1、绝密 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷,文)本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合A=x|x|2,B=-2,0,1,2,则AB=A.0,1B.-1,0,1C.-2,0,1,2D.-1,0,1,22.在复平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图,输出的s值为A.12B.56C.76
2、D.7124.设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A.32fB.322fC.1225fD.1227f6.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.47.在
3、平面直角坐标系中,AB,CD,EF,GH是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角以Ox为始边,OP为终边.若tan cos 4,x-ay2,则A.对任意实数a,(2,1)AB.对任意实数a,(2,1)AC.当且仅当ab,则1a0)的离心率为52,则a=.13.若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是.14.若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca的取值范围是.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题13分)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求an的通项公式;(2)求ea
4、1+ea2+ean.16.(本小题13分)已知函数f(x)=sin2x+3sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-3,m上的最大值为32,求m的最小值.17.(本小题13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)
5、电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)18.(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD.19.(本小题13分)设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2,
6、f(2)处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.20.(本小题14分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q-74,14共线,求k.(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)数学(北京卷,文)1.AA=x|x|2=x|-2xsin ,排除A;若P在CD上,则tan sin ,排除B;若P在GH上,则tan 0
7、,cos 0,sin 4,2-a2,化简,得a32,a0.所以a32.所以当且仅当a32时,(2,1)A,故选D.9.-1由题意,得ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m).a(ma-b),a(ma-b)=0,即m+1=0,m=-1.10.(1,0)由x=1,y2=4ax,得y=2a.由题意知4a=4,a=1.抛物线方程为y2=4x,焦点坐标为(1,0).11.2,-3(答案不唯一)易知当a0b时,“若ab,则1a2,0A6.由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin23-AsinA=sin23cosA-cos23sinAsinA=32tanA+12.0A3233+12,即ca(
8、2,+).15.解 (1)设等差数列an的公差为d,a2+a3=5ln 2.2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,d=ln 2.an=a1+(n-1)d=nln 2.(2)由(1)知an=nln 2.ean=enln 2=eln 2n=2n,ean是以2为首项,2为公比的等比数列.ea1+ea2+ean=2+22+2n=2n+1-2.ea1+ea2+ean=2n+1-2.16.解 (1)因为f(x)=1-cos2x2+32sin 2x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-6+12,所以f(x)的最小正周期为T=22=.(2)由(1)知f(x)=sin2x-6+12.因为
9、x-3,m,所以2x-6-56,2m-6.要使f(x)在-3,m上的最大值为32,即y=sin2x-6在-3,m上的最大值为1.所以2m-62,即m3.所以m的最小值为3.17.解 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000.第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50,故所求概率为502 000=0.025.(2)(方法一)由题意知,样本中获得好评的电影部数是1400.4+500.2+3000.15+2000.25+8000.2+5100.1=56+10+45+50+160+51=372.故估计所求概率为1-3722 000=0.81
10、4.(方法二)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1 628(部).由古典概型概率公式,得P(B)=1 6282 000=0.814.(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.18.证明 (1)PA=PD,且E为AD的中点,PEAD.底面ABCD为矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD为矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD
11、平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.F,G分别为PB和PC的中点,FGBC,且FG=12BC.四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,EDBC,ED=12BC,EDFG,且ED=FG,四边形EFGD为平行四边形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.19.解 (1)因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex,所以f(x)=ax2-(a+1)x+1ex.所以f(2)=(2a-1)e2.由题设知f(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12.(2)(方法一)由(1)得f(x)=ax2-(a+1)x+1ex=
12、(ax-1)(x-1)ex.若a1,则当x1a,1时,f(x)0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a1,则当x(0,1)时,ax-1x-10.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+).(方法二)由(1)得f(x)=(ax-1)(x-1)ex.当a=0时,令f(x)=0,得x=1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-,1)1(1,+)f(x)+0-f(x)极大值f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当a0时,令f(x)=0,得x1=1a,x2=1.当x1=x2,即a=1时,f(x)=(x-1)2ex0,f(x)在R上单调递增,f(x)无极值,不合题意.当x
13、1x2,即0a1时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-,1)11,1a1a1a,+f(x)+0-0+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当x11时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x-,1a1a1a,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极小值,即a1满足题意.当a0,即m24.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=64-m22,易得当m2=0时,|AB|max=6,故|AB|的最大值为6.(
14、3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则x12+3y12=3,x22+3y22=3.又P(-2,0),所以可设k1=kPA=y1x1+2,直线PA的方程为y=k1(x+2).由y=k1(x+2),x23+y2=1消去y可得(1+3k12)x2+12k12x+12k12-3=0,则x1+x3=-12k121+3k12,即x3=-12k121+3k12-x1.又k1=y1x1+2,代入上式可得x3=-7x1-124x1+7,所以y3=y14x1+7,所以C-7x1-124x1+7,y14x1+7.同理可得D-7x2-124x2+7,y24x2+7.故QC=x3+74,y3-14,QD=x4+74,y4-14.因为Q,C,D三点共线,所以x3+74y4-14-x4+74y3-14=0.将点C,D的坐标代入化简可得y1-y2x1-x2=1,即k=1.
