1、18.2.1 矩 形,第十八章 平行四边形,第1课时 矩形的性质,观察下面图形,长方形在生活中无处不在.,导入新课,情景引入,思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？,你还能举出其他的例子吗？,讲授新课,活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.,矩形,定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也叫做长方形.,归纳总结,平行四边形不一定是矩形.,思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？,可以从边，角，对角线等方面来考虑.,活动2： 准备素材：直尺、
2、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.,A,B,C,D,O,物体,测量,（实物）,（形象图）,（2）根据测量的结果,你有什么猜想？,猜想1 矩形的四个角都是直角.,猜想2 矩形的对角线相等.,你能证明吗？,证明：四边形ABCD是矩形, B=D,C=A, ABDC. B+C=180. 又B = 90, C = 90. B=C=D=A =90.,如图,四边形ABCD是矩形,B=90. 求证： B=C=D=A=90.,A,B,C,D,证一证,证明：四边形ABCD是矩形,
3、AB=DC,ABC=DCB=90, 在ABC和DCB中, AB=DC,ABC=DCB,BC= CB, ABCDCB. AC=DB.,A,B,C,D,O,如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相交于点O. 求证：AC=DB.,矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角. 矩形的对角线相等.,归纳总结,几何语言描述： 在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O. ABC=BCD=CDA=DAB =90，AC=DB.,A,B,C,D,O,例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AB=4 ,求矩形对角线的长.,解：四
4、边形ABCD是矩形. AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , OA = OB. 又AOB=60, OAB是等边三角形， OA=AB=4， AC=BD=2OA=8.,A,B,C,D,O,典例精析,矩形的对角线相等且互相平分,例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE ,垂足为F.求证：DF=DC.,A,B,C,D,E,F,证明：连接DE. AD =AE,AED =ADE. 四边形ABCD是矩形, ADBC,C=90. ADE=DEC, DEC=AED. 又DFAE, DFE=C=90.,又DE=DE, DFEDCE, DF=DC.,例3 如图
5、，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD8，AB4，求BED的面积,解：四边形ABCD是矩形， ADBC，A90， 23. 又由折叠知12， 13，BEDE. 设BEDEx，则AE8x. 在RtABE中，AB2AE2BE2， 42(8x)2x2， 解得x5，即DE5. SBED DEAB 5410.,矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查,思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,矩形的性质： 对称性： . 对称轴： .,轴对称图形,2条,练一练,1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
6、 下列说法错误的是 （ ） AABDC BAC=BD CACBD DOA=OB,A,B,C,D,O,C,2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_.,3.如图，在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE：BAE3：1，求BAE和EAO的度数,解：四边形ABCD是矩形， DAB90， AO AC，BO BD，ACBD， BAEDAE90，AOBO. 又DAE：BAE3：1， BAE22.5，DAE67.5. AEBD， ABE90BAE9022.567.5， OABABE67.5 EAO67.522.545.,活动：如图，一张矩形
7、纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.,问题 RtABC中，BO是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？,猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,试给出数学证明.,O,D,证明: 延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD、DC.,AO=OC, BO=OD， 四边形ABCD是平行四边形.,ABC=90,平行四边形ABCD是矩形，,AC=BD，,如图，在RtABC中，ABC=90，BO是AC上的中线.求证: BO = AC ?,BO= BD= AC.,1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,证一证,例4 如图，在ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点 (1)
8、若AB10，AC8，求四边形AEDF的周长；,解：AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， DEAE AB 105， DFAF AC 84， 四边形AEDF的周长AEDEDFAF554418；,典例精析,(2)求证：EF垂直平分AD.,证明：DEAE，DFAF， E、F在线段AD的垂直平分线上， EF垂直平分AD.,当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解,例5 如图，已知BD，CE是ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GFDE.,解：连接EG，DG. BD，CE是ABC的高， BDCBEC90. 点G是BC的中点，
9、 EG BC，DG BC. EGDG. 又点F是DE的中点， GFDE.,在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题,如图，在ABC中,ABC = 90,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_cm; (2)若C = 30 ,AB = 5cm,则AC =_cm, BD = _cm.,6,10,5,练一练,当堂练习,1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A
10、.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40,则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 B.40 C.80 D.10,A,C,C,4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=_cm,2.5,5.如图，ABC中，E在AC上，且BEACD为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为_,6,第4题图,第5题图,6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE, （2）若DBC=30 , BO=4 ,求四边形ABE
11、D的面积.,A,B,C,D,O,E,(1)证明：四边形ABCD是矩形, AC= BD,ABCD. 又BEAC, 四边形ABEC是平行四边形, AC=BE, BD=BE.,(2)解：在矩形ABCD中,BO=4, BD = 2BO =24=8. DBC=30, CD= BD= 8=4, AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在RtBCD中, BC= 四边形ABED的面积= (4+8) = .,A,B,C,D,O,E,7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PEAC，PFBD于F，求PE+PF的值.,解：连接OP. 四边形ABCD是矩形， DAB=90，OA=OD=OC=OB， SAOD=SDOC=SAOB=SBOC = S矩形ABCD= 68=12. 在RtBAD中，由勾股定理得BD=10， AO=OD=5， SAPO+SDPO=SAOD， AOPE+ DOPF=12，即5PE+5PF=24， PE+PF= .,能力提升：,课堂小结,矩形的相关概念及性质,具有平行四边行的一切性质,四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等,轴对称图形,有两条对称轴,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,
