2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区九年级(上)期中数学试卷.docx

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1、2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1(3分)我国汽车工业迅速发展,国产汽车技术成熟,下列汽车图标是中心对称图形的是()ABCD2(3分)已知二次函数y=(m-3)xm2-7,则m的值为()A3B3C3D53(3分)用配方法解方程x2+8x+90,变形后的结果正确的是()A(x+4)27B(x+4)29C(x+4)27D(x+4)2254(3分)如果一元二次方程x23x10的两根为x1、x2,那么x1+x2x1x2()A3B3C4D45(3分)如图,将直角三角形ABC(其中ABC60)绕点B顺时针旋转一个角度到三角形AB

2、C的位置,使得点A,B,C在同一直线上,那么这个转动的角度是()A30B60C90D1206(3分)杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军,为中国代表团揽入首枚金牌,随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单,该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个,7月25日和7月26日的总销量是30000个若7月25日和26日较前一天的增长率均为x则可列方程正确的是()A5000(1+x)230000B5000(1x)230000C5000+5000(1+x)+5000(1+x)230000D5000(1+x)+5000(1+x)2300007(3分)如图,AB是O的直径,点C,D在O上,

3、若DCB110,则AED的度数为()A15B20C25D308(3分)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA、PB,那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()A2个B3个C4个D5个9(3分)抛物线yx2+ax+3的对称轴为直线x1若关于x的方程x2+ax+3t0(t为实数)在2x3的范围内有实数根,则t的取值范围是()A6t11Bt2C2t11D2t610(3分)如图,在平面直角坐标系中,Q是直线y=-12x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针旋转90,得到点Q,连接OQ,则OQ的最小值为()A455B5C5

4、23D655二、填空题(每小题3分,共18分)11(3分)已知x1是方程x2+x+m0的解,则m的值是 12(3分)已知A(2,y1)、B(3,y2)、C(5,y3)是抛物线yx24x+c上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是 13(3分)已知半径为5的O中,弦AB52,弦AC5,则BAC的度数是 14(3分)综合实践活动课上,小亮将一张面积为24cm2,其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片(如图1所示),经过两刀裁剪,拼成了一个如图2所示的无缝隙、无重叠的矩形DEFG,则矩形的周长为 cm15(3分)二次函数yax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:ab0;a+b10;a1;关于x的一元

5、二次方程ax2+bx+c0的一个根为1,另一个根为-1a其中正确结论的序号是 16(3分)如图,在矩形ABCD中,AB3,BC4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心,1为半径作D,P为D上的一个动点,连接AP、OP、OA,则AOP面积的最大值为 三、解得题(共8小题,共72分)17(8分)解方程:(1)3x24x30;(2)x2+4x5018(8分)正方形ABCD,E、F分别是DC和CB的延长线的点,且DEBF,连接AE、AF、EF,求证:ADEABF19(8分)关于x的一元二次方程x22x+2n0有两个不相等的实数根;(1)求n的取值范围;(2)求若n5,方程的根都是整数,求n的值20(8分

6、)如图,在ABC中,ABAC,BAC,把ABC绕点C逆时针旋转度得到ACB,请填空并用无刻度直尺按照要求完成下列作图:(1)写出AB与AC的数量关系 ;(2)写出AB与AC的位置关系 ;(3)在图1中作出ABC的中线BD;(4)在图2中作出ACB的中线BD21(8分)如图,在O中,点P为AB的中点,弦AD、PC互相垂直,垂足为M,BC分别与AD、PD相交于点E、N,连接BD、MN(1)求证:N为BE的中点(2)若O的半径为8,AB的度数为90,求线段MN的长22某商品销售量y(件)与售价x(元)满足一次函数关系,部分对应值如下表:当售价为60元时,每件商品能获得50%的利润售价x(元)5550

7、45销售量y(个)350400450(1)求y与x的函数关系式;(2)售价为多少时利润最大?最大利润为多少?(3)由于原材料价格上涨,导致每件成本增加a元,结果发现当售价为60元和售价为80元时,利润相同,求a的值23在菱形ABCD中,ABC60,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是 ,CE与AD的位置关系是 ;(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理);(3)如

8、图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB23,BE219,求四边形ADPE的面积24定义:关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”例如:y(x1)22的“同轴对称抛物线”为y(x1)2+2(1)请写出抛物线y(x1)22的顶点坐标 ;及其“同轴对称抛物线”y(x1)2+2的顶点坐标 ;写出抛物线y=-12(x1)2+32的“同轴对称抛物线”为 (2)如图,在平面直角坐标系中,点B是抛物线L:yax24ax+1上一点,点B的横坐标为1,过点B作x轴的垂线,交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C,分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B、C,连接BC、CC、BC、BB,

9、设四边形BBCC的面积为S(S0)当四边形BBCC为正方形时,求a的值当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时,请求出a的取值范围2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1(3分)我国汽车工业迅速发展,国产汽车技术成熟,下列汽车图标是中心对称图形的是()ABCD【解答】解:A、不是中心对称图形故错误;B、是中心对称图形故正确;C、不是中心对称图形故错误;D、不是中心对称图形故错误故选:B2(3分)已知二次函数y=(m-3)xm2-7,则m的值为()A3

10、B3C3D5【解答】解:由题意得:m272,故m29,解得:m3,m30,m3,m3,故选:A3(3分)用配方法解方程x2+8x+90,变形后的结果正确的是()A(x+4)27B(x+4)29C(x+4)27D(x+4)225【解答】解:方程x2+8x+90,整理得:x2+8x9,配方得:x2+8x+167,即(x+4)27,故选:C4(3分)如果一元二次方程x23x10的两根为x1、x2,那么x1+x2x1x2()A3B3C4D4【解答】解:一元二次方程x23x10的两根为x1、x2,x1+x23,x1x21,x1+x2x1x23(1)4故选:D5(3分)如图,将直角三角形ABC(其中ABC

11、60)绕点B顺时针旋转一个角度到三角形ABC的位置,使得点A,B,C在同一直线上,那么这个转动的角度是()A30B60C90D120【解答】解:将直角三角形ABC(其中ABC60)绕点B顺时针旋转一个角度到三角形ABC的位置,使得点A,B,C在同一直线上,这个转动的角度是:ABA180CBA18060120故选:D6(3分)杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军,为中国代表团揽入首枚金牌,随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单,该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个,7月25日和7月26日的总销量是30000个若7月25日和26日较前一天的增长率均为x则可列方程正确的是(

12、)A5000(1+x)230000B5000(1x)230000C5000+5000(1+x)+5000(1+x)230000D5000(1+x)+5000(1+x)230000【解答】解:若7月25日和26日较前一天的增长率均为x则可列方程为:5000(1+x)+5000(1+x)230000故选:D7(3分)如图,AB是O的直径,点C,D在O上,若DCB110,则AED的度数为()A15B20C25D30【解答】解:连接AC,如图,AB为直径,ACB90,ACDDCBACB1109020,AEDACD20故选:B8(3分)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶

13、点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA、PB,那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()A2个B3个C4个D5个【解答】解:如图所示,使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3,故选:B9(3分)抛物线yx2+ax+3的对称轴为直线x1若关于x的方程x2+ax+3t0(t为实数)在2x3的范围内有实数根,则t的取值范围是()A6t11Bt2C2t11D2t6【解答】解:yx2+ax+3的对称轴为直线x1,a2,yx22x+3,一元二次方程x2+ax+3t0的实数根可以看做yx22x+3与函数yt的有交点,方程在2x3的范围内有实数根,当x2时,y11;当x3时,y6;函数yx22x+3在

14、x1时有最小值2;2t11故选:C10(3分)如图,在平面直角坐标系中,Q是直线y=-12x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针旋转90,得到点Q,连接OQ,则OQ的最小值为()A455B5C523D655【解答】解:作QMx轴于点M,QNx轴于N,PMQPNQQPQ90,QPM+NPQPQN+NPQ,QPMPQN在PQM和QPN中,PMQ=PNQ=90QPM=PQNPQ=PQ PQMQPN(AAS),PNQM,QNPM,设Q(m,-12m+2),PM|m1|,QM|-12m+2|,ON|3-12m|,Q(3-12m,1m),OQ2(3-12m)2+(1m)2=54m25m+10=54

15、(m2)2+5,当m2时,OQ2有最小值为5,OQ的最小值为5,故选:B二、填空题(每小题3分,共18分)11(3分)已知x1是方程x2+x+m0的解,则m的值是 2【解答】解:把x1代入方程x2+x+m0,得1+1+m0,解得:m2,故答案为:212(3分)已知A(2,y1)、B(3,y2)、C(5,y3)是抛物线yx24x+c上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是 y2y3y1【解答】解:抛物线的对称轴为直线x=-421=2,A(2,y1)关于对称轴的对称点为(6,y1)a10,x2时,y随x的增大而增大,2356,y2y3y1故答案为:y2y3y113(3分)已知半径为5的O中,弦AB

16、52,弦AC5,则BAC的度数是105或15【解答】解:如图,连接OC,OA,OBOCOAAC5,OAC是等边三角形,CAO60,OAOB5,AB52,OA2+OB250AB2,OAB是等腰直角三角形,OAB45,点C的位置有两种情况,如左图时,BACCAO+OAB60+45105;如右图时,BACCAOOAB604515综上所述:BAC15或10514(3分)综合实践活动课上,小亮将一张面积为24cm2,其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片(如图1所示),经过两刀裁剪,拼成了一个如图2所示的无缝隙、无重叠的矩形DEFG,则矩形的周长为 20cm【解答】解:如图2中,过点A作AHBC于HSAB

17、C=12BCAH24,AH6(cm),由题意,AGBD,AFCE,FGDE,GFDE=12BC4(cm),DGEFAH6(cm),矩形EFGD是周长4+4+6+620(cm),故答案为:2015(3分)二次函数yax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:ab0;a+b10;a1;关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的一个根为1,另一个根为-1a其中正确结论的序号是【解答】解:由二次函数的图象开口向上可得a0,对称轴在y轴的右侧,b0,ab0,故错误;由图象可知抛物线与x轴的交点为(1,0),与y轴的交点为(0,1),c1,a+b10,故正确;a+b10,a1b,b0,a10,a1,故正确;抛

18、物线与y轴的交点为(0,1),抛物线为yax2+bx1,抛物线与x轴的交点为(1,0),ax2+bx10的一个根为1,根据根与系数的关系,另一个根为-1a,故正确;故答案为16(3分)如图,在矩形ABCD中,AB3,BC4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心,1为半径作D,P为D上的一个动点,连接AP、OP、OA,则AOP面积的最大值为 174【解答】解:当P点移动到过点P的直线平行于OA且与D相切时,AOP面积的最大,如图,过P的直线是D的切线,DP垂直于切线,延长PD交AC于M,则DMAC,在矩形ABCD中,AB3,BC4,AC=AB2+BC2=5,OA=52,AMDADC90,DAMCA

19、D,ADMACD,DMCD=ADAC,12ACDM=12ADCD,AD4,CD3,AC5,DM=125,PMPD+DM1+125=175,AOP的最大面积=12OAPM=1252175=174,故答案为:174三、解得题(共8小题,共72分)17(8分)解方程:(1)3x24x30;(2)x2+4x50【解答】解:(1)a3,b4,c3,(4)243(3)520,则x=-bb2-4ac2a=42136=2133,x1=2+133,x2=2-133;(2)x2+4x50,(x+5)(x1)0,则x+50或x10,解得x15,x2118(8分)正方形ABCD,E、F分别是DC和CB的延长线的点,且

20、DEBF,连接AE、AF、EF,求证:ADEABF【解答】证明:四边形ABCD是正方形,ADAB,DABC90,而F是CB的延长线上的点,ABF90,在ABF和ADE中,AB=ADABF=ADEBF=DE,ABFADE(SAS)19(8分)关于x的一元二次方程x22x+2n0有两个不相等的实数根;(1)求n的取值范围;(2)求若n5,方程的根都是整数,求n的值【解答】解:(1)根据题意,得(2)242n0,解得n12;(2)由原方程,得(x1)22n+1,解得x11-2n,方程的两个实数根都是整数,且5n12,1-2n不是负数,012n11,且12n是完全平方形式,12n1或12n4或12n9

21、,解得n0或n=-32或n420(8分)如图,在ABC中,ABAC,BAC,把ABC绕点C逆时针旋转度得到ACB,请填空并用无刻度直尺按照要求完成下列作图:(1)写出AB与AC的数量关系 ABAC;(2)写出AB与AC的位置关系 ABAC;(3)在图1中作出ABC的中线BD;(4)在图2中作出ACB的中线BD【解答】解:(1)ABC绕点C逆时针旋转度得到ACB,ABCACB,ABAC;故答案为:ABAC;(2)ABC绕点C逆时针旋转度得到ACB,BAC,BACACA,ABAC;故答案为:ABAC;(3)如图1,BD即为所求;(4)如图2,BD即为所求;21(8分)如图,在O中,点P为AB的中点

22、,弦AD、PC互相垂直,垂足为M,BC分别与AD、PD相交于点E、N,连接BD、MN(1)求证:N为BE的中点(2)若O的半径为8,AB的度数为90,求线段MN的长【解答】(1)证明:ADPC,EMC90,点P为AB的中点,PA=PB,ADPBCP,CEMDEN,DNEEMC90DNB,PA=PB,BDPADP,DENDBN,DEDB,ENBN,N为BE的中点;(2)解:连接OA,OB,AB,AC,AB的度数为90,AOB90,OAOB8,AB82,由(1)同理得:AMEM,ENBN,MN是AEB的中位线,MN=12AB4222某商品销售量y(件)与售价x(元)满足一次函数关系,部分对应值如下

23、表:当售价为60元时,每件商品能获得50%的利润售价x(元)555045销售量y(个)350400450(1)求y与x的函数关系式;(2)售价为多少时利润最大?最大利润为多少?(3)由于原材料价格上涨,导致每件成本增加a元,结果发现当售价为60元和售价为80元时,利润相同,求a的值【解答】解:(1)设ykx+b,将(55,350),(50,400)代入,得:55k+b=35050k+b=400,解得:k=-10b=900,y10x+900;(2)由售价为60元时,每件商品能获得50%的利润知进价为40元/件,设利润为W,则Wy(x40)(10x+900)(x40)整理得W10x2+1300x3

24、600010(x65)2+6250故当售价x65元时,得最大利润6250元(3)依题意得,(1060+900)(6040a)(1080+900)(8040a)整理得3(20a)40a,解得a1023在菱形ABCD中,ABC60,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是BPCE,CE与AD的位置关系是ADCE;(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理);(3)如图4,当

25、点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB23,BE219,求四边形ADPE的面积【解答】解:(1)如图1中,结论:PBEC,CEAD理由:连接AC四边形ABCD是菱形,ABC60,ABC,ACD都是等边三角形,ABDCBD30,ABAC,BAC60,APE是等边三角形,APAE,PAE60,BACPAE,BAPCAE,AB=ACBAP=CAEAP=AE,BAPCAE,BPCE,ABPACE30,延长CE交AD于H,CAH60,CAH+ACH90,AHC90,即CEAD故答案为PBEC,CEAD(2)结论仍然成立理由:选图2,连接AC交BD于O,设CE交AD于H四边形ABCD是菱形,ABC6

26、0,ABC,ACD都是等边三角形,ABDCBD30,ABAC,BAC60,APE是等边三角形,APAE,PAE60,BAPCAEAB=ACBAP=CAEAP=AE,BAPCAE,BPCE,PBAACE30,CAH60,CAH+ACH90,AHC90,即CEAD选图3,连接AC交BD于O,设CE交AD于H四边形ABCD是菱形,ABC60,ABC,ACD都是等边三角形,ABDCBD30,ABAC,BAC60,APE是等边三角形,APAE,PAE60,BAPCAEAB=ACBAP=CAEAP=AE,BAPCAE,BPCE,ABPACE30,CAH60,CAH+ACH90,AHC90,即CEAD(3)

27、BAPCAE,由(2)可知ECAD,CEBP,在菱形ABCD中,ADBC,ECBC,BCAB23,BE219,在RtBCE中,EC=(219)2-(23)2=8,BPCE8,AC与BD是菱形的对角线,ABD=12ABC30,ACBD,BD2BO2ABcos306,OA=12AB=3,DPBPBD862,OPOD+DP5,在RtAOP中,AP=AO2+OP2=27,S四边形ADPESADP+SAEP=1223+34(27)28324定义:关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”例如:y(x1)22的“同轴对称抛物线”为y(x1)2+2(1)请写出抛物线y(x1)22的顶点坐标

28、(1,2);及其“同轴对称抛物线”y(x1)2+2的顶点坐标 (1,2);写出抛物线y=-12(x1)2+32的“同轴对称抛物线”为 y=12(x1)2-32(2)如图,在平面直角坐标系中,点B是抛物线L:yax24ax+1上一点,点B的横坐标为1,过点B作x轴的垂线,交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C,分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B、C,连接BC、CC、BC、BB,设四边形BBCC的面积为S(S0)当四边形BBCC为正方形时,求a的值当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时,请求出a的取值范围【解答】解:(1)由y1(x1)

29、22知顶点坐标为(1,2),由y2(x1)2+2知顶点坐标为(1,2),抛物线y=-12(x1)2+32的“同轴对称抛物线”为y=12(x1)2-32;故答案为:(1,2),(1,2),y=12(x1)2-32(2)当x1时,y13a,B(1,13a),C(1,3a1),BC|13a(3a1)|26a|,抛物线L的对称轴为直线x=-4a2a=2,点B(3,13a),BB312,四边形BBCC是正方形,BCBB,即|26a|2,解得:a0(舍)或a=23抛物线L的对称轴为直线x2,顶点坐标为(2,14a),L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称,整点数也是关于x轴对称出现的,封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个,L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个,(i)当a0时,L开口向上,与y轴交于点(0,1),封闭区域内在x轴上只可能有3个整点,两个区域内各有4个整点,当x1时,213a1,当x2时,314a2,解得:34a1;(ii)当a0时,L开口向下,与y轴交于点(0,1),封闭区域内在x轴上只可能有5个整点,两个区域内各有3个整点,当x2时,114a2,当x1时,5a+10,解得:-14a-15,综上所述:34a1或-14a-15第24页(共24页)

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