1、绝密 启用前试卷类型:A2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷2,理)本试卷共23题,共150分,共5页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字迹工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题
2、:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.1+2i1-2i=A.-45-35iB.-45+35iC.-35-45iD.-35+45i2.已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f(x)=ex-e-xx2的图像大致为4.已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=A.4B.3C.2D.05.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x6.在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,
3、则AB=A.42B.30C.29D.257.为计算S=1-12+13-14+199-1100,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A.112B.114C.115D.1189.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A.15B.56C.55D.2210.若f(x)=cos
4、 x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是A.4B.2C.34D.11.已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=A.-50B.0C.2D.5012.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为A.23B.12C.13D.14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.14.若x,y满足约束条件x+2y
5、-50,x-2y+30,x-50.则z=x+y的最大值为.15.已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为515.则该圆锥的侧面积为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.18.(12分)下图是某
6、地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.19.(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8
7、.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.20.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.21.(12分)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1;(2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方
8、程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.23.选修4-5:不等式选讲(10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.数学(全国卷2,理)1.D1+2i1-2i=(1+2i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=1-4+4i5=-35+45i.2.A当x=-1时,y=0或y=1或y=-1,当x=0时,y=1或y=-1或y=0,当x=1时,y=0或y=
9、1或y=-1.故集合A中共有9个元素.3.Bf(-x)=e-x-exx2=-f(x),f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=e10-1e101001,排除C、D,故选B.4.Ba(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.5.Ae=ca=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=2x.6.Acos C=2cos2C2-1=-35,AB2=BC2+AC2-2BCACcos C=1+25+21535=32.AB=42.7.B由于N=0,T=0,i=1,N=0+11=1,T=0+11+1=12,i=3,N=1+
10、13,T=12+14,i=5最后输出S=N-T=1-12+13-14+199-1100,一次处理1i与1i+1两项,故i=i+2.8.C不超过30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10个.其中和为30的有7+23,11+19,13+17共3种情况,故P=3C102=115.9.C以DA,DC,DD1为轴建立空间直角坐标系如图,则D1(0,0,3),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,3).AD1=(-1,0,3),DB1=(1,1,3).设异面直线AD1与DB1所成的角为.cos =AD1DB1|AD1|DB1|=225=55.异面直线AD1与DB1
11、所成角的余弦值为55.10.Af(x)=2cos x+4,图象如图所示,要使f(x)在-a,a为减函数,a最大为4.11.Cf(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.12.DA(-a,0),PF1F2为等腰三角形,|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PE
12、x轴,F1F2P=120,PF2E=60.F2E=c,PE=3c,P(2c,3c).kPA=36,PA所在直线方程为y=36(x+a).3c=36(2c+a).e=ca=14.13.y=2xy=2x+1,当x=0时,y=2,曲线在(0,0)处的切线方程为y=2x.14.9由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9.15.-12(sin +cos )2+(cos +sin )2=1,sin2+cos2+cos2+sin2+2sin cos +2sin cos =1+1+2sin(+)=1.sin(+)=-12.16.402设O为底面圆圆心,cosAS
13、B=78,sinASB=1-782=158.SASB=12|AS|BS|158=515.SA2=80.SA=45.SA与圆锥底面所成的角为45,SOA=90.SO=OA=22SA=210.S圆锥侧=rl=45210=402.17.解 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.18.解 (1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元).利用模型,该地区2018年的环
14、境基础设施投资额的预测值为y=99+17.59=256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础
15、设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)19.解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4
16、k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20.解 (1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且O
17、BAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)如图,以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,23).取平面PAC的法向量OB=(2,0,0),设M(a,2-a,0)(0a2),则AM=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由APn=0,AMn=0得2y+23z=9,ax+(4-a)y=0.可取n=(3(a-4),3a,-a),所以cos=23(a-4)23(a-4
18、)2+3a2+a2.由已知可得|cos|=32.所以23|a-4|23(a-4)2+3a2+a2=32,解得a=-4(舍去),a=43.所以n=-833,433,-43.又PC=(0,2,-23),所以cos=34.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.21.解 (1)当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x1时,g(x)0,h(x)没有零点;(ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调
19、递增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在0,+)的最小值.若h(2)0,即ae24,h(x)在(0,+)没有零点;若h(2)=0,即a=e24,h(x)在(0,+)只有一个零点;若h(2)e24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)21-16a3(2a)4=1-1a0.故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+)有两个零点.综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=e24.22.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为
20、y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0,因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.23.解 (1)当a=1时,f(x)=2x+4,x-1,2,-12.可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).
