1、第第 4 节节 三角函数的三角函数的图像图像与性质与性质 最新考纲 1.能画出 ysin x， ycos x， ytan x 的图像， 了解三角函数的周期性； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、 图像与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间 2， 2 内的单调性. 知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 ysin x，x0，2的图像中，五个关键点是：(0，0)， 2，1 ，(， 0)， 3 2 ，1 ，(2，0). (2)余弦函数 ycos x，x0，2的图像中，五个关键点是：(0，1)， 2，0 ，(， 1)， 3 2
2、，0 ，(2，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 kZ) 函数 ysin x ycos x ytan x 图像 定义域 R R x|xR，且xk 2 值域 1，1 1，1 R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2k 2，2k 2 2k，2k k 2，k 2 递减区间 2k 2，2k 3 2 2k，2k 无 对称中心 (k，0) k 2，0 k 2 ，0 对称轴方程 xk 2 xk 无 微点提醒 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期， 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4个周期. (2)正切曲线相邻
3、两对称中心之间的距离是半个周期. 2.要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 A 和 的符号，尽量化成 0 时 情况，避免出现增减区间的混淆. 3.对于 ytan x 不能认为其在定义域上为增函数， 而是在每个区间 k 2，k 2 (kZ)内为增函数. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)余弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴.( ) (2)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.( ) (4)ysin|x|是偶函数.( ) 解析 (1)余弦函数 ycos x 的对称轴有无穷多条，
4、y 轴只是其中的一条. (2)正切函数 ytan x 在每一个区间 k 2，k 2 (kZ)上都是增函数， 但在定义 域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当 k0 时，ymaxk1；当 k0， cos x1 2， 解得 2k0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函 数的图像可知， 3为函数 f(x)的 1 4周期，故 2 4 3 ，解得 3 2. 法二 由题意，得 f(x)maxf 3 sin 31. 由已知并结合正弦函数图像可知， 3 22k(kZ)，解得 3 26k(kZ). 所以当 k0 时，3 2. 答案 (1) k 12，k 5 12 (kZ) (2)3 2 考点三 三角函数的
5、周期性、奇偶性、对称性 多维探究 角度 1 三角函数奇偶性、周期性 【例 31】 (1)(2018 全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则( ) A.f(x)的最小正周期为 ，最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为 ，最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 (2)(2019 武汉调研)设函数 f(x)sin 1 2x 3cos 1 2x |0)的形式. 2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法 令 tx，将其转化为研究 ysin t(或 ycos t)的性质. 3.数形结合是
6、本讲的重要数学思想. 易错防范 1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值 问题，要讨论参数对最值的影响. 2.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明 kZ. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.函数 y 3sin 2xcos 2x 的最小正周期为( ) A. 2 B.2 3 C. D.2 解析 y2 3 2 sin 2x1 2cos 2x 2sin 2x 6 ， T2 2 . 答案 C 2.(2018 石家庄检测)若 8，0 是函数 f(x)sin xcos x 图像的一个对称中心， 则 的一个取值是( ) A.2 B.4
7、 C.6 D.8 解析 因为 f(x)sin xcos x 2sin x 4 ， 由题意， 知 f 8 2sin 8 4 0，所以 8 4k(kZ)，即 8k2(kZ)，当 k1 时，6. 答案 C 3.已知函数 f(x)2sin x(0)在区间 3， 4 上的最小值是2， 则 的最小值等 于( ) A.2 3 B.3 2 C.2 D.3 解析 0， 3x 4， 3 x 4 . 由已知条件知 3 2， 3 2. 答案 B 4.(2019 陕西十四校联考)已知函数 f(x)2sin xcos x(0)， 若 f(x)的两个零点 x1，x2满足|x1x2|min2，则 f(1)的值为( ) A.
8、10 2 B. 10 2 C.2 D.2 解析 依题意可得函数的最小正周期为2 2|x1x2|min224， 即 2， 所以 f(1)2sin 2cos 22. 答案 C 5.若 f(x)为偶函数，且在 0， 2 上满足：对任意 x10， 则 f(x)可以为( ) A.f(x)cos x5 2 B.f(x)|sin(x)| C.f(x)tan x D.f(x)12cos22x 解析 f(x)cos x5 2 sin x 为奇函数，排除 A；f(x)tan x 为奇函数， 排除 C；f(x)12cos22xcos 4x 为偶函数，且单调增区间为 k 2 ，k 2 4 (kZ)，排除 D；f(x)
9、|sin(x)|sin x|为偶函数，且在 0， 2 上单调递增. 答案 B 二、填空题 6.(2019 九江检测)若函数 f(x)cos 2x 3 (00，min 2 3. 答案 2 3 三、解答题 9.(2018 北京卷)已知函数 f(x)sin2x 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f(x)在区间 3，m 上的最大值为 3 2，求 m 的最小值. 解 (1)f(x)1 2 1 2cos 2x 3 2 sin 2x sin 2x 6 1 2. 所以 f(x)的最小正周期为 T2 2 . (2)由(1)知 f(x)sin 2x 6 1 2. 由题意知 3x
10、m， 所以5 6 2x 62m 6. 要使得 f(x)在 3，m 上的最大值为 3 2， 即 sin 2x 6 在 3，m 上的最大值为 1. 所以 2m 6 2，即 m 3. 故实数 m 的最小值为 3. 10.(2019 合肥质检)已知函数 f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为 . (1)求函数 yf(x)图像的对称轴方程； (2)讨论函数 f(x)在 0， 2 上的单调性. 解 (1)f(x)sin xcos x 2sin x 4 ，且 T， 2，于是 f(x) 2sin 2x 4 . 令 2x 4k 2(kZ)，得 x k 2 3 8 (kZ). 即函数 f(x)图像的对称
11、轴方程为 xk 2 3 8 (kZ). (2)令 2k 22x 42k 2(kZ)， 得函数 f(x)的单调递增区间为 k 8，k 3 8 (kZ). 注意到 x 0， 2 ，所以令 k0， 得函数 f(x)在 0， 2 上的单调递增区间为 0，3 8 ； 同理，其单调递减区间为 3 8 ， 2 . 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.若对于任意 xR 都有 f(x)2f(x)3cos xsin x，则函数 f(2x)图像的对称中 心为( ) A. k 4，0 (kZ) B. k 8，0 (kZ) C. k 2 4，0 (kZ) D. k 2 8，0 (kZ) 解析 因为 f(x)2
12、f(x)3cos xsin x， 所以 f(x)2f(x)3cos xsin x. 解得 f(x)cos xsin x 2sin x 4 ， 所以 f(2x) 2sin 2x 4 . 令 2x 4k(kZ)，得 x k 2 8(kZ). 所以 f(2x)图像的对称中心为 k 2 8，0 (kZ). 答案 D 12.(2017 天津卷)设函数 f(x)2sin(x)，xR，其中 0，|.若 f 5 8 2， f 11 8 0，且 f(x)的最小正周期大于 2，则( ) A.2 3， 12 B.2 3， 11 12 C.1 3， 11 24 D.1 3， 7 24 解析 f 5 8 2，f 11
13、8 0，且 f(x)的最小正周期大于 2， f(x)的最小正周期为 4 11 8 5 8 3， 2 3 2 3， f(x)2sin 2 3x . 2sin 2 3 5 8 2，得 2k 12(kZ)， 又|，取 k0，得 12. 答案 A 13.已知 x0 3是函数 f(x)sin(2x)的一个极大值点，则 f(x)的单调递减区间是 _. 解析 因为 x0 3是函数 f(x)sin(2x)的一个极大值点， 所以 sin 2 3 1，解得 2k 6(kZ). 不妨取 6，此时 f(x)sin 2x 6 ， 令 2k 22x 62k 3 2 (kZ)， 得 f(x)的单调递减区间是 k 3，k 5
14、 6 (kZ). 答案 k 3，k 5 6 (kZ) 14.已知函数 f(x)sin 2 x sin x 3cos2x 3 2 . (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x)2 3在(0，)上的解为 x1，x2，求 cos(x1x2)的值. 解 (1)f(x)cos xsin x 3 2 (2cos2x1) 1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3 . 当 2x 3 22k(kZ)，即 x 5 12k(kZ)时，函数 f(x)取最大值，且最大值 为 1. (2)由(1)知，函数 f(x)图像的对称轴为 x 5 12k(kZ)， 当 x(0，)时，对称轴为 x 5 12. 又方程 f(x)2 3在(0，)上的解为 x1，x2. x1x25 6，则 x1 5 6x2， cos(x1x2)cos 5 62x2 sin 2x2 3 ， 又 f(x2)sin 2x2 3 2 3， 故 cos(x1x2)2 3.
