1、 第第 2 节节 同角三角函数基本关系式与诱导公式同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan ； 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ， 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：sin cos tan_. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k (kZ) 2 2 正弦 sin sin_ sin_ sin_ cos_ cos_ 余弦 cos cos_ cos_ cos_ sin_ sin_ 正切 ta
2、n tan_ tan_ tan_ 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看 象限 微点提醒 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin cos )21 2sin cos ；sin tan cos . 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 2的奇数倍和偶数倍，变与不 变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)sin()sin 成立的条件是 为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角 可以是任意角.( ) (3)若 R，则 tan sin cos
3、恒成立.( ) (4)若 sin(k)1 3(kZ)，则 sin 1 3.( ) 解析 (1)中对于任意 R，恒有 sin()sin . (3)中当 的终边落在 y 轴上，商数关系不成立. (4)当 k 为奇数时，sin 1 3， 当 k 为偶数时，sin 1 3. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 4P115 练习 1T4 改编)已知 tan 3，则 cos2sin2( ) A.4 5 B.4 5 C.3 5 D.3 5 解析 由同角三角函数关系得 cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 19 19 4 5. 答案 B 3.(必修 4P2
4、3 练习 2T2 改编)已知 为锐角，且 sin 4 5，则 cos ()( ) A.3 5 B.3 5 C.4 5 D.4 5 解析 因为 为锐角，所以 cos 1sin23 5， 故 cos()cos 3 5. 答案 A 4.(2017 全国卷)已知 sin cos 4 3，则 sin 2( ) A.7 9 B.2 9 C.2 9 D.7 9 解析 (sin cos )212sin cos 1sin 2， sin 21 4 3 2 7 9. 答案 A 5.(2019 西安质检)若 sin 5 13，且 为第四象限角，则 tan ( ) A.12 5 B.12 5 C. 5 12 D. 5
5、12 解析 sin 5 13， 为第四象限角， cos 1sin212 13，因此 tan sin cos 5 12. 答案 D 6.(2018 成都月考)化简：sin 2（） cos（） cos（2） tan（） sin3 2 sin（2） _. 解析 原式sin 2 （cos ） cos tan cos3 （sin ） sin2cos2 sin2cos21. 答案 1 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 【例 1】 (1)(2018 新余测试)已知 sin cos 1 8，且 5 4 0. 又(cos sin )212sin cos 121 8 3 4， cos sin 3 2 . (2
6、)由sin 3cos 3cos sin 5 得 tan 3 3tan 5，可得 tan 2， 则 cos21 2sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos cos2sin2 1tan 1tan2 3 5. 答案 (1)B (2)A 规律方法 1.利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )21 2sin cos ，可以知一求二. 3.注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin
7、21cos2，cos21sin2. 【训练 1】 (1)若 3sin cos 0，则 1 cos22sin cos 的值为( ) A.10 3 B.5 3 C.2 3 D.2 (2)(2018 全国卷)已知 sin cos 1， cos sin 0， 则 sin()_. 解析 (1)3sin cos 0cos 0tan 1 3， 1 cos22sin cos cos2sin2 cos22sin cos 1tan2 12tan 1 1 3 2 12 3 10 3 . (2)由 sin cos 1，cos sin 0， 两式平方相加，得 22sin cos 2cos sin 1， 整理得 sin(
8、)1 2. 答案 (1)A (2)1 2 考点二 诱导公式的应用 【例 2】 (1)(2019 衡水中学调研)若 cos 2 2 3 ，则 cos(2)( ) A.2 9 B.5 9 C.2 9 D.5 9 (2)设 f()2sin（）cos（）cos（） 1sin2cos 3 2 sin2 2 (12sin 0)，则 f 7 6 _. 解析 (1)由 cos 2 2 3 ，得 sin 2 3 . cos(2)cos 2(12sin2)2sin2122 91 5 9. (2)f()（2sin ）（cos ）cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos
9、（12sin ） sin （12sin ） 1 tan ， f 7 6 1 tan 7 6 1 tan 6 3. 答案 (1)D (2) 3 规律方法 1.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含 2 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知， 在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5)cos()cos . 【训练 2】 (1)(2017 北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始 边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin 1 3，则 si
10、n _. (2)已知 cos 6 a，则 cos 5 6 sin 2 3 的值是_. 解析 (1) 与 的终边关于 y 轴对称， 则 2k， kZ， 2k， kZ. sin sin(2k)sin 1 3. (2)cos 5 6 cos 6 cos 6 a， sin 2 3 sin 2 6 a， cos 5 6 sin 2 3 aa0. 答案 (1)1 3 (2)0 考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用 【例3】 (1)(2019 上饶联考)已知 3 2 ，2 ， sin 2 1 3， 则tan(2)( ) A.4 2 7 B. 2 2 5 C. 4 2 7 D.2 2 5 (2)(2
11、018 福州调研)已知 为锐角，且 2tan()3cos 2 50，tan() 6sin()10，则 sin ( ) A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 解析 (1) 3 2 ，2 ，sin 2 1 3， cos 1 3，sin 2 2 3 ，tan sin cos 2 2. tan(2)tan 2 2tan 1tan2 4 2 1（2 2）2 4 2 7 . (2)由已知得 3sin 2tan 50， tan 6sin 10. 消去 sin ，得 tan 3， sin 3cos ，代入 sin2cos21， 化简得 sin2 9 10，则 sin 3 10 10
12、( 为锐角). 答案 (1)A (2)C (3)已知x0，sin(x)cos x1 5. 求 sin xcos x 的值； 求sin 2x2sin 2 x 1tan x 的值. 解 由已知，得 sin xcos x1 5， 两边平方得 sin2x2sin xcos xcos2 x 1 25， 整理得 2sin xcos x24 25. (sin xcos x)212sin xcos x49 25， 由x0 知，sin x0， 又 sin xcos x12 250，sin xcos x0， 故 sin xcos x7 5. sin 2x2sin 2x 1tan x 2sin x（cos xsin
13、 x） 1sin x cos x 2sin xcos x（cos xsin x） cos xsin x 24 25 1 5 7 5 24 175. 规律方法 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条 件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. 2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号； (2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如 3 与 6 互余等. 【训练 3】 (1)(2019 湖北七州市联考)已知 (0，)，且 cos 5 13，则 sin 2 tan ( ) A.12 13 B. 5 13 C.12 13 D. 5 13 (2)(20
14、16 全国卷)已知 是第四象限角，且 sin 4 3 5，则 tan 4 _. 解析 (1)(0，)，且 cos 5 13，sin 12 13， 因此 sin 2 tan cos sin cos sin 12 13. (2)由题意，得 cos 4 4 5，tan 4 3 4. tan 4 tan 4 2 1 tan 4 4 3. 答案 (1)C (2)4 3 思维升华 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作 用是进行三角函数的求值、化简和证明. 2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan xsin x cos x进 行切化弦或弦化
15、切，如asin xbcos x csin xdcos x，asin 2xbsin xcos xccos2x 等类型可进行 弦化切. (2)和积转换法：如利用(sin cos )21 2sin cos 的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2(1 1 tan2)tan 4等. 易错防范 1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函 数，其步骤：去负脱周化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 基础巩固题组 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1.sin 60
16、0 的值为( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 2 D. 3 2 解析 sin 600 sin(360 240 )sin 240 sin(180 60 )sin 60 3 2 . 答案 B 2.(2019 衡水模拟)已知直线 2xy10 的倾斜角为 ， 则 sin 22cos2( ) A.2 5 B.6 5 C.4 5 D.12 5 解析 由题意知 tan 2， sin 22cos22sin cos 2cos 2 sin2cos2 2tan 2 tan21 2 5. 答案 A 3. 12sin（2）cos（2）( ) A.sin 2cos 2 B.sin 2cos 2 C. (sin 2c
17、os 2) D.cos 2sin 2 解析 12sin（2）cos（2） 12sin 2cos 2 （sin 2cos 2）2|sin 2cos 2|sin 2cos 2. 答案 A 4.已知 sin() 3cos(2)，| 2，则 等于( ) A. 6 B. 3 C. 6 D. 3 解析 sin() 3cos(2)， sin 3cos ， tan 3，| 2， 3. 答案 D 5.已知 sin 3 12 13，则 cos 6 ( ) A. 5 13 B.12 13 C. 5 13 D.12 13 解析 因为 sin 3 12 13，所以 cos 6 sin 2 6 sin 3 12 13.
18、答案 B 6.向量 a 1 3，tan ，b(cos ，1)，且 ab，则 cos 2 ( ) A.1 3 B.1 3 C. 2 3 D.2 2 3 解析 a 1 3，tan ，b(cos ，1)，且 ab， 1 31tan cos 0，sin 1 3， cos 2 sin 1 3. 答案 A 7.已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 020)的值为( ) A.1 B.1 C.3 D.3 解析 f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3， f(2 020)asin(2 020)bcos(2 020)asin bcos 3. 答案 C 二、填
19、空题 8.已知 sin 12 13，且 为第三象限的角，则 tan _. 解析 sin 12 13，且 为第三象限的角， cos 1sin2 5 13，tan sin cos 12 5 . 答案 12 5 9.已知 tan 6 3 3 ，则 tan 5 6 _. 解析 5 6 6 ， tan 5 6 tan 6 tan 6 3 3 . 答案 3 3 10.已知 sin cos 4 3， 0， 4 ，则 sin cos 的值为_. 解析 sin cos 4 3，sin cos 7 18. 又(sin cos )212sin cos 2 9， 又 0， 4 ，sin cos 2 3 . 答案 2
20、3 11.已知 tan 3，则 cos 3 2 2 _. 解析 tan 3，cos 3 2 2 sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 6 91 3 5. 答案 3 5 12.(2019 九江一模)若 sin()3sin()，且 ， 0， 2 ，则tan tan _. 解析 由条件，得 sin()3sin()， sin cos 2cos sin ，则 tan 2tan ， 因此tan tan 2. 答案 2 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 13.若 sin ，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m 的值为( ) A.1 5 B.1 5 C.1 5
21、 D.1 5 解析 由题意知 sin cos m 2，sin cos m 4. 又()sin cos 212sin cos ， m 2 4 1m 2，解得 m1 5. 又 4m216m0，m0 或 m4，m1 5. 答案 B 14.已知 sin 2 cos 7 2 12 25，且 0 4，则 sin _，cos _. 解析 sin 2 cos 7 2 cos (sin )sin cos 12 25. 0 4，0sin cos . 又sin2cos21， sin 3 5，cos 4 5. 答案 3 5 4 5 15.已知 kZ，化简：sin（k）cos（k1） sin（k1）cos（k）_. 解
22、析 当 k2n(nZ)时， 原式 sin（2n）cos（2n1） sin（2n1）cos（2n） sin（） cos（） sin（） cos sin （cos ） sin cos 1； 当 k2n1(nZ)时， 原式sin（2n1） cos（2n11） sin（2n11） cos（2n1） sin（） cos sin cos（） sin cos sin （cos ）1. 综上，原式1. 答案 1 16.是否存在 2， 2 ，(0，)，使等式 sin(3) 2cos 2 ， 3cos() 2cos()同时成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说 明理由. 解 假设存在角 ， 满足条件， 则由已知条件可得 sin 2sin ， 3cos 2cos ， 由22，得 sin23cos22. sin21 2，sin 2 2 . 2， 2 ， 4. 当 4时，由式知 cos 3 2 ， 又 (0，)， 6，此时式成立； 当 4时，由式知 cos 3 2 ， 又 (0，)， 6，此时式不成立，故舍去. 存在 4， 6满足条件.
