1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文科)第卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014江西,文1)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=(). A.1B.2C.2D.3答案:C解析:z(1+i)=2i,|z|1+i|=|2i|.|z|2=2.|z|=2.2.(2014江西,文2)设全集为R,集合A=x|x2-90,B=x|-1x5,则A(RB)=().A.(-3,0)B.(-3,-1)C.(-3,-1D.(-3,3)答案:C解析:由已知可得A=x|-3x5,故ARB=x|-3x-
2、1=(-3,-1.3.(2014江西,文3)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于().A.118B.19C.16D.112答案:B解析:掷两颗均匀的骰子,共有36个基本事件,其中和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个.故所求概率为436=19.4.(2014江西,文4)已知函数f(x)=a2x,x0,2-x,xcb2”的充要条件是“ac”C.命题“对任意xR,有x20”的否定是“存在xR,有x20”D.l是一条直线,是两个不同的平面,若l,l,则答案:D解析:对于A项,当ac”推不出“ab2cb2”.对于C项,否定应为存在xR,x20,故C不正确.对于D
3、项,由线面垂直的性质可得成立.故选D.7.(2014江西,文7)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是().表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量答案:D解析:根据2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),代入
4、题中数据计算得D选项2最大.故选D.8.(2014江西,文8)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为().A.7B.9C.10D.11答案:B解析:i=1,S=0,S=0+lg13=lg13,执行“否”:i=3,S=0+lg13+lg35=lg15,执行“否”:i=5,S=lg15+lg57=lg17,执行“否”:i=7,S=lg17+lg79=lg19,执行“否”:i=9,S=lg19+lg911=lg1110还是a0,都有12a在1a与13a之间,而由B中图像可知1a13a0时,可判断得A,C项中图像都有可能.第卷二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.
5、(2014江西,文11)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.答案:(e,e)解析:设切点P的坐标为(x0,y0),由y=xln x,得y=ln x+1,则切线的斜率k=ln x0+1.由已知可得ln x0+1=2.x0=e.y0=x0ln x0=e.切点的坐标为(e,e).12.(2014江西,文12)已知单位向量e1,e2的夹角为,且cos =13,若向量a=3e1-2e2,则|a|=.答案:3解析:由题意知|a|2=a2=(3e1-2e2)2=9e12+4e22-12e1e2=9+4-1213=9.故|a|=3.13.(2014江西,文13)在等差
6、数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.答案:-1,-78解析:由题意知当d0,数列an中所有非负项的和最大.又当且仅当n=8时,Sn取最大值,a80,a90.7+7d0,7+8d0,解得-1db0)的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于.答案:33解析:连接AF1,ODAB,O为F1F2的中点,D为BF1的中点.又ADBF1,|AF1|=|AB|.|AF1|=2|AF2|.设|AF2|=n,则|AF1|=2n,|F1F2|=3n.e=ca=|F1F2|
7、AF1|+|AF2|=3n3n=33.15.(2014江西,文15)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则x+y的取值范围为.答案:0,2解析:|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,当且仅当0x1时取等号,|y|+|y-1|y-(y-1)|=1,当且仅当0y1时取等号,|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2.又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,只有当0x1,0y1时,两式同时成立.0x+y2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014江西,文16)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(
8、2x+)为奇函数,且f4=0,其中aR,(0,).(1)求a,的值.(2)若f4=-25,2,求sin+3的值.分析:(1)由函数f(x)为奇函数,可知函数y=cos(2x+)为奇函数,求出的值,再把x=4代入f(x)中求a的值.(2)由(1)化简f(x),利用f4=-25,求出sin ,进而利用平方关系求出cos ,再用两角和的正弦公式求解.解:(1)因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+)是奇函数,而y1=a+2cos2x为偶函数,所以y2=cos(2x+)为奇函数.又(0,),得=2,所以f(x)=-sin 2x(a+2cos2x),由f4=0得-(a+1)=0,即a=-1.(
9、2)由(1)得,f(x)=-12sin 4x,因为f4=-12sin =-25,即sin =45,又2,从而cos =-35,所以有sin+3=sin cos 3+cos sin 3=4-3310.17.(本小题满分12分)(2014江西,文17)已知数列an的前n项和Sn=3n2-n2,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.分析:(1)利用an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2求出通项公式.(2)运用分析法,寻求使a1,an,am成等比数列时,m,n的关系,分析对n1时,m的值是否为自然数,且mn是否成立,进行证明.(1
10、)解:由Sn=3n2-n2,得a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,所以数列an的通项公式为:an=3n-2.(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要an2=a1am,即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时mN*,且mn.所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.18.(本小题满分12分)(2014江西,文18)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)x,其中a0的解集得递增区间;(2)第一步:计算f(x),并求f(x)=0的x值,得出f(x)的单调性;第二步:f(x)的解析式可化为f(x)=(2x+a)2x,分
11、析出f(x)0且f-a2=0;第三步:结合第一,二步的分析,只需讨论x=-a2与区间1,4的关系,求出f(x)在1,4上的最小值,建立a的方程求解.解:(1)当a=-4时,由f(x)=2(5x-2)(x-2)x=0得x=25或x=2,由f(x)0得x0,25或x(2,+),故函数f(x)的单调递增区间为0,25和(2,+).(2)因为f(x)=(10x+a)(2x+a)2x,a0,由f(x)=0得x=-a10或x=-a2.当x0,-a10时,f(x)单调递增;当x-a10,-a2时,f(x)单调递减,当x-a2,+时,f(x)单调递增,易知f(x)=(2x+a)2x0,且f-a2=0.当-a2
12、1时,即-2a0时,f(x)在1,4上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=22-2,均不符合题意.当1-a24时,即-8a4时,即a-8时,f(x)在1,4上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)单调递减,f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8,符合题意.综上有,a=-10.19.(本小题满分12分)(2014江西,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1BBB1.(1)求证:A1CCC1;(2)若AB=2,AC=3,BC=7,问A
13、A1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大,并求此最大值.分析:(1)证明线线垂直可用线面垂直证明,即用已知的线线垂直证明线面垂直,利用线面垂直的性质得线线垂直.(2)设出变量,建立体积函数求最值.解法一:设A1A=x,求出A1B,A1C的长,利用余弦定理求cosBA1C,sinBA1C,进而得出SA1BC,从而求出体积函数,配方后求出最值.解法二:过A1作BC的垂线A1D,利用线面垂直证明ADBC,设A1A=x,利用等面积法求出AD,再利用勾股定理求出A1D,表示出SA1BC,从而求出体积函数,配方后求出最值.(1)证明:由AA1BC知BB1BC,又BB1A1B,故BB1平面BCA1,
14、即BB1A1C,又BB1CC1,所以A1CCC1.(2)解法一:设AA1=x,在RtA1BB1中,A1B=A1B12-BB12=4-x2,同理,A1C=A1C12-CC12=3-x2.在A1BC中,cosBA1C=A1B2+A1C2-BC22A1BA1C=-x2(4-x2)(3-x2),sinBA1C=12-7x2(4-x2)(3-x2),所以SA1BC=12A1BA1CsinBA1C=12-7x22.从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S直l=SA1BCAA1=x12-7x22.因x12-7x2=12x2-7x4=-7x2-672+367,故当x=67=427时,即AA1=427时,体积
15、V取到最大值377.解法二:过A1作BC的垂线,垂足为D,连接AD.由AA1BC,A1DBC,故BC平面AA1D,BCAD.又BAC=90,所以SABC=12ADBC=12ABAC得AD=2217.设AA1=x,在RtAA1D中,A1D=AD2-AA12=127-x2,SA1BC=12A1DBC=12-7x22.从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S直l=SA1BCAA1=x12-7x22.因x12-7x2=12x2-7x4=-7x2-672+367,故当x=67=427时,即AA1=427时,体积V取到最大值377.20.(本小题满分13分)(2014江西,文20)如图,已知抛物线C:x
16、2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.分析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),设出AB的直线方程,与抛物线方程x2=4y联立求出x1x2,利用A,B坐标写出AO与BD的直线方程,解出点D的坐标,消去参数x1,x2,y1,y2即可.(2)设出切线l的方程,利用直线与抛物线相切,简化l的方程,进而求出N1与N2的坐标,代入|MN2|2
17、-|MN1|2中化简即可.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=y1x1x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为x=x2,y=y1x2x1,注意到x1x2=-8及x12=4y1,则有y=y1x1x2x12=-8y14y1=-2.因此D点在定直线y=-2上(x0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化
18、简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N12a+a,2,N2-2a+a,-2.则|MN2|2-|MN1|2=2a-a2+42-2a+a2=8,即|MN2|2-|MN1|2为定值8.21.(本小题满分14分)(2014江西,文21)将连续正整数1,2,n(nN*)从小到大排列构成一个数123n,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g(
19、n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S=n|h(n)=1,n100,nN*,求当nS时p(n)的最大值.分析:(1)由题意先将1100按序排好,确定1位数,2位数和3位数的个数,即可求得F(100),再求出含有0的个数m,则p(100)=mF(100);(2)因为F(n)由这些数的位数确定,故要依据n的位数进行分类讨论,将F(n)表示成分段函数;(3)要根据n的位数不同分别确定这些数字中含0与9的个数,然后求和即得g(n),f(n).再由h(n)=1,即f(n)-g(n)=1确定n的取值,从而得出p(n)的表达式,最后利用p(n)的单调性求
20、解其最值.解:(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=11192;(2)F(n)=n,1n9,2n-9,10n99,3n-108,100n999,4n-1 107,1 000n2 014.(3)当n=b(1b9,bN*),g(n)=0;当n=10k+b(1k9,0b9,kN*,bN)时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)=0,1n9,k,n=10k+b,1k9,0b9,kN*,bN,11,n=100.同理有f(n)=0,1n8,k,n=10k+b-1,1k8,0b9,kN*,bN.n-80,89n98,20,n=99,100.由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n100时,S=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,当n=9时,p(9)=0,当n=90时,p(90)=g(90)F(90)=9171=119.当n=10k+9(1k8,kN*)时,p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9,由y=k20k+9关于k单调递增,故当n=10k+9(1k8,kN*)时,p(n)的最大值为p(89)=8169,又8169119,所以当nS时,p(n)的最大值为119.
