1、第十八章 平行四边形,18.2.3 正方形,第2课时 正方形的判定,问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？,A,B,C,D,正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：四个角都是直角; 四条边都相等; 对角线相等且互相垂直平分.,O,导入新课,复习引入,问题2 你是如何判断是矩形、菱形？,平行四边形,矩形,菱形,四边形,三个角是直角,四条边相等,定义,四个判定定理,定义,对角线相等,定义,对角线垂直,思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？,讲授新课,活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.,正方形,猜想 满足怎样条
2、件的矩形是正方形？,矩形,正方形,一组邻边相等,对角线互相垂直,已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, ACDB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：四边形ABCD是矩形, AO=CO=BO=DO ，ADC=90. ACDB, AD=AB=BC=CD, 四边形ABCD是正方形.,证一证,A,B,C,D,O,对角线互相垂直的矩形是正方形.,活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.,正方形,菱形,猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？,正方形,一个角是直角,对角线相等,已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对
3、角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：四边形ABCD是菱形, AB=BC=CD=AD,ACDB. AC=DB, AO=BO=CO=DO, AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形， DAB=ABC=BCD=ADC=90, 四边形ABCD是正方形.,证一证,A,B,C,D,O,对角线相等的菱形是正方形.,正方形判定的几条途径：,正方形,正方形,+,+,先判定菱形,先判定矩形,矩形条件(二选一),菱形条件(二选一),一个直角，,一组邻边相等，,总结归纳,对角线相等,对角线垂直,在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）,AAC=BD，ABC
4、D，AB=CD BADBC，A=C CAO=BO=CO=DO，ACBD DAO=CO，BO=DO，AB=BC,练一练,C,A,B,C,D,O,例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么?,证明：四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90. AE=BF=CM=DN， AN=BE=CF=DM.,分析：由已知可证AENBFE CMFDNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.,典例精析,在AEN、BFE、CMF、DNM中， AE=BF=CM=DN, A=B=C=D, AN=BE=CF=DM,
5、 AENBFECMFDNM, EN=FE=MF=NM，ANE=BEF, 四边形EFMN是菱形， NEF=180（AEN+BEF） =180（AEN+ANE） =18090=90. 四边形EFMN是正方形 .,证明： DEAC，DFAB ， DEC= DFC=90. 又 C=90 ， 四边形ADFC是矩形. 过点D作DGAB，垂足为G. AD是CAB的平分线 DEAC，DGAB， DE=DG. 同理得DG=DF， ED=DF， 四边形ADFC是正方形.,例2 如图，在直角三角形中，C=90，A、B的平分线交于点D.DEAC，DFAB.求证:四边形CEDF为正方形.,A,B,C,D,E,F,G,例
6、3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EGFH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：四边形ABCD为正方形, OB=OC,ABO=BCO =45, BOC=90=COH+BOH. EGFH, BOE+BOH=90, COH=BOE, CHO BEO,OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG,OE=OF=OG=OH. 又EGFH, 四边形EFGH为菱形. EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, 四边形EFGH为正方形.,例4 如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AF=AE （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，
7、问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由,（1）证明：正方形ABCD， AB=AD，BAD=90， AFAC，EAF=90， BAF=EAD， 在ADE和ABF中， ADAB ，DAEBAF ，AEAF , ADEABF（SAS），BF=DE；,（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：点E运动到AC的中点，AB=BC， BEAC，BE=AE= AC， AF=AE， BE=AF=AE. 又BEAC，FAE=BEC=90， BEAF， BE=AF， 得平行四边形AFBE， FAE=90，AF=AE， 四边形AFBE是正方形,思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形
8、各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？,矩形,正方形,任意四边形,平行四边形,菱形,正方形,E,F,G,H,E,F,G,H,E,F,G,H,当堂练习,1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形,D,2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B当ACBD时，四边形ABCD是菱形 C当ABC=90时，四边形ABCD是矩形 D当AC
9、=BD时，四边形ABCD是正方形,D,3.如图，四边形ABCD中，ABC=BCD=CDA =90，请添加一个条件_，可得出该四边形是正方形,AB=BC(答案不唯一),A,B,C,D,O,4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_（只填写序号）,或,5.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.,证
10、明：（1）AB = BC,BD平分ABC. 1=2. ABDCBD (SAS). ADB=CDB.,1,2,（2）ADC=90; 又PMAD,PNCD; PMD=PND=90. 四边形NPMD是矩形. ADB=CDB; ADB=CDB=45. MPD=NPD=45. DM=PM,DN=PN. 四边形NPMD是正方形.,6.如图，ABC中，D是BC上任意一点，DEAC，DFAB （1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由 （2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？,解：（1）DEAC，DFAB， 四边形AEDF为平行四边形. （2）四边形AEDF为菱形， AD平分BAC， 则AD平分BAC时，四边形AEDF为菱形.,（3）在（2）的条件下，当ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由,解：由四边形AEDF为正方形 BAC=90， ABC是以BC为斜边的直角三角形即可,课堂小结,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,
