1、2016年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学1.(2016山东,文1)设集合U=1,2,3,4,5,6,A=1,3,5,B=3,4,5,则U(AB)=() A.2,6B.3,6C.1,3,4,5D.1,2,4,6答案A由已知可得AB=1,3,4,5,故U(AB)=2,6.2.(2016山东,文2)若复数z=21-i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案Bz=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,故z=1-i.3.(2016山东,文3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范
2、围是17.5,30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B.60C.120D.140答案D由频率分布直方图可知,这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)2.5=0.7,故该区间内的人数为2000.7=140.故选D.4.(2016山东,文4)若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),设可行域内任一点
3、P(x,y),则x2+y2的几何意义为|OP|2.显然,当P与A重合时,取得最大值.由x+y=2,2x-3y=9,解得A(3,-1).所以x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.5.(2016山东,文5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示,则该几何体的体积为()A.13+23B.13+23C.13+26D.1+26答案C由三视图可知,四棱锥为底面边长为1的正方形,高为1.其体积V1=13121=13.设球的半径为R,因为四棱锥的底面是半球底面的内接正方形,故2R=2,即R=22.所以半球的体积为V2=1243R3=1243223=26.故该几何体的体积为V=V1+V
4、2=13+26.故选C.6.(2016山东,文6)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A若直线a,b相交,设交点为P,则Pa,Pb.又因为a,b,所以P,P.故,相交.反之,若,相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,则有ab.显然a,b可能相交,也可能异面或平行.综上,“直线a,b相交”是“平面,相交”的充分不必要条件.7.(2016山东,文7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是22.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1
5、)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案B圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=|0+a|12+12=22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2R2-d2=2a2-22a2=2a,由题意可得2a=22,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,显然R-r|MN|R+r,所以两圆相交.8.(2016山东,文8)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()A.34B.3C.4D.6答案C由余弦定理可得
6、a2=b2+c2-2bccos A,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A).由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,因为A(0,),所以A=4.9.(2016山东,文9)已知函数f(x)的定义域为R.当x12时,fx+12=fx-12,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D由题意可知,当-1x1时,f(x)为奇函数;当x12时,由fx+12=fx-12可得f(x+1)=f(x).所以f(6)=f(51+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2.所以f(6)=2.故选D.10.(2016山东,文1
7、0)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2).则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f(x1),k2=f(x2),若函数具有T性质,则k1k2=f(x1)f(x2)=-1.A项,f(x)=cos x,显然k1k2=cos x1cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B项,f(x)=1x(x0),显然k1k2=1x11x2=-1无解,故该函数不具有性质T;C项,f(x)=ex
8、0,显然k1k2=ex1ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;D项,f(x)=3x20,显然k1k2=3x123x22=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.11.(2016山东,文11)执行下边的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S的值为.答案1解析开始:i=1,S=0,第一次运算:S=0+1+1-1=2-1,显然13不成立,所以i=1+1=2;第二次运算:S=(2-1)+2+1-2=3-1,显然23不成立,所以i=2+1=3;第三次运算:S=(3-1)+3+1-3=2-1=1,因为33成立,所以输出S=1.12.(2016山东,文12)观察下列等式:sin3-2+sin23-2=
9、4312;sin5-2+sin25-2+sin35-2+sin45-2=4323;sin7-2+sin27-2+sin37-2+sin67-2=4334;sin9-2+sin29-2+sin39-2+sin89-2=4345;照此规律:sin2n+1-2+sin22n+1-2+sin32n+1-2+sin2n2n+1-2=.答案43n(n+1)解析由等式可知,等式右边共三个数相乘,第一个数都是43;而所给等式就是第n个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n;第三个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.所以第n个式子等号右边为43n(n+1).13.(2016山东,文13)已知
10、向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为.答案-5解析由a(ta+b)可得a(ta+b)=0,所以ta2+ab=0,而a2=12+(-1)2=2,ab=16+(-1)(-4)=10,所以有t2+10=0,解得t=-5.14.(2016山东,文14)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在RtBMN中,MN=2,故BN=BM2+MN2=322+22=52.由双曲线的
11、定义可得2a=BN-BM=52-32=1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e=2c2a=2.15.(2016山东,文15)已知函数f(x)=|x|,xm,x2-2mx+4m,xm,其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+)解析当xm时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m2).函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m).(分类讨论)(1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m2m,也就是m(m-3)0时,解得0m3,又因为m0,所以0m3.此时函数的图象如图所示
12、(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多只有两个交点,不合题意;(2)点P在点Q的下方时,即4m-m20时,解得m3,又因为m0,所以m3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多可有三个交点,符合题意.所以m3.16.(2016山东,文16)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求
13、小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间与点集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应.因为S中元素的个数是44=16,所以基本事件总数n=16.(1)记“xy3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy8”为事件B,“3xy516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.17.(2016山东,文17)设f(x)=23sin(-x)sin x-(sin
14、x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g6的值.解(1)由f(x)=23sin(-x)sin x-(sin x-cos x)2=23sin2x-(1-2sin xcos x)=3(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x-3cos 2x+3-1=2sin2x-3+3-1,由2k-22x-32k+2(kZ),得k-12xk+512(kZ),所以f(x)的单调递增区间是k-12,k+512(kZ)或k-12,k+512(kZ).(2)由(1
15、)知f(x)=2sin2x-3+3-1,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sinx-3+3-1的图象,再把得到的图象向左平移3个单位,得到y=2sin x+3-1的图象,即g(x)=2sin x+3-1.所以g6=2sin6+3-1=3.18.(2016山东,文18)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:ACFB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.证明(1)因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDAC
16、.又BDDE=D,所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF,所以ACFB.(2)设FC的中点为I,连接GI,HI.在CEF中,因为G是CE的中点,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.19.(2016山东,文19)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn=(an+1)n+1(bn+2)n,求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,
17、a1=S1=11,符合上式.所以an=6n+5.设数列bn的公差为d.由a1=b1+b2,a2=b2+b3,即11=2b1+d,17=2b1+3d,可解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)2n+1.又Tn=c1+c2+cn,得Tn=3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+(n+1)2n+2,两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=34+4(1-2n)1-2-(n+1)2n+2=-3n2n+2,所以Tn=3n2n+2.20.(2016山东,文20)设f(x)=xln x
18、-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.解(1)由f(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+).则g(x)=1x-2a=1-2axx,当a0时,x(0,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当a0时,x0,12a时,g(x)0,函数g(x)单调递增,x12a,+时,函数g(x)单调递减.所以当a0时,g(x)的单调增区间为(0,+);当a0时,g(x)单调增区间为0,12a,单调减区间为12a,+.(2)由(1)知,f(1)=0.当a0时,f(x)单
19、调递增,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0a1,由(1)知f(x)在0,12a内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减,在1,12a内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=12时,12a=1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a12时,012a0,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x)12.21.(2016山东,文21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为4,
20、焦距为22.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.设直线PM,QM的斜率分别为k,k,证明kk为定值;求直线AB的斜率的最小值.解(1)设椭圆的半焦距为c.由题意知2a=4,2c=22,所以a=2,b=a2-c2=2.所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)设P(x0,y0)(x00,y00).由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线PM的斜率k=2m-mx0=mx0,直线QM的斜率k=-2m-mx0=-3mx0.此时kk
21、=-3.所以kk为定值-3.设A(x1,y1),B(x2,y2).直线PA的方程为y=kx+m,直线QB的方程为y=-3kx+m.联立y=kx+m,x24+y22=1,整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由x0x1=2m2-42k2+1,可得x1=2(m2-2)(2k2+1)x0,所以y1=kx1+m=2k(m2-2)(2k2+1)x0+m,同理x2=2(m2-2)(18k2+1)x0,y2=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m.所以x2-x1=2(m2-2)(18k2+1)x0-2(m2-2)(2k2+1)x0=-32k2(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,y2-y1=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m-2k(m2-2)(2k2+1)x0-m=-8k(6k2+1)(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,所以kAB=y2-y1x2-x1=6k2+14k=146k+1k.由m0,x00,可知k0,所以6k+1k26,等号当且仅当k=66时取得.此时m4-8m2=66,即m=147,符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为62.
