1、17.1 勾股定理,第十七章 勾股定理,第2课时 勾股定理在实际生活中的应用,情景引入,数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看下面视频，你们能理解曾小贤和胡一菲的做法吗？,导入新课,问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？,这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题,讲授新课,例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?,典例精析,解：在RtABC中，根据勾股定理，,AC2=AB2+BC2=12+22=5,因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板
2、能从门框内通过.,分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.,解：在RtABC中，根据勾股定理得,OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，,OB=1.,在RtCOD中，根据勾股定理得,OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.,例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?,例3 在一次台风的袭击中，小
3、明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？,A,C,B,解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在RtABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得,这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.,利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：,（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；,（2）构造直角三角形；,（3）利用勾股定理等列方程；,（4）解决实际问题.,归纳总结,数学问题,直角三角形,勾股定理,实际问题,1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( ),A.5
4、0米 B.120米 C.100米 D.130米,130,120,?,A,练一练,C,A,B,2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？,解：(1)在Rt ABC中， 根据勾股定理得 这条“径路”的长为5米.,（2）他们仅仅少走了 (3+4-5)2=4(步).,A,2,1,-4,-3,-2,-1,-1,2,3,1,4,5,例4 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.,y,O,x,3,B,C
5、,解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB. AC=5-2=3，BC=3+1=4， 在RtABC中，由勾股定理得 A,B两点间的距离为5.,方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点,思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？,已知：如图，在RtABC 和RtA B C 中，C= C =90，AB=A B ，AC=A C 求证：ABCA B C ,证明：在RtABC 和RtA B C 中， C=C=90， 根据勾股定理得,C,B,A,问题 在A点的小狗，为了尽快
6、吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？,AC+CB AB（两点之间线段最短）,思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？,想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？,A,蚂蚁AB的路线,问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？,根据两点之间线段最短易知第一个路线最近.,若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，取3.,侧面展开图,A,A,解：在RtABA中，由勾股定理得,立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最
7、短路线.,例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，取3）?,A,B,A,B,A,B,解：油罐的展开图如图，则AB为梯子的最短距离. AA=232=12, AB=5, AB=13. 即梯子最短需13米.,典例精析,数学思想：,立体图形,平面图形,转化,展开,B,牛奶盒,A,【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？,6cm,8cm,10cm,B,B1,8,A,B2,6,10,B
8、3,AB12 =102 +（6+8）2 =296，,AB22= 82 +（10+6）2 =320，,AB32= 62 +（10+8）2 =360，,解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得,AB1AB2AB3.,小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为 .,例5 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？,牧童A,小屋B,A,C,东,北,解：如图，作出点A关于河岸的对称点A，连接AB则AB就是最短路线. 由题意得AC=4+4+7=15(km)，BC=8km. 在RtADB中
9、，由勾股定理得,求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.,如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.,A,B,解：由题意得AC =2，BC=1, 在RtABC中，由勾股定理得 AB= AC+ BC=2+1=5 AB= ，即最短路程为 .,练一练,1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（ ） A.
10、24m B.12m C. m D. cm,D,当堂练习,2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ） A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm,D,3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_.,10,4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对 相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？,A,B,C,解：如图，过点A作ACBC于点C. 由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， 答：小鸟至少飞行10米.,5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，1
11、0cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？,B,A,解：台阶的展开图如图，连接AB.,在RtABC中，根据勾股定理得,AB2=BC2AC25524825329,AB=73cm.,6. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？,能力提升：,解：如右下图，在RtABC中， AC36cm，BC108427(cm) 由勾股定理，得 AB2AC2BC23622722025452， AB45cm， 整个油纸的长为454180(cm),课堂小结,勾股定理 的应用,用勾股定理解决实际问题,用勾股定理解决点的距离及路径最短问题,解决“HL”判定方法证全等的正确性问题,
