知b0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c答案:B解析:由log5b=a,得lgblg5=a;由5d=1
4、0,得d=log510=lg10lg5=1lg5,又lg b=c,所以cd=a.故选B.8.(2014四川,文8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m答案:C解析:如图,作ADBC,垂足为D.由题意,得DC=60tan 60=603(m),DB=60tan 15=60tan(45-30)=60tan45-tan301+tan45tan30=601-331+33=(120-603)m.所以BC=DC-DB=603-(120-603)
5、=1203-120=120(3-1)(m),故选C.9.(2014四川,文9)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.5,25B.10,25C.10,45D.25,45答案:B解析:由题意,得A(0,0),B(1,3),因为1m+m(-1)=0,所以两直线垂直,所以点P在以AB为直径的圆上,所以PAPB.所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,设ABP=,则|PA|+|PB|=10sin +10cos =25sin+4.因为|PA|0,|PB|0,所以02.所以10|PA|+|PB|25,故选B
6、.10.(2014四川,文10)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.10答案:B解析:设AB所在直线方程为x=my+t.由x=my+t,y2=x,消去x,得y2-my-t=0.设A(y12,y1),B(y22,y2)(不妨令y10,y20),故y12+y22=m,y1y2=-t.而OAOB=y12y22+y1y2=2.解得y1y2=-2或y1y2=1(舍去).所以-t=-2,即t=2.所以直线AB过定点M(2,0).而SABO=SAMO+SBMO=12|OM|y1
7、-y2|=y1-y2,SAFO=12|OF|y1=1214y1=18y1,故SABO+SAFO=y1-y2+18y1=98y1-y2.由98y1-y2=98y1+(-y2)298y1(-y2)=2982=3,得SABO+SAFO的最小值为3,故选B.第卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014四川,文11)双曲线x24-y2=1的离心率等于.答案:52解析:x24-y2=1,a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,a=2,c=5,e=ca=52.12.(2014四川,文12)复数2-2i1+i=.答案:-2i解析:2-2i1+i=(2-2i)(
8、1-i)(1+i)(1-i)=2(1-i)22=-2i.13.(2014四川,文13)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,f(x)=-4x2+2,-1x0,x,0x1,则f32=.答案:1解析:f(x)的周期为2,f32=f32-2=f-12.又当x-1,0)时,f(x)=-4x2+2,f-12=-4-122+2=1.14.(2014四川,文14)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.答案:2解析:a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b=(m+4,2m+2).又c与a的夹角等于c与b的夹角,cos=co
9、s,ca|c|a|=cb|c|b|,即ca|a|=cb|b|,m+4+4m+45|c|=4m+16+4m+420|c|,5m+85=8m+2020,10m+16=8m+20,m=2.15.(2014四川,文15)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合:对于函数(x),存在一个正数M,使得函数(x)的值域包含于区间-M,M.例如,当1(x)=x3,2(x)=sin x时,1(x)A,2(x)B.现有如下命题:设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)A”的充要条件是“bR,aD,f(a)=b”;若函数f(x)B,则f(x)有最大值和最小值;若函数f(x),g(x
10、)的定义域相同,且f(x)A,g(x)B,则f(x)+g(x)B;若函数f(x)=aln(x+2)+xx2+1(x-2,aR)有最大值,则f(x)B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案:解析:对于,若对任意的bR,都aD使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.反之,f(x)的值域为R,则对任意的bR,都aD使得f(a)=b,故正确.对于,比如对f(x)=sin xx-2,2B,但它无最大值也无最小值.对于,f(x)A,f(x)(-,+).g(x)B,存在正数M使得-Mg(x)M,故f(x)+g(x)(-,+),f(x)+g(x)B,正确.对于,-12xx2+112,当a0或a0时,
11、aln x(-,+),f(x)均无最大值,若f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=xx2+1,f(x)B,故正确.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014四川,文16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.分析:(1)利用列举法分别求出基本事件空间和所求事件包含的基本事件,然后代入古典概型
12、公式求解;注意该题抽取方式为有放回地抽取,故a,b,c可取相同的数字;(2)因为a,b,c不完全相同包含的基本事件较多,故可转化为其对立事件“a,b,c相同”的概率求解.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(
13、3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)=327=19.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P(B)=1-327=89.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为89.17.(本小题满分12分)(2014四川,文17)已知函数f(x)=sin3x+4.(1)求f(x)的单调递
14、增区间;(2)若是第二象限角,f3=45cos+4cos 2,求cos -sin 的值.分析:(1)利用换元法,将3x+4视为整体t,即可将其转化为y=sin t的单调增区间,然后解不等式即得;(2)首先代入f3,然后化简等式,根据sin +cos 是否为0进行分类讨论,即可求得cos -sin 的值.解:(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为-2+2k,2+2k,kZ,由-2+2k3x+42+2k,kZ,得-4+2k3x12+2k3,kZ,所以,函数f(x)的单调递增区间为-4+2k3,12+2k3,kZ.(2)由已知,有sin+4=45cos+4(cos2-sin2),所以,sin
15、cos4+cos sin4=45coscos4-sinsin4(cos2-sin2),即sin +cos =45(cos -sin )2(sin +cos ).当sin +cos =0时,由是第二象限角,知=34+2k,kZ.此时,cos -sin =-2.当sin +cos 0时,有(cos -sin )2=54.由是第二象限角,知cos -sin 0.当n1时,bn+1bn=2an+1-an=2d.所以,数列bn是首项为2a1,公比为2d的等比数列.(2)解:函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-1ln2.由题意
16、,a2-1ln2=2-1ln2.解得a2=2.所以,d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anbn2=n4n.于是,Tn=14+242+343+(n-1)4n-1+n4n,4Tn=142+243+(n-1)4n+n4n+1.因此,Tn-4Tn=4+42+4n-n4n+1=4n+1-43-n4n+1=(1-3n)4n+1-43.所以,Tn=(3n-1)4n+1+49.20.(本小题满分13分)(2014四川,文20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(-2,0),离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆
17、于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.分析:(1)由焦点可求c,然后利用离心率即可求a,再求b,即可求得方程;(2)由题意设T(-3,m),然后利用TFPQ求出PQ的斜率,从而设出直线PQ方程,与椭圆C方程联立后,根据平行四边形OPTQ的性质:对边平行且相等,即可求出m的值,最后将四边形OPTQ的面积转化为OPQ面积的两倍求解.解:(1)由已知可得,ca=63,c=2,所以a=6.又由a2=b2+c2,解得b=2,所以椭圆C的标准方程是x26+y22=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=m-0-3-(-2)=-m.当m0时,直线PQ的斜率k
18、PQ=1m,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得x=my-2,x26+y22=1.消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式=16m2+8(m2+3)0.所以y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3,x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以OP=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以x1+x2=-12m2+3=-3,y1+y2=4mm2+3=m.解得m=1.此时,四边形OPTQ的面积
19、SOPTQ=2SOPQ=212|OF|y1-y2|=24mm2+32-4-2m2+3=23.21.(本小题满分14分)(2014四川,文21)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.718 28为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2a1.分析:(1)先利用求导求出g(x)的解析式,再求出其导函数g(x),根据a的不同取值分类讨论g(x)的符号变化,判断其单调性,从而求其最值;(2)先根据已知分析f(x)在(0,1)上的单调性与零点个数,将其转
20、化为g(x)的零点个数,进而利用(1)中的结论判断a的范围及其零点所在区间,结合函数g(x)在区间端点处的函数值及f(1)=0即可证得结论.解:(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,有g(x)=f(x)=ex-2ax-b.所以g(x)=ex-2a.当x0,1时,g(x)1-2a,e-2a.当a12时,g(x)0,所以g(x)在0,1上单调递增,因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1-b;当ae2时,g(x)0,所以g(x)在0,1上单调递减,因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e-2a-b;当12ae2时,令g(x)=0,得x=ln(2a)(0,1).所以函数g(x)在区间0,
21、ln(2a)上单调递减,在区间(ln(2a),1上单调递增.于是,g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b.综上所述,当a12时,g(x)在0,1上的最小值是g(0)=1-b;当12ae2时,g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b;当ae2时,g(x)在0,1上的最小值是g(1)=e-2a-b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a12时,g(x)在0,1上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当ae2时,g(x)在0,1上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.所以12a0,g(1)=e-2a-b0.由f(1)=0有a+b=e-10,g(1)=1-a0.解得e-2a1.所以,函数f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2a1.
