1、2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（3分1030分）1（3分）将一元二次方程3x212x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（）A3、2B3、2C3、1D3、12（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD3（3分）抛物线y2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A（3，5）B（3，5）C（3，5）D（3，5）4（3分）用配方法解方程x24x30下列变形正确的是（）A（x4）219B（x2）27C（x2）21D（x+2）275（3分）下列方程没有实数解的是（）Ax20Bx22x+10Cx2x20210
2、Dx2+x+106（3分）要将抛物线y2x2平移后得到抛物线y2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（）A向左平移1个单位，再向上平移3个单位B向左平移1个单位，再向下平移3个单位C向右平移1个单位，再向上平移3个单位D向右平移1个单位，再向下平移3个单位7（3分）有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（）A596B428C512D6048（3分）下列多边形的所有顶点不一定在同一个圆上的是（）A三角形B矩形C菱形D正方形9（3分）如果m、n是一元二次方程x2+x3的两个实数根，那么多项式m3+2n2mn6m+2021的值是（）A2023B
3、2027C2028D202910（3分）如图，MAN60，点B、C分别在AM、AN上，ABAC，点D在MAN内部、ABC外部，连接BD、CD、AD下列结论：DB+DCDA；SBDC12BDDC；若DBm，DCn，则SADB34m2+12mn其中错误的结论个数为（）个A0B1C2D3二、填空题（3分618分）11（3分）点A（a，b）关于原点的对称点的坐标为 12（3分）解方程2（x1）28，则方程的解是 13（3分）点P1（1，y1），P2（2，y2），P3（5，y3）均在二次函数yx2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 14（3分）已知AB是O的弦，点C为O上异于点A、B的一
4、点，OAB40，则ACB 15（3分）已知关于x的二次函数yax2+bx+c，下列结论中一定正确的是 （填序号即可）若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程cx2+bx+a0必有两个不等实数根；若对任意实数t都有at2+btab（a0），则b2a；若（am2+bm+c）（an2+bn+c）0（mn），则方程ax2+bx+c0有一个根，且mn；若a2m2+bam+ac0，则方程ax2+bx+c0必有两个实数根16（3分）已知，O的直径BC22，点A为O上一动点，AD、BD分别平分ABC的外角，AD与O交于点E若将AO绕O点逆时针旋转270，则点D所经历的路径长为 （提示：在半径为R的圆中，n圆心角所
5、对弧长为nR180）三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）解方程：x2x3018（8分）如图：OAOBOC，AOB=13BOC，BAC45（1）求证：A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；（2）求OAC的度数19（8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为yx22x3（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； x10123y （2）当x满足 时，函数值大于0；（3）当2x2时，y的取值范围是 20（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、C为格点，点B在网格线上，以AB为直径作半圆，点D在半圆上，连接AC、BC请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图
6、痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）分别在AB、AC取点E、F，使EFBC，EF=12BC；（2）作ABC的角平分线BM；（3）在ABC的角平分线BM取一点N，使CN+DN最小21（8分）如图，P是圆上一动点，弦AB=3cm，PC平分APB，C在圆上，BAC30（1）当PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？（2）当PA的长为 ，四边形PACB是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形）（直接写答案）22（10分）水果店以一定的价格购进某种苹果若干千克，通过销售统计发现：这批苹果从开始销售至销售的第x天的总销量y（千克）与x的关系为二次函数，销售情况记录
7、如表：x123y3976111（1）求y与x的函数关系式；（2）这批苹果多少天才能销售完；（3）水果店为了充实库存，在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种苹果，试问再过多少天该品种苹果库存量为244千克？23（10分）【问题背景】如图1，P为ABC内一点，连PB、PC则PC+PBAB+AC小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论请按小明的思路完成证明过程；【迁移应用】如图2，在ABC中，BAC120，P为ABC内一点，求证：PA+PB+PCAB+AC【拓展创新】已知ABC中，BCa，ABc，ACb，a+b4c，6a+3b19c，P为ABC所在平面内一点
8、，则PA+PB+PC的最小值为（用含c的式子表示） （直接写出结果）24（12分）如图1，抛物线yax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点且抛物线的对称轴为x2，OC3，SABC3（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过D（m，2）作抛物线切线（不与y轴平行，且与抛物线有且仅有一个交点）DE：yk1x+b1（切点为E）和DF：yk2x+b2（F为切点），求k1k2的值；（3）如图3，将抛物线向左平移两个单位后再沿y轴向下运动得抛物线C1，直线l3、l4分别与（2）中直线DE、DF平行，l3与C1交于E，F两点，l4与C1交于G，H两点，M，N分别为EF、GH的中点，求点O到直线MN的距
9、离d的最大值2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（3分×1030分）1（3分）将一元二次方程3x212x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（）A3、2B3、2C3、1D3、1【解答】解：3x212x，3x22x10，二次项系数和一次项系数分别是3和2，故选：A2（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符
10、合题意；D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意故选：B3（3分）抛物线y2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A（3，5）B（3，5）C（3，5）D（3，5）【解答】解：y2（x+3）2+5，抛物线顶点坐标为（3，5），故选：B4（3分）用配方法解方程x24x30下列变形正确的是（）A（x4）219B（x2）27C（x2）21D（x+2）27【解答】解：x24x30，x24x3，则x24x+43+4，即（x2）27，故选：B5（3分）下列方程没有实数解的是（）Ax20Bx22x+10Cx2x20210Dx2+x+10【解答】解：A方程x20解为x1x20，故本选项不合题意；Bx
11、22x+10，b24ac（2）24110，此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；Cx2x20210，b24ac（1）241（2021）80850，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意；Dx2+x+10，b24ac1241130，此方程无解，本选项符合题意故选：D6（3分）要将抛物线y2x2平移后得到抛物线y2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（）A向左平移1个单位，再向上平移3个单位B向左平移1个单位，再向下平移3个单位C向右平移1个单位，再向上平移3个单位D向右平移1个单位，再向下平移3个单位【解答】解：y2x2+4x+52（x+1）2+3，该抛物线的顶点坐标是（1，3），抛
12、物线y2x2的顶点坐标是（0，0），平移的方法可以是：将抛物线y2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位故选：A7（3分）有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（）A596B428C512D604【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，由题意得：1+x+x（1+x）64，解得x17，x29，x0，x29，不合题意，舍去，x7则第三轮的感冒人数为：（7+1）3512故选：C8（3分）下列多边形的所有顶点不一定在同一个圆上的是（）A三角形B矩形C菱形D正方形【解答】解：A根据三点共圆可得三角形的三个顶点在同一个圆上，故选项不符合题意；
13、B矩形对角线相等且互相平分，四个顶点到对角线交点距离相等，矩形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意；C菱形对角线互相平分但不相等，四个顶点到对角线交点距离不一定相等，菱形四个顶点定不一定在同一个圆上，故选项符合题意；D正方形对角线相等且互相平分，四个顶点到对角线交点距离相等，正方形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意；故选：C9（3分）如果m、n是一元二次方程x2+x3的两个实数根，那么多项式m3+2n2mn6m+2021的值是（）A2023B2027C2028D2029【解答】解：m、n是一元二次方程x2+x30的两个实数根，m2+m30，n2+n30，m2m+3，n2n+3，m
14、3m（m+3）m2+3m（m+3）+3m4m3，m3+2n2mn6m+20214m3+2（n+3）mn6m+20212（m+n）mn+2024，m、n是一元二次方程x2+x30的两个实数根，m+n1，mn3，原式2（1）（3）+20242029故选：D10（3分）如图，MAN60，点B、C分别在AM、AN上，ABAC，点D在MAN内部、ABC外部，连接BD、CD、AD下列结论：DB+DCDA；SBDC12BDDC；若DBm，DCn，则SADB34m2+12mn其中错误的结论个数为（）个A0B1C2D3【解答】解：如图1，将ACD绕点A逆时针旋转60得到ABC，则ABCACD，ACAD，BCCD
15、，DAC60，ACD是等边三角形，CDAD，在BCD中，BC+BDCD，CD+BDAD，当ADC60，即ACB60时，C、B、D三点共线，CD+BDAD，故正确；如图2，过点C作CHBD于H，则BHC90，CHCDsinCDH，SBDC=12BDCH=12BDCDsinCDH，CDH90，sinCDH1，SBDC12BDCD，故正确；如图3，把BDC绕点B顺时针旋转60得到ABK，连接DK，由旋转得：BDBK，DBK60，BDK是等边三角形，SBDK=34m2，ABKBDC（根据旋转的性质），SABKSBDC=12BDCDsinCDH12BDCD，即SABK12mn，SABDSABK+SBDK
16、34m2+12mn，故正确；综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个，故选：A二、填空题（3分×618分）11（3分）点A（a，b）关于原点的对称点的坐标为 （a，b）【解答】解：点A（a，b）关于原点的对称点的坐标为（a，b）故答案为：（a，b）12（3分）解方程2（x1）28，则方程的解是x13，x21【解答】解：（x1）24，x12，所以x13，x21故答案为x13，x2113（3分）点P1（1，y1），P2（2，y2），P3（5，y3）均在二次函数yx2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2y1y3【解答】解：二次函数yx2+2x+c的对称轴为：x=-22
17、(-1)=1，由对称性得，P1（1，y1）关于对称轴对称的点Q的坐标为（3，y1），a10，在对称轴的右侧，即x1时，y随x的增大而减小，P2（2，y2），P3（5，y3），Q（3，y1），y2y1y3，故答案为：y2y1y314（3分）已知AB是O的弦，点C为O上异于点A、B的一点，OAB40，则ACB50【解答】解：OAOB，OAB40，OABOBA40AOB1804040100，ACB=12AOB50，故答案为：5015（3分）已知关于x的二次函数yax2+bx+c，下列结论中一定正确的是 （填序号即可）若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程cx2+bx+a0必有两个不等实数根；若对任意实
18、数t都有at2+btab（a0），则b2a；若（am2+bm+c）（an2+bn+c）0（mn），则方程ax2+bx+c0有一个根，且mn；若a2m2+bam+ac0，则方程ax2+bx+c0必有两个实数根【解答】解：抛物线yax2+bx+c与x轴有两个不同交点，方程ax2+bx+c0有两个不同的实数根，b24ac0，cx2+bx+a0有两个不相等的实数根，故正确；对任意实t都有at2+btab（a0），at2+bt+cab+c，当x1时，函数有最大值，函数的对称轴为直线x1，-b2a=-1，b2a，故正确；（am2+bm+c）（an2+bn+c）0（mn），抛物线与x轴的一个交点的横坐标在m
19、、n之间，方程ax2+bx+c0有一个根，函数图象与x轴的一个交点为（，0），mn，故正确；a2m2+bam+ac0，a（am2+bm+c）0，当a0时，am2+bm+c0；当a0时，am2+bm+c0，方程ax2+bx+c0必有两个实数根，故正确；故答案为：16（3分）已知，O的直径BC22，点A为O上一动点，AD、BD分别平分ABC的外角，AD与O交于点E若将AO绕O点逆时针旋转270，则点D所经历的路径长为 32（提示：在半径为R的圆中，n圆心角所对弧长为nR180）【解答】解：如图，设ACB，BC是O的直径，BAC90，DEB，ABC90，AD、BD分别平分ABC的外角，DAB45，A
20、BD45+12，EDB180DABABD18045（45+12）90-12，EBD180DEBEDB180（90-12）90-12，EDBEBD，EBED，BE=BE，ECBEAB45，AEB90，BCE是等腰直角三角形，EBEC，EBECED，点D在半径为2的E上逆时针旋转135，点D所经历的路径长为：1352180=32，故答案为：32三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）解方程：x2x30【解答】解：x2x30，a1，b1，c3，b24ac（1）241（3）130，方程有两个不等的实数根，x=1132，则x1=1-132，x2=1+13218（8分）如图：OAOBOC，AOB=13
21、BOC，BAC45（1）求证：A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；（2）求OAC的度数【解答】（1）证明：如图，OAOBOC，点O是ABC的外接圆的圆心，A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；（2）解：BOC2BAC，BAC45，BOC90，AOB=13BOC30，AOCAOB+BOC120，OAOC，OACOCA=12（180120）3019（8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为yx22x3（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； x10123y03430（2）当x满足 x1或x3时，函数值大于0；（3）当2x2时，y的取值范围是 3y5【解答】解：
22、（1）yx22x3，当x1时，y（1）22（1）31+230；当x0时，y3；当x1时，y1234；当x2时，y4433；当x3时，y9630故答案为：0，3，4，3，0；图象如图所示：（2）从图象看，当x满足x1或x3时，函数值大于0，故答案为：x1或x3；（3）yx22x3，当x2时，y4+435，当x2时，y4433，结合函数图象当2x2时，y的取值范围是3y5，故答案为：3y520（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、C为格点，点B在网格线上，以AB为直径作半圆，点D在半圆上，连接AC、BC请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果
23、）（1）分别在AB、AC取点E、F，使EFBC，EF=12BC；（2）作ABC的角平分线BM；（3）在ABC的角平分线BM取一点N，使CN+DN最小【解答】解：（1）如图1，连接矩形AHCG的对角线GH，交AC于F，格线ET与AB交于点E，连接EF，则EF=12BC，证明：四边形AHCG是矩形，AFCF=12AC，ETBK，ATTK，AEEB=ATTK=1，AEEB，EF=12BC；（2）如图2，延长EF，交半圆于I，过B、I作射线BM，则BM平分ABC，证明：延长AI交BC于J，EF是ABC的中位线，EFBC，AIIJ=AEBE=1，AIIJ，AB是E的直径，AIB90，BJBA，BM平分A
24、BC；（3）如图3，设AC与BM的交点是点Q，连接JQ并延长交AB于P，连接DP交BM于N，则点N就是求作的点，证明：BM垂直平分AJ，QJQA，BJBA，AJPJAC，AJBJAB，AJAJ，AJCJAP（ASA），JCAP，ACJP，BCBP，QCQP，BM垂直平分CP，即C和P关于BM对称，CN+DN最小是DP21（8分）如图，P是圆上一动点，弦AB=3cm，PC平分APB，C在圆上，BAC30（1）当PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？（2）当PA的长为 1或2，四边形PACB是梯形（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形）（直接写答案）【解答】解：（1）如图
25、1中，连接OA，作直径CD，设CD交AB于点NPC平分APB，APCBPC，AC=BC，CDAB，ANBN=32（cm），AOC2ABC，ABC30，AOC60，ON=ANtan60=12，OA2ON1（cm），CD2OA2（cm），观察图象可知，当点P与D重合时，四边形APBC的面积最大，此时PAC90，最大面积=12ABCD=3（cm2）；（2）如图21中，当PB是直径时，四边形PACB是梯形，此时ACPB，PA1如图22中，当AP是直径时，四边形APBC是梯形，此时APBC，AP2综上所述，满足条件的AP的值为1或2故答案为：1或222（10分）水果店以一定的价格购进某种苹果若干千克，通
26、过销售统计发现：这批苹果从开始销售至销售的第x天的总销量y（千克）与x的关系为二次函数，销售情况记录如表：x123y3976111（1）求y与x的函数关系式；（2）这批苹果多少天才能销售完；（3）水果店为了充实库存，在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种苹果，试问再过多少天该品种苹果库存量为244千克？【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为yax2+bx+c，则z+b+c=394a+2b+c=769a+3b+c=111，解得：a=-1b=40c=0，y与x的函数关系式为yx2+40x；（2）由（1）得：yx2+40x（x20）2+400，10，当x20时，y最大，最大值为400，答：这批
27、苹果20天才能销售完；（3）设再过m天库存量为216千克，由（2）知：库存原量为400千克，（m+6）天后原本库存剩余量为：400（m+6）2+40（m+6），m天内再次购买的总量为20m，两部分的总量为244千克，400+（m+6）240（m+6）+20m244，整理得：m28m480，解得：m12或m4（舍去）答：再过12天该品种苹果库存量为244千克23（10分）【问题背景】如图1，P为ABC内一点，连PB、PC则PC+PBAB+AC小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论请按小明的思路完成证明过程；【迁移应用】如图2，在ABC中，BAC120，P为
28、ABC内一点，求证：PA+PB+PCAB+AC【拓展创新】已知ABC中，BCa，ABc，ACb，a+b4c，6a+3b19c，P为ABC所在平面内一点，则PA+PB+PC的最小值为（用含c的式子表示） 5c2（直接写出结果）【解答】【问题背景】证明：如图1，延长BP交AC于点E，在ABE中，AE+ABBEBP+PE，在CPE中，PE+CEPC，AB+AE+CE+PEPB+PE+PC，AB+ACPB+PC，即PC+PBAB+AC；【迁移应用】证明：如图2，将CAP绕点A逆时针旋转60得到DAQ，连接PQ，BD，PD，由旋转可得：DAQCAP，CADPAQ60，ADAC，AQAP，DQPC，APQ
29、是等边三角形，PQAPAQ，BAC120，BAC+CAD180，由【问题背景】可知：在BPD中，PB+PDAB+AD，在QPD中，PQ+QDPD，PB+PQ+QDAB+AD，PA+PB+PCAB+AC；【拓展创新】解：由【问题背景】知，当P为ABC所在平面内一点时，PA+PBAB，PB+PCBC，PA+PCAC，PA+PB+PC12(AB+AC+BC)，BCa，ABc，ACb，a+b4c，6a+3b19c，PA+PB+PC最小值为12（a+b+c）=5c2，故答案为：5c224（12分）如图1，抛物线yax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点且抛物线的对称轴为x2，OC3，SABC3（
30、1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过D（m，2）作抛物线切线（不与y轴平行，且与抛物线有且仅有一个交点）DE：yk1x+b1（切点为E）和DF：yk2x+b2（F为切点），求k1k2的值；（3）如图3，将抛物线向左平移两个单位后再沿y轴向下运动得抛物线C1，直线l3、l4分别与（2）中直线DE、DF平行，l3与C1交于E，F两点，l4与C1交于G，H两点，M，N分别为EF、GH的中点，求点O到直线MN的距离d的最大值【解答】解：（1）SaABC3，OC3，12ABDC3，AB2，对称轴为直线x2，设A（a，0），B（b，0），b22a1，解得a1，b3，A（1，0），B（3，0），设ya（x
31、1）（x3）过点（0，3），33a，解得a1，yx24x+3（2）将抛物线C：y（x2）21向左平移2个单位，向上平移1个单位得yx2，设点D（m，2）向上平移后对应点为D1（n，1），平移后的切线l1为：y+1k1（xn），平移后的切线l2为：y+1k2（xn），y+1=k1(x-n)y=x2，x2k1x+k1n+10，k124k1n40，同理可得，k224k2n40，k1k2，k1，k2是k24kn40的两根，k1k24（3）DEl3，DFl4，l3的解析式为：yk1x（k1k24），l4的解析式为：y=-4k1x，y=x2+my=k1x，即x2k1x+m0，xE+xFk1，M为EF的中点，xM=xE+xF2=k12，yM=k122，M（k12，k122），y=x2+my=-4k1x，即x2+4k1x+m0，点N是GF的中点，xN=-2k1，yN=8k12，N（-2k1，8k12），设MN的解析式为：ypx+q，k12p+q=k122-2k1p+q=8k12，解得，p=k12-4k1q=2，直线MN：y=k12-4k1x+2，且该直线过定点（0，2），d2点O到直线MN的距离d的最大值2第24页（共24页）
