1、1.1.1正弦定理复习三角形中的边角关系1、角的关系2、边的关系3、边角关系180 CBAcbacba ,大角对大边，小边对小角（一）三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）1、角的关系2、边的关系3、边角关系90 BA222cba sinsinsinabcABC探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？正弦定理及其应用1、正弦定理形式的提出abc=2RsinAsinBsinC 的外接圆的半径的外接圆的半径是是 ABCR 正弦定理的推导：ABDC .ObacsinsinsinabcABC=2R(R为ABC外接圆半径）证明：如图，圆 O为ABC的外接圆，BD为直径,
2、则 A=D,2;sinsinsin90aaBDRAD2,2;sinsinbcRRBC同理，sinsinsinabcABC=2R(R为ABC外接圆半径）CcBbAaaBCbACcABsinsinsin,ABC求证：，已知证明：.AB j BC j AC j的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与则垂直，与作单位向量过AB jAA90B9090jBACacbBaAbsinsinBbAasinsinBCABAC又BCjABjBCABjACj)(cos(90)0cos(90)j ACAj BCB jBACacb.sinsinsin.sinsinBCjBCcBbAaCcBb，垂直于作单位向量同理可证：过ABC
3、j类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立YX2、正弦定理的向量证明BAC想一想：如何用向量法证明正弦定理？BA在Y轴上的投影为CA在Y轴上的投影为BA sinB=CA sinC BACA=sinCsinBabc=sinAsinBsinC同同理理可可得得|BA|cos(90o-B)=|BA|sinB|CA|cos(90o-C)=|CA|sinCabc=2RsinAsinBsinC正正弦弦定定理理：公式变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabcsinA=,sinB=sinC=2R2R2R，a:b:c=sinA:sinB:sinC利用正弦定理可以实现边角互化，可
4、以解决以下两类问题：1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。AAS2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。SSA(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)(1),sinsinABCABabAB中111(2)sinsinsin222SabCbcAacB22sinsinsin(4RABCabcRABCR为外接圆的半径）1()(2r abc rABC为内切圆的半径）例1.在ABC中，已知c=10，A=45o，C=30o，求a,b和B.例2.在ABC中，已知 c=1,求a,A,C.3,60,bB例3.在ABC中，已知 a=2,求b和B,C.6,45,cA随堂练习1、正弦定理适用的范围
5、是A、直角三角形 B、锐角三角形C、钝角三角形 D、任意三角形D2ABCa=8,B=60,C=75,b=32 A 4 2 B 4 3 C 4 6 D3、在在中中，已已知知那那么么、C3ABCa=2 3,b=2 2,B=45,A=A 60120 B 60 C 30150 D 30 、在在中中，已已知知那那么么、或或、或或、AoABCa=3,b=2,B=45,例例：在在中中，已已知知解解此此三三角角形形。解：由正弦定理：ab323=sinA=.sinAsinBsinAsin452 A=60120 或或A=60C=75 A=120C=15 bc2c6+2=c=2sin75=.sinBsinCsin4
6、5sin752 bc2c6-2=c=2sin15=.sinBsinCsin45sin152 为什么有两解的情况？A是锐角时知识归纳已知两角及一边解三角形一定只有一解。已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、baACBabsinA时若ba时两解，ba时一解BaA为直角或钝角时abABCabABCab时有一解，一解或两解。ab时无解。4、在ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的_条件。A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、不充分也不必要C5、在ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是 A、0 B、1 C、2 D、无数个AsinAcosB6ABC=
7、,Bab A 30 B 45 C 60 D 90、在在中中，若若那那么么的的值值是是、BCcoscBcosbAcosa 例4 在三角形ABC中已知 试判断三角形ABC的形状7ABC3a=2bsinA,B25 A B C D363366、在在中中，若若那那么么的的值值是是、或或、或或C9ABCAC=3 A=45C=75BC=_、在在中中，那那么么210ABCa+b=12,A=60,B=45,a=_,b=_、在在中中，那那么么36-12 612 6-2411ABCA:B:C=1:2:3,a:b:c=_、在在中中，若若那那么么13 2：12ABCb=3,c=3 3,B=30a=_、在在中中，已已知知
8、那那么么3或6课堂小结：2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC 作用：1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角3）可以进行边角之间的互化。注意：已知两边和其中一边的对角，求解三角形时,要注意解的取舍。的外接圆的半径是 ABCR2ABCb=12,A=30,B=45,例例、在在中中，已已知知三角形，并求出它的外接圆半径。解这个bb12=2RR=6 2sinB2sinB2sin45 解解：又A=30o,B=45o,所以C=105o 2+6sinC=sin105=sin 60+45=4bsinA12 sin30a=6 2sinBsi
9、n45 由由正正弦弦定定理理 b sinC12sin105c=6 1+3sinBsin45 例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。1 a=7,b=8,A=105;2 a=2 3,b=6,A=30 1 a=7,b=8,a90,解解：本题无解。2 a=2 3,b=8,ab,A=30 bsinA,又又本题有两解。bsinA6sin303sinB=a22 3 由由正正弦弦定定理理得得B=60o或120o,asinC2 3sin90c=4 3sinAsin30 当B=60o时，C=90o.当B=120o时，C=30o.asinC2 3sin30c=2 3si
10、nAsin30 B=60C=90c=4 3B=120,C=30,c=2 3，或或4ABCa=2,b=3,A=45,BCc 例例、在在中中，已已知知求求、及及ab=,sinAsinB解解：由由正正弦弦定定理理得得bsinA3323sinB=sin45=,a2222 ba,BA=45o,有两解B=60o或120o1)当B=60o时，C=75o,a sinC2sin756+2c=,sinAsin452 2)当B=120o时，C=15o,a sinC2sin156-2c=,sinAsin452 （例2变式）为锐角，试判断此三角形的形状。例5、在ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg ,且B
11、22lgsinB=-lg2sinB=B=452 解解：a2sinA2lga-lgc=-lg2=c2sinC2由由 2sin 135-C=2sinC 2 sin135 cosC-cos135 sinC=2sinC2cosC+2sinC=2sinCcosC=0C=90 所以此三角形为等腰直角三角形226ABCtanA:tanB=a:b,ABC例例、在在中中，若若判判定定的的形状。222222asin AsinAcosBsin A=bsin BcosAsinBsin B解解：由由正正弦弦定定理理得得cosBsinA=sinBcosB=sinAcosAcosAsinBsin2B=sin2A2A=2B2
12、A+2B=或或A=BA+B=2 或或所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。练习：（1）在 中，一定成立的等式是（）ABC BbAaAsinsin.BbAaBcoscos.AbBaCsinsin.AbBaDcoscos.CABC（2）在 中，若 ，则 是()A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D等边三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC D正弦定理练习：（3）在任一 中，求证：ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa证明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin 左边 代入左边得：)sinsinsinsinsins
13、inBCACAB CBCABAksinsinsinsinsin(sin 等式成立=右边0 正弦定理1.coscos,ABCbA aB（1）在中，判断三角形的形状1,2,30,oABCabAB已知中，求ABC（2）在 中，若 ，则的形状 2cos2cos2cosCcBbAa ABC 复习回顾正弦定理：CsincBsinbAsina R2 可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。AASAAS（2）已知两边和一边的对角。SSASSACsinR2c,BsinR2b,AsinR2a 变形：Csin:Bsin:Asinc:b:a 千岛湖 3.4km3.4km6km6km120120）情景问题
14、岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C?千岛湖 千岛湖 情景问题3.4km3.4km6km6km120120）岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C?3.4km6km120120A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km，B=120B=120o o，求，求 ACAC用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出 ACAC？）CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2c2 a2+b2 直角三角形中的边直角三角形中的边a a、b b不变，角不变，角C C进行变动进行变动勾股定理仍成立吗？勾股定理仍成立吗
15、？c2=a2+b2 c=AcbCBa AB c2=AB 2=AB AB AB=AC+CB AB AB=(AC+CB)(AC+CB)CBAcabAbccbacos2222探探 究究：若若ABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求求AB 边边 c.Cabbaccos2222CBAcabBaccabcos2222余弦定理余弦定理Abccbacos2222Cabbaccos2222探探 究究：若若ABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求求AB 边边 c.对余弦定理，还有其他证明方法吗?bAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为
16、x轴，过轴，过C点点垂直于垂直于CB的直线为的直线为y轴，建立如图所轴，建立如图所示的坐标系，则示的坐标系，则A、B、C三点的坐标三点的坐标分别为：分别为：(cos,sin)A bC bC222222c=a+b-2abcosCc=a+b-2abcosCxy(,0)B a(0,0)C解析法解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222ABCabcD当角当角C为锐角时为锐角时几何法几何法bAacCBD当角当角C为钝角时为钝角时CBAabc 余弦定理作为勾股定理余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定的推广，考虑借助勾股定理来证
17、明余弦定理。理来证明余弦定理。证明：在三角形证明：在三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和A,作作CDAB，则，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab 当然，对于钝角三角形来说，证明当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后类似，课后 自己完成。自己完成。D a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC你能用文字说明吗你能用文字说
18、明吗？CBAabc 三角形任何一边的平方三角形任何一边的平方等于等于其他两边平方的和其他两边平方的和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。积的两倍。CBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a22bc cosA=c2+a2-b22ca cosB=a2+b2-c22ab cosC=变形变形 余弦定理在直角三角余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？形中是否仍然成立？cosC=a2+b2-c2 2abC=90 a2+b2=c2 cosA=b2+c2-a2 2bc cosB=c2+a2-b2
19、 2cacosA=cos B=acbc问题问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广定理是勾股定理的推广.问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1 1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;剖剖 析析 定定 理理（2 2）每个等式中有同一个三角形中的）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一四个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）已知两边及一边的对角时，已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定角形，想一想
20、能不能用余弦定理来解这个三角形？理来解这个三角形？如：已知如：已知b=b=4 4,c=,c=,C=,C=6060求边求边a.a.2 22 22 2-c c=a a+b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2-a a=b b+c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2-b b=a a+c c2 2a ac cc co os sB B（3 3）已知）已知a a、b b、c c（三边），可（三边），可以求什么？以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos2222220cba90A 2220cba90A 2220cba90A 剖剖 析析 定定
21、 理理abcbaC2cos2223.4km3.4km6km6km120120）A AB BC C 在在ABC中，已知中，已知AB=6km，BC=3.4km，B=120o，求，求 AC解决实际问题解决实际问题解：由余弦定理得解：由余弦定理得答：岛屿答：岛屿A A与岛屿与岛屿C C的距离为的距离为8.24 km.8.24 km.BBCABBCABACcos222296.67120cos4.3624.3622o24.8AC剖剖 析析 定定 理理（4）能否把式子 转化为角的关系式？Abccbacos2222 分析分析：ARasin2:得得RCcBbAa2sinsinsin:由由正正弦弦定定理理BRbs
22、in2 CRcsin2:cos2222并并化化简简得得代代入入Abccba ACBCBAcossinsin2sinsinsin222 202000:sin 70sin 50sin70 sin50.练练习习 求求的的值值2020000:sin 70sin 502sin70 sin50 cos60 解解 原原式式20sin 60 34（1 1）已知三边）已知三边 求三个角求三个角 SSSSSS2 22 22 2b b+c ca ac c o o s s A A=-2 2 b b c c2 22 22 2a a+c cb bc c o o s s B B=-2 2 a a c c2 22 22 2a
23、 a+b bc cc c o o s s C C=-2 2 a a b b问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用余弦定理在解三角形中的作用是什么？是什么？（2 2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三边们的夹角，求第三边和其他两个角和其他两个角.SASSAS2 22 22 2-c c=a a+b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2-a a=b b+c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2-b b=a a+c c2 2a ac cc co os sB B剖剖 析析 定定 理理.cos.13,2,2.1BcbaABC求中，已知在例.150
24、,2,33.2bBcaABC求中，已知在例）为（则中，已知在AcbcbaABC,222323.32.6.3.或DCBA练习1.C._,10,13,13度数为的最大角的则中，若在ABCcbaABC练习2.120练习3.,)(abcbacbaABCcba）满足：（的三边长，且分别是、已知.）等于（则C150.120.90.60.DCBA C 余弦定理在解三角形余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？中能解决哪些问题？角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理2 2、在、在ABCABC中中,若若a=4a=4、b=5b=5、c=6c=6，判断，判断ABC
25、ABC的形状的形状.A AD DC CB B)30300 0)45450 03 3、如图所示，已知、如图所示，已知BD=3BD=3，DC=5DC=5，B=30B=300 0，ADC=45ADC=450 0，求，求ACAC的长。的长。例题讲解1 1、在、在ABCABC中中,若若a a1010，b b1212，c c9 9，解这个三角形。解这个三角形。1、已知、已知ABC的三边为的三边为 、2、1，求它的最大内角。，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1 则最大内角为A由余弦定理 cosA=12+22-()2221=-12 A=120若已知三边的比是若已知三边的比是 :2
26、:1,又怎么求？又怎么求？2、已知已知ABC中中AB=2、AC=3、A=，求，求BC的长。的长。解：由余弦定理可知解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7BC=3、以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，求X的范围。思考：思考：（1）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定三判定三角形角形ABC的形状的形状分析：三角形分析：三角形ABC的形状是由大边的形状是由大边b所对的大角所对的大角B决定的。决定的。222(,)90 180cBba（2）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求三角形三角
27、形ABC的面积的面积分析：三角形的面积公式分析：三角形的面积公式 S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出只需先求出cosC(cosA或或cosB),然后求出然后求出 sinC(sinA或或 sinB）代入面积公式即可。）代入面积公式即可。1212122.2.余弦定理余弦定理a a=b+c=b+c-2bccos2bccosA Ab b=c+a=c+a-2accos2accosB Bc c=a+b=a+b-2abcos2abcosC C2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2b b+c c-a ac co os sA A=，2 2b bc c2 2
28、2 22 2c c+a a-b bc co os sB B=，2 2c ca a2 22 22 2a a+b b-c cc co os sC C=2 2a ab b3.3.由余弦定理知由余弦定理知1.1.证明定理证明定理:课堂小结课堂小结22290Aacb22290Aacb22290Aacb向量法、解析法、几何法（1 1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；（SSSSSS）2 22 22 2b b+c ca ac c o o s s A A=-2 2 b b c c2 22 22 2a a+c cb bc c o o s s B B=-2 2 a a c c2 22 22 2a a+b bc
29、 cc c o o s s C C=-2 2 a a b b（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.(SAS)(SAS)5.5.余弦定理的作用余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积）判断三角形的形状，求三角形的面积a a=b+c=b+c-2bccos2bccosA Ab b=c+a=c+a-2accos2accosB Bc c=a+b=a+b-2abcos2abcosC C2 22 22 22 22 22 22 22 22 24.4.余弦定理适用于任何三角形余弦定理适用于任何三角形作业布置作业布置课后作业：课后作业：1.在在ABC中中,已知已知b4,c10,B30o,解
30、这个三角形。解这个三角形。2.设设x、x1、x2是钝角三角形的三边是钝角三角形的三边长，求实数长，求实数x的取值范围的取值范围.3.在在ABC中中,A60o,a1,bc2,判判断断ABC的形状的形状.4.三角形的两边分别为三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所它们所夹的角的余弦为方程夹的角的余弦为方程5x27x60的根，的根，求这个三角形的面积求这个三角形的面积.复习目标：1、进一步熟悉正余弦定理内容;2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。复习重点：利用正余弦定理进行边角互换难点：1、利用正余弦定
31、理进行边角互换时的转化方向2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求。正、余弦定理复习回顾正弦定理：CsincBsinbAsina R2 可以解决几类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。AAS（2）已知两边和一边的对角。SSACsinR2c,BsinR2b,AsinR2a 变形：Csin:Bsin:Asinc:b:a（1）已知三边求三个角；（SSS）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.(SAS)余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC222222222b+c-
32、acos A=2bca+c-bcos B=2aca+b-ccosC=2ab解三角形中常用的关系式:A+B+C=sin A+B=sinC,cos A+B=-cosC A+BCA+BCsin=cos cos=sin2222，2ABC1S=absinC=2R sinAsinBsinC2 DCBA1 2BDAB=CDAC角平分线性质DCBA圆内接四边形对角互补A+C=B+D=由余弦定理易得:22290Aacb22290Aacb22290Aacb三角形面积计算公式11S=sinsin22acBabCcbaABCcbaaab1sin2bcA2S底高练习题 abc1ABC=k,k=sinAsinBsinC1
33、 A 2R B R C 4R DR 2 RABC 、在在中中，那那么么、是是外外接接圆半径A2、在ABC中，bcosA=acosB,则三角形为 A、直角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形C3、在ABC中，若a=6,b=7,c=8,则ABC的形状是 A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、无法确定A4、在ABC中，下列命题正确的是11AsinA=A=30 BcosA=A=3022、若若、若若C、若a=7,b=6,c=10,则C为锐角 D、满足a=18,b=20,A=150o的ABC一定不存在5、在ABC中，cosAcosBsinAsinB,则ABC为 A、等边三角
34、形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形C（事实上，C为钝角，只有C项适合）D6、在ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于 A、30o B、60o C、120o D、150o7ABCB=30,b=50 3,c=150,ABC、在在中中，已已知知那那么么是是A、等边三角形 B、直角三角形C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形DC等腰三角形10、在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB,则ABC是_钝角三角形11ABCsinA=2cosBsinC,ABC_、在在中中，那那么么是是等腰三角形22222212ABCAB=a+b,AC=a
35、+c,BC=b+c,a,b,c0,ABC_ 、已已知知中中，其其中中那那么么是是角角三三角角形形。锐0sin(90)sinAB即tanAsinA9ABC=,_tanBsinB、中中，那那么么三三角角形形是是ABC1ABCa=4,b=5,S=5 3,c 例例、在在中中，已已知知求求 的的值值。1S=absinC,a=4,b=5,S=5 32解解：2S3sinC=C=60120ab2或或222C=60c=a+b-2abcosC=16+25-20=21 c=21222C=120c=a+b-2abcosC=16+25+20=61 c=61例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，C
36、D=DA=4，求四边形ABCD的面积。DCBA解：连接BDABCDABDBCDS=S+S11=AB ADsinA+BC CDsinC22A+C=180sinA=sinC ABCD1S=AB AD+BC CD sinA=16sinA222222BD=AB+AD-2AB ADcosA=CB+CD+2CB CDcosA22222+4-2 2 4cosA=6+4+2 6 4cosA 13cosA=-sinA=22ABCDS=8 3（例1变式）222c13ABCb+c-bc=a=+3,AtanBb2 例例、在在中中，和和求求 和和的的值值。222b+c-a1cosA=2bcA02=6 解解：31cosB
37、+sinBsin 120-B1csinC22+3=2bsinBsinBsinB 131+3=cotB+2221tanB=2（三维）ABC14S=1 tanB=,tanC=-2,ABC2 例例、已已知知，求求的的边长和外接圆面积。152 5tanB=sinB=,cosB=255解解：2 55tanC=-2sinC=,cosC=-55 3sinA=sin B+C=sinBcosC+cosBsinC=5222ABC35 2 512S=1=2R sinAsinBsinC=2R=R55525 25 325R=S=625R=1212 152 15a3,b=,c=2RsinA=33（例1变式）222tanA
38、-tanBc-b5ABCa+b-c=ab,=,tanA+tanBc 例例、在在中中，且且试判断三角形的形状。222a+b-c1cosC=C=602ab2 解解：sin A-Bsin A-BtanA-tanBsinAcosB-cosAsinB=tanA+tanBsinAcosB+cosAsinBsin A+BsinC sin A-Bc-bsinC-sinBsinC-sinB=csinCsinCsinC sinB=sinC-sin A-B=sin A+B-sin A-B=2cosAsinB1cosA=A=602 A=B=C=60 三角形ABC是正三角形（三维）例6、根据所给条件，判断三角形ABC的
39、形状。abc1 acosA=bcosB 2 =cosAcosBcosC 1 sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B解解：2A=2B2A+2B=180A=BA+B=90或或或或ABC是等腰三角形或直角三角形abcsinAsinBsinC2)=cosAcosBcosCcosAcosBcosCtanA=tanB=tanCABC是等边三角形（例1变式）小结1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一边)，那么这个三角形一定可解。2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化
40、为边的关系，从而使许多问题得以解决。3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变形。一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁-正、余弦定理。4、根据条件选用定理可使解题简便1)已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，如已知A,B,a解三角形，则用正弦定理。2)已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角3)已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边再用正弦定理求角。4)已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，但需要进行讨论，有两解的可能。2.1数列的概念与简单表示法4 45 56 67 78 81 15 5
41、6 67 78 81 12 23 33 34 42 26464个格子个格子1 12 22 23 33 34 44 45 55 51 16 66 67 77 78 88 8你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格请在第一个格子放子放1颗麦粒颗麦粒请在第二个格请在第二个格子放子放2颗麦粒颗麦粒请在第三个格请在第三个格子放子放4颗麦粒颗麦粒请在第四个格请在第四个格子放子放8颗麦粒颗麦粒 依次类推依次类推4 45 56 67 78 81 14 45 56 67 78 81 12 23 33 32 26464个格子个格子你认为国王你认为国王有能力满足有能力满足上述要求吗上述要求
42、吗每个格子里的麦粒数都是每个格子里的麦粒数都是前前一个格子里麦粒数的一个格子里麦粒数的2 2倍倍 且共有且共有6464 格子格子1?1844,6744,0737,0955,16151844,6744,0737,0955,1615222321202632三角形三角形数数1,3,6,1,3,6,10,.10,.正方形数正方形数1,4,9,1,4,9,16,16,观察下列图形：观察下列图形：提问：这些数有什么规律吗？提问：这些数有什么规律吗？一一.定义：定义：按照一定按照一定顺序顺序排列着的一列数叫排列着的一列数叫数列数列。(1)(1)三角形数：三角形数：1,3,6,10,.1,3,6,10,.(2
43、)(2)正方形数：正方形数：1,4,9,16,1,4,9,16,数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一个数叫做这个数列的项项。(3)4，5，6，7，8，9，10；(4)10，9，8，7，6，5，4；数列中的数列中的每一项都和它的序号有关每一项都和它的序号有关，排第一位，排第一位的数称为这个数列的的数称为这个数列的第第1项项（通常叫做通常叫做首项）首项），排第二位的数称为这个数列的排第二位的数称为这个数列的第第2 2项项，排第排第 n n 位的数称为这个数列的位的数称为这个数列的第第n n项项.数列的一般形式可以写成：数列的一般形式可以写成：,321naaaa其中其中 是数列的第是数列的第n
44、项，上面的数列又可简记为项，上面的数列又可简记为 nana(1)(1)三角形数：三角形数：1,3,6,10,.1,3,6,10,.(2)(2)正方形数：正方形数：1,4,9,16,1,4,9,16,按照一定顺序排列着的一列数叫数列。(1)(1)三角形数：三角形数：1,3,6,10,.1,3,6,10,.(2)(2)正方形数：正方形数：1,4,9,16,1,4,9,16,一一.定义：定义：按照一定按照一定顺序顺序排列的一列数叫排列的一列数叫数列数列。思考思考1：数列：数列 4，5，6，7，8，9，10；数列数列 10，9，8，7，6，5，4；是否相同？；是否相同？思考思考2：数列中的数是否可以重
45、复？：数列中的数是否可以重复？如：数列如：数列1 1，1 1，1 1，1 1，。项数有限的数列项数有限的数列.例如数列例如数列1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6。是有穷数列。是有穷数列 项数无限的数列项数无限的数列.例如数列例如数列1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，是无穷数列是无穷数列1 1）根据数列项数的多少分：）根据数列项数的多少分：二二.数列的分类数列的分类：P28观察有穷数列有穷数列：无穷数列无穷数列：2 2）根据数列项的大小分：）根据数列项的大小分：递增数列递增数列：递减数列递减数列：常数数列常数数列：摆动数列摆动数列：从第从第2 2项起，每一项都大于它的前
46、一项的数列。项起，每一项都大于它的前一项的数列。从第从第2 2项起，每一项都小于它的前一项的数列。项起，每一项都小于它的前一项的数列。各项相等的数列。各项相等的数列。从第从第2 2项起，有些项大于它的前一项，项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列全体自然数构成数列：全体自然数构成数列：1996200219962002年某市普通高中生人数（单位：万人）年某市普通高中生人数（单位：万人）0 0，1 1，2 2，3,3,.8282，9393，105105，119119，129129，130130，132.132.构成数列构成数列无穷多个无穷多个3 3构成数列
47、构成数列3 3，3 3，3 3，3 3，3,3,.目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:元）元）100100，5050，2020，1010，5 5，2 2，1 1，0.50.5，0.20.2，0.10.1，0.050.05，0.020.02，0.01.0.01.-1-1的的1 1次幂，次幂，2 2次幂，次幂，3 3次幂，次幂，4 4次幂次幂 构成数列构成数列-1-1，1 1，-1-1，1,1,.递增数列递减数列常数列递增数列摆动数列以下数列属于哪种分类？观察下列数列的每一项与这一项的序观察下列数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应
48、关系？号是否有一定的对应关系？，5141312111 2 3 4 5 .项项序号序号2，4，6，8，10，1 2 3 4 5 序号序号项项 数列中的每一个数都对应着一个序数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数号，反过来，每个序号也都对应着一个数。三三.数列的表示：数列的表示：nn1n2n数列与函数的关系数列与函数的关系 :数列可以看作特殊的函数，序号是数列可以看作特殊的函数，序号是其自变量，项是序号所对应的函数值其自变量，项是序号所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，数列的定义域是正整数集 ，或，或是正整数集是正整数集 的有限子集的有限子集 于是我们研究数列就可借
49、用函数的研究于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列方法，用函数的观点看待数列 *N*N 数列可以看成以正整数集数列可以看成以正整数集N N*（或它的有限子（或它的有限子集集11，2 2，3 3，4 4，,n,n）为定义域的）为定义域的函数函数a an n=f(n),=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。的一列函数值。思考思考213,12 3.xyxyx 函数与当 依次取，时，其函数值构成怎样的数列？正方形数：正方形数：1,4,9,16,1,4,9,16,通项公式可以看成是数列的函数解析式。通项公式
50、可以看成是数列的函数解析式。nann 如果数列的第 项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做数通序列的号项公式。2nan（1）（2）1nnannann1 如果只知道数列的通项公式，那能写出这个如果只知道数列的通项公式，那能写出这个数列吗？数列吗？na 根据下面数列根据下面数列 的通项公式，写出的通项公式，写出它的前它的前5项：项：例例1 1、写出下面数列的一个通项公式，使它写出下面数列的一个通项公式，使它的的 前前4 4项分别是下列各数：项分别是下列各数：。，）（；，；，）（）（020244131211)3(2516942;7,5,3,11练习：P31 1,3,412 nan2)1
