1、2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）ABCD2（3分）已知二次函数y=(m-3)xm2-7，则m的值为（）A3B3C3D53（3分）用配方法解方程x2+8x+90，变形后的结果正确的是（）A（x+4）27B（x+4）29C（x+4）27D（x+4）2254（3分）如果一元二次方程x23x10的两根为x1、x2，那么x1+x2x1x2（）A3B3C4D45（3分）如图，将直角三角形ABC（其中ABC60）绕点B顺时针旋转一个角度到三角形AB
2、C的位置，使得点A，B，C在同一直线上，那么这个转动的角度是（）A30B60C90D1206（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个若7月25日和26日较前一天的增长率均为x则可列方程正确的是（）A5000（1+x）230000B5000（1x）230000C5000+5000（1+x）+5000（1+x）230000D5000（1+x）+5000（1+x）2300007（3分）如图，AB是O的直径，点C，D在O上，
3、若DCB110，则AED的度数为（）A15B20C25D308（3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A2个B3个C4个D5个9（3分）抛物线yx2+ax+3的对称轴为直线x1若关于x的方程x2+ax+3t0（t为实数）在2x3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A6t11Bt2C2t11D2t610（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90，得到点Q，连接OQ，则OQ的最小值为（）A455B5C5
4、23D655二、填空题（每小题3分，共18分）11（3分）已知x1是方程x2+x+m0的解，则m的值是 12（3分）已知A（2，y1）、B（3，y2）、C（5，y3）是抛物线yx24x+c上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 13（3分）已知半径为5的O中，弦AB52，弦AC5，则BAC的度数是 14（3分）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1所示），经过两刀裁剪，拼成了一个如图2所示的无缝隙、无重叠的矩形DEFG，则矩形的周长为 cm15（3分）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：ab0；a+b10；a1；关于x的一元
5、二次方程ax2+bx+c0的一个根为1，另一个根为-1a其中正确结论的序号是 16（3分）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作D，P为D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则AOP面积的最大值为 三、解得题（共8小题，共72分）17（8分）解方程：（1）3x24x30；（2）x2+4x5018（8分）正方形ABCD，E、F分别是DC和CB的延长线的点，且DEBF，连接AE、AF、EF，求证：ADEABF19（8分）关于x的一元二次方程x22x+2n0有两个不相等的实数根；（1）求n的取值范围；（2）求若n5，方程的根都是整数，求n的值20（8分
6、）如图，在ABC中，ABAC，BAC，把ABC绕点C逆时针旋转度得到ACB，请填空并用无刻度直尺按照要求完成下列作图：（1）写出AB与AC的数量关系 ；（2）写出AB与AC的位置关系 ；（3）在图1中作出ABC的中线BD；（4）在图2中作出ACB的中线BD21（8分）如图，在O中，点P为AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN（1）求证：N为BE的中点（2）若O的半径为8，AB的度数为90，求线段MN的长22某商品销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为60元时，每件商品能获得50%的利润售价x（元）5550
7、45销售量y（个）350400450（1）求y与x的函数关系式；（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？（3）由于原材料价格上涨，导致每件成本增加a元，结果发现当售价为60元和售价为80元时，利润相同，求a的值23在菱形ABCD中，ABC60，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如
8、图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB23，BE219，求四边形ADPE的面积24定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”例如：y（x1）22的“同轴对称抛物线”为y（x1）2+2（1）请写出抛物线y（x1）22的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y（x1）2+2的顶点坐标 ；写出抛物线y=-12（x1）2+32的“同轴对称抛物线”为 （2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：yax24ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B、C，连接BC、CC、BC、BB，
9、设四边形BBCC的面积为S（S0）当四边形BBCC为正方形时，求a的值当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）ABCD【解答】解：A、不是中心对称图形故错误；B、是中心对称图形故正确；C、不是中心对称图形故错误；D、不是中心对称图形故错误故选：B2（3分）已知二次函数y=(m-3)xm2-7，则m的值为（）A3
10、B3C3D5【解答】解：由题意得：m272，故m29，解得：m3，m30，m3，m3，故选：A3（3分）用配方法解方程x2+8x+90，变形后的结果正确的是（）A（x+4）27B（x+4）29C（x+4）27D（x+4）225【解答】解：方程x2+8x+90，整理得：x2+8x9，配方得：x2+8x+167，即（x+4）27，故选：C4（3分）如果一元二次方程x23x10的两根为x1、x2，那么x1+x2x1x2（）A3B3C4D4【解答】解：一元二次方程x23x10的两根为x1、x2，x1+x23，x1x21，x1+x2x1x23（1）4故选：D5（3分）如图，将直角三角形ABC（其中ABC
11、60）绕点B顺时针旋转一个角度到三角形ABC的位置，使得点A，B，C在同一直线上，那么这个转动的角度是（）A30B60C90D120【解答】解：将直角三角形ABC（其中ABC60）绕点B顺时针旋转一个角度到三角形ABC的位置，使得点A，B，C在同一直线上，这个转动的角度是：ABA180CBA18060120故选：D6（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个若7月25日和26日较前一天的增长率均为x则可列方程正确的是（
12、）A5000（1+x）230000B5000（1x）230000C5000+5000（1+x）+5000（1+x）230000D5000（1+x）+5000（1+x）230000【解答】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x则可列方程为：5000（1+x）+5000（1+x）230000故选：D7（3分）如图，AB是O的直径，点C，D在O上，若DCB110，则AED的度数为（）A15B20C25D30【解答】解：连接AC，如图，AB为直径，ACB90，ACDDCBACB1109020，AEDACD20故选：B8（3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶
13、点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A2个B3个C4个D5个【解答】解：如图所示，使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选：B9（3分）抛物线yx2+ax+3的对称轴为直线x1若关于x的方程x2+ax+3t0（t为实数）在2x3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A6t11Bt2C2t11D2t6【解答】解：yx2+ax+3的对称轴为直线x1，a2，yx22x+3，一元二次方程x2+ax+3t0的实数根可以看做yx22x+3与函数yt的有交点，方程在2x3的范围内有实数根，当x2时，y11；当x3时，y6；函数yx22x+3在
14、x1时有最小值2；2t11故选：C10（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90，得到点Q，连接OQ，则OQ的最小值为（）A455B5C523D655【解答】解：作QMx轴于点M，QNx轴于N，PMQPNQQPQ90，QPM+NPQPQN+NPQ，QPMPQN在PQM和QPN中，PMQ=PNQ=90QPM=PQNPQ=PQ PQMQPN（AAS），PNQM，QNPM，设Q（m，-12m+2），PM|m1|，QM|-12m+2|，ON|3-12m|，Q（3-12m，1m），OQ2（3-12m）2+（1m）2=54m25m+10=54
15、（m2）2+5，当m2时，OQ2有最小值为5，OQ的最小值为5，故选：B二、填空题（每小题3分，共18分）11（3分）已知x1是方程x2+x+m0的解，则m的值是 2【解答】解：把x1代入方程x2+x+m0，得1+1+m0，解得：m2，故答案为：212（3分）已知A（2，y1）、B（3，y2）、C（5，y3）是抛物线yx24x+c上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 y2y3y1【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-421=2，A（2，y1）关于对称轴的对称点为（6，y1）a10，x2时，y随x的增大而增大，2356，y2y3y1故答案为：y2y3y113（3分）已知半径为5的O中，弦AB
16、52，弦AC5，则BAC的度数是105或15【解答】解：如图，连接OC，OA，OBOCOAAC5，OAC是等边三角形，CAO60，OAOB5，AB52，OA2+OB250AB2，OAB是等腰直角三角形，OAB45，点C的位置有两种情况，如左图时，BACCAO+OAB60+45105；如右图时，BACCAOOAB604515综上所述：BAC15或10514（3分）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1所示），经过两刀裁剪，拼成了一个如图2所示的无缝隙、无重叠的矩形DEFG，则矩形的周长为 20cm【解答】解：如图2中，过点A作AHBC于HSAB
17、C=12BCAH24，AH6（cm），由题意，AGBD，AFCE，FGDE，GFDE=12BC4（cm），DGEFAH6（cm），矩形EFGD是周长4+4+6+620（cm），故答案为：2015（3分）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：ab0；a+b10；a1；关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的一个根为1，另一个根为-1a其中正确结论的序号是【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a0，对称轴在y轴的右侧，b0，ab0，故错误；由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），c1，a+b10，故正确；a+b10，a1b，b0，a10，a1，故正确；抛
18、物线与y轴的交点为（0，1），抛物线为yax2+bx1，抛物线与x轴的交点为（1，0），ax2+bx10的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为-1a，故正确；故答案为16（3分）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作D，P为D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则AOP面积的最大值为 174【解答】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与D相切时，AOP面积的最大，如图，过P的直线是D的切线，DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DMAC，在矩形ABCD中，AB3，BC4，AC=AB2+BC2=5，OA=52，AMDADC90，DAMCA
19、D，ADMACD，DMCD=ADAC，12ACDM=12ADCD，AD4，CD3，AC5，DM=125，PMPD+DM1+125=175，AOP的最大面积=12OAPM=1252175=174，故答案为：174三、解得题（共8小题，共72分）17（8分）解方程：（1）3x24x30；（2）x2+4x50【解答】解：（1）a3，b4，c3，（4）243（3）520，则x=-bb2-4ac2a=42136=2133，x1=2+133，x2=2-133；（2）x2+4x50，（x+5）（x1）0，则x+50或x10，解得x15，x2118（8分）正方形ABCD，E、F分别是DC和CB的延长线的点，且
20、DEBF，连接AE、AF、EF，求证：ADEABF【解答】证明：四边形ABCD是正方形，ADAB，DABC90，而F是CB的延长线上的点，ABF90，在ABF和ADE中，AB=ADABF=ADEBF=DE，ABFADE（SAS）19（8分）关于x的一元二次方程x22x+2n0有两个不相等的实数根；（1）求n的取值范围；（2）求若n5，方程的根都是整数，求n的值【解答】解：（1）根据题意，得（2）242n0，解得n12；（2）由原方程，得（x1）22n+1，解得x11-2n，方程的两个实数根都是整数，且5n12，1-2n不是负数，012n11，且12n是完全平方形式，12n1或12n4或12n9
21、，解得n0或n=-32或n420（8分）如图，在ABC中，ABAC，BAC，把ABC绕点C逆时针旋转度得到ACB，请填空并用无刻度直尺按照要求完成下列作图：（1）写出AB与AC的数量关系 ABAC；（2）写出AB与AC的位置关系 ABAC；（3）在图1中作出ABC的中线BD；（4）在图2中作出ACB的中线BD【解答】解：（1）ABC绕点C逆时针旋转度得到ACB，ABCACB，ABAC；故答案为：ABAC；（2）ABC绕点C逆时针旋转度得到ACB，BAC，BACACA，ABAC；故答案为：ABAC；（3）如图1，BD即为所求；（4）如图2，BD即为所求；21（8分）如图，在O中，点P为AB的中点
22、，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN（1）求证：N为BE的中点（2）若O的半径为8，AB的度数为90，求线段MN的长【解答】（1）证明：ADPC，EMC90，点P为AB的中点，PA=PB，ADPBCP，CEMDEN，DNEEMC90DNB，PA=PB，BDPADP，DENDBN，DEDB，ENBN，N为BE的中点；（2）解：连接OA，OB，AB，AC，AB的度数为90，AOB90，OAOB8，AB82，由（1）同理得：AMEM，ENBN，MN是AEB的中位线，MN=12AB4222某商品销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系，部分对应值如下
23、表：当售价为60元时，每件商品能获得50%的利润售价x（元）555045销售量y（个）350400450（1）求y与x的函数关系式；（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？（3）由于原材料价格上涨，导致每件成本增加a元，结果发现当售价为60元和售价为80元时，利润相同，求a的值【解答】解：（1）设ykx+b，将（55，350），（50，400）代入，得：55k+b=35050k+b=400，解得：k=-10b=900，y10x+900；（2）由售价为60元时，每件商品能获得50%的利润知进价为40元/件，设利润为W，则Wy（x40）（10x+900）（x40）整理得W10x2+1300x3
24、600010（x65）2+6250故当售价x65元时，得最大利润6250元（3）依题意得，（1060+900）（6040a）（1080+900）（8040a）整理得3（20a）40a，解得a1023在菱形ABCD中，ABC60，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是BPCE，CE与AD的位置关系是ADCE；（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4，当
25、点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB23，BE219，求四边形ADPE的面积【解答】解：（1）如图1中，结论：PBEC，CEAD理由：连接AC四边形ABCD是菱形，ABC60，ABC，ACD都是等边三角形，ABDCBD30，ABAC，BAC60，APE是等边三角形，APAE，PAE60，BACPAE，BAPCAE，AB=ACBAP=CAEAP=AE，BAPCAE，BPCE，ABPACE30，延长CE交AD于H，CAH60，CAH+ACH90，AHC90，即CEAD故答案为PBEC，CEAD（2）结论仍然成立理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H四边形ABCD是菱形，ABC6
26、0，ABC，ACD都是等边三角形，ABDCBD30，ABAC，BAC60，APE是等边三角形，APAE，PAE60，BAPCAEAB=ACBAP=CAEAP=AE，BAPCAE，BPCE，PBAACE30，CAH60，CAH+ACH90，AHC90，即CEAD选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H四边形ABCD是菱形，ABC60，ABC，ACD都是等边三角形，ABDCBD30，ABAC，BAC60，APE是等边三角形，APAE，PAE60，BAPCAEAB=ACBAP=CAEAP=AE，BAPCAE，BPCE，ABPACE30，CAH60，CAH+ACH90，AHC90，即CEAD（3）
27、BAPCAE，由（2）可知ECAD，CEBP，在菱形ABCD中，ADBC，ECBC，BCAB23，BE219，在RtBCE中，EC=(219)2-(23)2=8，BPCE8，AC与BD是菱形的对角线，ABD=12ABC30，ACBD，BD2BO2ABcos306，OA=12AB=3，DPBPBD862，OPOD+DP5，在RtAOP中，AP=AO2+OP2=27，S四边形ADPESADP+SAEP=1223+34（27）28324定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”例如：y（x1）22的“同轴对称抛物线”为y（x1）2+2（1）请写出抛物线y（x1）22的顶点坐标
28、（1，2）；及其“同轴对称抛物线”y（x1）2+2的顶点坐标 （1，2）；写出抛物线y=-12（x1）2+32的“同轴对称抛物线”为 y=12（x1）2-32（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：yax24ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B、C，连接BC、CC、BC、BB，设四边形BBCC的面积为S（S0）当四边形BBCC为正方形时，求a的值当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围【解答】解：（1）由y1（x1）
29、22知顶点坐标为（1，2），由y2（x1）2+2知顶点坐标为（1，2），抛物线y=-12（x1）2+32的“同轴对称抛物线”为y=12（x1）2-32；故答案为：（1，2），（1，2），y=12（x1）2-32（2）当x1时，y13a，B（1，13a），C（1，3a1），BC|13a（3a1）|26a|，抛物线L的对称轴为直线x=-4a2a=2，点B（3，13a），BB312，四边形BBCC是正方形，BCBB，即|26a|2，解得：a0（舍）或a=23抛物线L的对称轴为直线x2，顶点坐标为（2，14a），L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，整点数也是关于x轴对称出现的，封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，（i）当a0时，L开口向上，与y轴交于点（0，1），封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，当x1时，213a1，当x2时，314a2，解得：34a1；（ii）当a0时，L开口向下，与y轴交于点（0，1），封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，当x2时，114a2，当x1时，5a+10，解得：-14a-15，综上所述：34a1或-14a-15第24页（共24页）
