1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2017山东,文1)设集合M=x|x-1|1,N=x|x2,则MN=() A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)解析由|x-1|1,得-1x-11,即0x2.所以M=x|0x2,所以MN=(0,2).答案C2.(2017山东,文2)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=()A.-2iB.2iC.-2D.2解析(方法一)z=1+ii=1+1i=1-i,z2=(1-i)2=1-2i+
2、i2=-2i.(方法二)由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,即-z2=2i.所以z2=-2i.答案A3.(2017山东,文3)已知x,y满足约束条件x-2y+50,x+30,y2,则z=x+2y的最大值是()A.-3B.-1C.1D.3解析可行域为如图所示阴影部分(包括边界).把z=x+2y变形为y=-12x+12z,作直线l0:y=-12x并向上平移,当直线过点A时,z取最大值,易求点A的坐标为(-1,2),所以zmax=-1+22=3.答案D4.(2017山东,文4)已知cos x=34,则cos 2x=()A.-14B.14C.-18D.18解析cos 2x=2cos2x-1=2
3、342-1=18.答案D5.(2017山东,文5)已知命题p:xR,x2-x+10;命题q:若a2b2,则ab.下列命题为真命题的是A.pqB.pqC.pqD.pq解析当x=0时,x2-x+1=10,故命题p为真命题.取a=1,b=-2,则a2b,故命题q为假命题,所以pq为真命题.答案B6.(2017山东,文6)执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为()A.x3B.x4C.x4D.x5解析因为输入的x的值为4,输出的y的值为2,所以程序运行y=l
4、og24=2.故x=4不满足判断框中的条件,所以空白判断框中应填x4.答案B7.(2017山东,文7)函数y=3sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A.2B.23C.D.2解析因为y=3sin 2x+cos 2x=232sin2x+12cos2x=2sin2x+6,所以其最小正周期T=22=.答案C8.(2017山东,文8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为()A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7解析甲组数据为56,62,65,70+x,74;乙组数据为59,61,67,60+y,78.
5、若两组数据的中位数相等,则65=60+y,所以y=5.又两组数据的平均值相等,所以56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得x=3.答案A9.(2017山东,文9)设f(x)=x,0x1,2(x-1),x1.若f(a)=f(a+1),则f1a=()A.2B.4C.6D.8解析f(x)的图象如图所示.又f(a)=f(a+1),所以0a1,a=2(a+1-1),所以a=14.所以f1a=f(4)=2(4-1)=6.答案C10.(2017山东,文10)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数
6、中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x解析A项,令g(x)=ex2-x,则g(x)=e2x,因为e21,所以g(x)在R上单调递增,具有M性质;B项,令g(x)=exx2,则g(x)=ex(x2+2x)=x(x+2)ex,令g(x)=0,得x1=0,x2=-2,g(x)在(-,-2),(0,+)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,不具有M性质;C项,令g(x)=ex3-x,则g(x)=e3x,因为0e30,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.解析直线xa+yb=1过点(1,2),1a+2b=1.a0,b0,2a+b=(2
7、a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8.当且仅当b=2a时“=”成立.答案813.(2017山东,文13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为.解析由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积V=211+214121=2+2.答案2+214.(2017山东,文14)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)=.解析由f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,其周期T=6.又f(x)为偶函数,所以f(919)=f(1536+1)=f(1)=f(-1)=61=6.
8、答案615.(2017山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.解析抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以该
9、双曲线的渐近线方程为y=22x.答案y=22x三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(2017山东,文16)(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,
10、B1,B2,B1,B3,B2,B3,共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3个,则所求事件的概率为P=315=15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2个,则所求事件的概率为P=29.17.(2017山东,文17)(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,S
11、ABC=3,求A和a.解因为ABAC=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A0,解得:a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知:S2n+1=(2n+1)(b1+b2n+1)2=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1.令cn=bnan,则cn=2n+12n,因此Tn=c1+c2+cn=32+522+723+2n-12n-1+2n+12n.又12Tn=322+523+724+2n-12n+2n+12n+1,两式相减得12Tn=32+12+122+12n-1-2n+12n+1,所以Tn=5
12、-2n+52n.20.(2017山东,文20)(本小题满分13分)已知函数f(x)=13x3-12ax2,aR.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解(1)由题意f(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f(x)=x2-2x,所以f(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g(x)=f(x)+cos x-(x
13、-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x).令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-16a3-sin a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.当a=0时,g(x)=x(x-sin x),当x(-,+
14、)时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x)当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-16a3-sin a.综上所述:当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-16a3-sin a.21.(2017山东
15、,文21)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为22.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m(m0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.解(1)由椭圆的离心率为22,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-a2b2,得a2-a2b2=2,所以a2=4,b2=2.因此椭圆方程为x24+y22=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程y=kx+m,x2+2y2=4,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由0得m20,从而y=t+1t在3,+)上单调递增,因此t+1t103,等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,所以|ND|2|NF|21+3=4,由(*)得-2m2且m0.故|NF|ND|12.设EDF=2,则sin =|NF|ND|12.所以的最小值为6,从而EDF的最小值为3,此时直线l的斜率是0.综上所述,当k=0,m(-2,0)(0,2)时,EDF取到最小值3.
