1、第九章立 体 几 何第一节空间几何体(全国卷5年18考)【知识梳理知识梳理】1.1.多面体的结构特征多面体的结构特征多面多面体体结构特征结构特征棱柱棱柱有两个面互相平行有两个面互相平行,而且夹在这两个平行平而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都面间的每相邻两个面的交线都_互相平行互相平行多面多面体体结构特征结构特征棱锥棱锥有一个面是有一个面是_,_,而其余各面都是有一个而其余各面都是有一个_的三角形的三角形棱台棱台棱锥被平行于棱锥被平行于_的平面所截的平面所截,_,_和和_之间的部分之间的部分多边形多边形公共顶点公共顶点底面底面截面截面底面底面2.2.旋转体的形成旋转体的形成几何几何体
2、体旋转图形旋转图形旋转轴旋转轴圆柱圆柱矩形矩形矩形的一边所在的直线矩形的一边所在的直线圆锥圆锥直角三角直角三角形形直角三角形的一直角边所在的直角三角形的一直角边所在的直线直线圆台圆台直角梯形直角梯形直角梯形中垂直于底边的腰直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线所在的直线球球半圆半圆半圆直径所在的直线半圆直径所在的直线3.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图空间几何体的三视图是由空间几何体的三视图是由_得到的得到的,这种投影下这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是状和大小是_的的,三视图包括三视图包括_、_、_._.正投影
3、正投影完全相同完全相同正视图正视图侧视侧视图图俯视图俯视图4.4.空间几何体的直观图空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是其规则是:(1)(1)原图形中原图形中x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴两两垂直轴两两垂直,直观图中直观图中,x,x轴、轴、yy轴的夹角为轴的夹角为4545(或或135135),z),z轴与轴与xx轴、轴、yy轴所在平面垂直轴所在平面垂直.(2)(2)原图形中平行于坐标轴的线段原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平直观图中仍分别平行于坐标轴行于坐标轴.平行于平行于x x轴和轴和z z轴的线段在直观图中保持
4、原轴的线段在直观图中保持原长度不变长度不变,平行于平行于y y轴的线段在直观图中长度变为原来轴的线段在直观图中长度变为原来的一半的一半.5.5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台侧面侧面展开图展开图 侧面积侧面积公式公式S S圆柱侧圆柱侧=_S S圆锥侧圆锥侧=_S S圆台侧圆台侧=_2r2rlrrl(r+r)(r+r)l6.6.空间几何体的表面积和体积公式空间几何体的表面积和体积公式表面积表面积体积体积柱体柱体(棱柱棱柱和圆柱和圆柱)S S表面积表面积=S=S侧侧+2S+2S底底V=_V=_锥体锥体(棱锥棱锥和圆锥和圆锥)
5、S S表面积表面积=S=S侧侧+S+S底底V=_V=_台体台体(棱台棱台和圆台和圆台)S S表面积表面积=S=S侧侧+S+S上上+S+S下下V=(SV=(S上上+S+S下下+)h+)h 球球S=_S=_V=_V=_ShShShSh4R4R2 21334R3S S上下13【常用结论常用结论】1.1.正棱锥中的四个直角三角形正棱锥中的四个直角三角形(1)(1)高、斜高、底面边心距高、斜高、底面边心距.(2)(2)高、侧棱、底面外接圆半径高、侧棱、底面外接圆半径.(3)(3)斜高、侧棱、底面边长一半斜高、侧棱、底面边长一半.(4)(4)底面边心距、外接圆半径、底面边长一半底面边心距、外接圆半径、底面
6、边长一半.2.2.直观图与原图形的面积关系直观图与原图形的面积关系利用斜二测画法利用斜二测画法,画出的水平放置的平面图形的直观图画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原来图形的的面积是原来图形的 倍倍.3.3.三视图的三条要求三视图的三条要求三视图中三视图中“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”.244.4.正四面体的性质正四面体的性质棱长为棱长为a a的正四面体的正四面体,其高为其高为 a.a.其内切球和外接球的其内切球和外接球的球心重合球心重合,是正四面体的中心是正四面体的中心.其外接球和内切球的半其外接球和内切球的半径分别为径分别为 a a和和 a.a.63646125.5.
7、祖暅原理祖暅原理幂势既同幂势既同,则积不容异则积不容异.夹在两个平行平面之间的两个几何体夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个被平行于这两个平面的任意平面所截平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相如果截得的两个截面的面积总相等等,那么这两个几何体的体积相等那么这两个几何体的体积相等.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(在括号内打在括号内打“”“”或或“”)”)(1)(1)有两个平面平行有两个平面平行,其余各面都是四边形的多面体是其余各面都是四边形的多面体是棱柱棱柱.()(2)(2)有一个面是多边形有一个面是多边形,其余各面都是三角形的
8、几何体其余各面都是三角形的几何体是棱锥是棱锥.()(3)(3)有两个面是平行的相似多边形有两个面是平行的相似多边形,其余各面都是梯形其余各面都是梯形的几何体是棱台的几何体是棱台.()(4)(4)用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥,棱锥的底面和截面之间的部棱锥的底面和截面之间的部分是棱台分是棱台.()(5)(5)棱台的侧面都是梯形棱台的侧面都是梯形.()(6)(6)棱台的侧棱长都相等棱台的侧棱长都相等.()提示提示:(1)(1),也可以是棱台也可以是棱台.(2)(2),棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形.(3)(3),侧棱延长后必须交于一点侧棱延长
9、后必须交于一点.(4)(4),必须用平行于底面的平面去截棱锥必须用平行于底面的平面去截棱锥.(5),(5),正确正确.(6)(6),正棱台的侧棱长相等正棱台的侧棱长相等,非正棱台不一定相等非正棱台不一定相等.2.2.如图所示如图所示,E,F,E,F分别为正方体分别为正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中平面中平面ADDADD1 1A A1 1,平面平面BCCBCC1 1B B1 1的中心的中心,则四边形则四边形BFDBFD1 1E E在该正方体的在该正方体的面上的正投影可能是面上的正投影可能是_(_(填序号填序号).).【解析解析】由正投影的定义可知由正投影
10、的定义可知,四边形四边形BFDBFD1 1E E在面在面AAAA1 1D D1 1D D与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C上的正投影是图上的正投影是图;其在平面其在平面ABBABB1 1A A1 1与平与平面面DCCDCC1 1D D1 1上的正投影是图上的正投影是图;其在面其在面ABCDABCD与平面与平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1上的正投影也是图上的正投影也是图.答案答案:题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修2P8T12P8T1改编改编)根据给出的平面图形根据给出的平面图形,制作几何体制作几何体,写出它们的名称写出它们的名称,画出它们的直观图及
11、三视图画出它们的直观图及三视图.(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)【解析解析】(1)(1)正四面体正四面体(2)(2)正四棱锥正四棱锥(3)(3)正方体正方体(4)(4)正四棱台正四棱台(5)(5)正六棱柱正六棱柱2.(2.(必修必修2P28A2P28A组组T2T2改编改编)一个圆台的母线长为一个圆台的母线长为20,20,上底上底面的直径为面的直径为20,20,母线与底面所成的角为母线与底面所成的角为6060,求这个圆求这个圆台的表面积和体积台的表面积和体积.【解析解析】因为上底面的直径为因为上底面的直径为20,20,所以圆台的上底面的所以圆台的上底面的半径为半径为1
12、0,10,如图如图,画出圆台的轴截面的一半画出圆台的轴截面的一半.因为母线与底面所成的角为因为母线与底面所成的角为6060,所以所以ABC=60ABC=60,高高h=Oh=O1 1O=AC=10 ,BC=10,O=AC=10 ,BC=10,所以下底面半径所以下底面半径OB=20,OB=20,所以圆所以圆台的侧面积为台的侧面积为S S侧侧=(r=(r上上+r+r下下)l=(10+20)=(10+20)20=600,20=600,上底面的面积为上底面的面积为 =100,=100,下底面的面积为下底面的面积为 =400,400,所以圆台的表面积为所以圆台的表面积为600+100+400=600+10
13、0+400=32r上2r下1 100,1 100,圆台的体积为圆台的体积为V=V=22(rrr r)h3上下上 下7 000 3(100400200)10 3.333.(3.(必修必修2P37T22P37T2改编改编)一个半径为一个半径为2121的球形冰块融化在的球形冰块融化在一个半径为一个半径为1414的圆柱形的水桶内的圆柱形的水桶内,求水面的高度求水面的高度.【解析解析】设水面的高度为设水面的高度为h,h,则则 =14142 2h,h,解得解得h=63,h=63,所以水面高度为所以水面高度为63.63.34213考点一空间几何体的结构特征考点一空间几何体的结构特征【题组练透题组练透】1.1
14、.若四面体的三对相对棱分别相等若四面体的三对相对棱分别相等,则称之为等腰四面则称之为等腰四面体若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直体若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直,则称之则称之为直角四面体为直角四面体,以长方体以长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的顶点为四面体的顶点为四面体的顶点的顶点,可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为为()A.2,8A.2,8B.4,12B.4,12C.2,12C.2,12D.12,8D.12,8【解析解析】选选A.A.因为矩形的对角线相等因为矩形的对角线相等,所以长方体的六所以
15、长方体的六个面的对角线构成个面的对角线构成2 2个等腰四面体个等腰四面体.因为长方体的每个因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的顶点出发的三条棱都是两两垂直的,所以长方体中有所以长方体中有8 8个直角四面体个直角四面体.2.2.圆台的高为圆台的高为4,4,过高的三等分点作平行于底面的两个过高的三等分点作平行于底面的两个截面截面,若截面的面积分别为若截面的面积分别为361,400,361,400,则圆台的母线则圆台的母线长为长为()A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析解析】选选D.D.设两个截面的半径分别为设两个截面的半径分别为r r1 1,r,r2 2,则由则由 =3
16、61,=361,得得r r1 1=19,=19,由由 =400,=400,得得r r2 2=20,=20,如图如图,21r22r作出圆台的轴截面的一半作出圆台的轴截面的一半ABCD,ABCD,过高过高ABAB的三等分点的三等分点M,N,M,N,作平行线交母线作平行线交母线CDCD于点于点E,F,E,F,所以点所以点E,FE,F为母线为母线CDCD的三等的三等分点分点,过点过点E E作作EHEH垂直于垂直于BC,BC,过点过点F F作作FIFI垂直于垂直于BC,BC,点点H,IH,I为垂足为垂足.因为点因为点F F为为ECEC的中点的中点,所以所以HI=IC=1.HI=IC=1.过点过点D D作
17、作BCBC的垂线的垂线,垂足为点垂足为点J,J,则则DJ=4,JC=3,DJ=4,JC=3,所以母线长为所以母线长为5.5.3.3.四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,ABCD,底面是矩形底面是矩形,则四个则四个侧面中直角三角形的个数是侧面中直角三角形的个数是()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选D.D.如图如图,因为因为PAPA底面底面ABCD,ABCD,所以所以PAAB,PAAB,PAAD,PAAD,因为底面是矩形因为底面是矩形,所以所以BCAB,BCAB,又因为又因为PABC,PABC,所以所以BCBC平面平面PAB,PAB
18、,所以所以BCPB,BCPB,同理同理CDPD,CDPD,所以四个所以四个侧面都是直角三角形侧面都是直角三角形.4.4.把一个半径为把一个半径为2020的半圆卷成圆锥的侧面的半圆卷成圆锥的侧面,则这个圆锥则这个圆锥的高为的高为()A.10A.10B.10 B.10 C.10 C.10 D.5D.5 332【解析解析】选选B.B.设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为r,r,高为高为h.h.因为半圆因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长的弧长等于圆锥的底面周长,半圆的半径等于圆锥的母半圆的半径等于圆锥的母线线,所以所以2r=20,2r=20,所以所以r=10,r=10,所以所以h=h=22201010
19、3.5.5.在正方体上任意选择在正方体上任意选择4 4个顶点个顶点,它们可能是如下几种它们可能是如下几种几何图形的几何图形的4 4个顶点个顶点,这些几何图形是这些几何图形是_.(_.(写写出所有正确结论的编号出所有正确结论的编号)矩形矩形;不是矩形的平行四边形不是矩形的平行四边形;有三个面为等腰有三个面为等腰直角三角形直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体有一个面为等边三角形的四面体;每个每个面都是等边三角形的四面体面都是等边三角形的四面体;每个面都是直角三角形每个面都是直角三角形的四面体的四面体.【解析解析】4 4个顶点连成矩形的情形显然成立个顶点连成矩形的情形显然成立;图图(1)(1)中
20、四中四面体面体A A1 1-D-D1 1B B1 1A A是中描述的情形是中描述的情形;图图(2)(2)中四面体中四面体D-AD-A1 1C C1 1B B是中描述的情形是中描述的情形;图图(3)(3)中四面体中四面体A A1 1-D-D1 1B B1 1D D是中描述是中描述的情形的情形,因此正确答案为因此正确答案为.答案答案:【规律方法规律方法】空间几何体结构特征的判定方法空间几何体结构特征的判定方法(1)(1)定义法定义法:紧扣定义紧扣定义,由已知构建几何模型由已知构建几何模型,在条件不在条件不变的情况下变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线面等基本变换模型中的线面关系或增加线面等基本
21、要素要素,根据定义进行判定根据定义进行判定.(2)(2)反例法反例法:通过反例对结构特征进行辨析通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一即要说明一个结论是错误的个结论是错误的,只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可.考点二空间几何体的表面积与体积考点二空间几何体的表面积与体积【典例典例】(1)(2018(1)(2018全国卷全国卷)已知圆柱的上、下底面已知圆柱的上、下底面的中心分别为的中心分别为O O1 1,O,O2 2,过直线过直线O O1 1O O2 2的平面截该圆柱所得的的平面截该圆柱所得的截面是面积为截面是面积为8 8的正方形的正方形,则该圆柱的表面积为则该圆柱的表面积为()A.12
22、A.12 B.12B.12C.8 C.8 D.10D.1022【解析解析】选选B.B.截面面积为截面面积为8,8,所以高所以高h=2 ,h=2 ,底面半径底面半径r=,r=,所以该圆柱的表面积所以该圆柱的表面积S=S=()()2 22+22+2 2 =12.2 =12.22222(2)(2)如图如图,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,AD=AB=4,BC=2,AD=AB=4,BC=2,沿中位线沿中位线EFEF折起折起,使得使得AEBAEB为直角为直角,连接连接AB,CD,AB,CD,求所得的几何体求所得的几何体的表面积和体积的表面积和体积.【解析解析】如图如图,过点过点C C作作CMC
23、M平行于平行于AB,AB,交交ADAD于点于点M,M,作作CNCN平平行于行于BE,BE,交交EFEF于点于点N,N,连接连接MN.MN.由题意可知由题意可知ABCM,BENCABCM,BENC都是都是矩形矩形,AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2 ,AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2 ,2所以所以S SAEBAEB=2 22=2,2=2,S S梯形梯形ABCDABCD=(2+4)(2+4)2 =6 ,2 =6 ,S S梯形梯形BEFCBEFC=(2+3)(2+3)2=5,2=5,S S梯形梯形AEFDAEFD=(3+4)(3+4)2=7,2=7,12121212
24、22在直角三角形在直角三角形CMDCMD中中,CM=2 ,MD=2,CM=2 ,MD=2,所以所以CD=2 .CD=2 .又因又因为为DF=FC=,DF=FC=,所以所以S SDFCDFC=2 2 =,=,所以这所以这个几何体的表面积为个几何体的表面积为2+6 +5+7+=14+6 +.2+6 +5+7+=14+6 +.235123262626因为截面因为截面CMNCMN把这个几何体分割为直三棱柱把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCNABE-MCN和四棱锥和四棱锥C-MNFD,C-MNFD,又因为直三棱柱又因为直三棱柱ABE-MCNABE-MCN的体积为的体积为V V1 1=S=SABEAB
25、EAM=AM=2 22 22=4,2=4,四棱锥四棱锥C-MNFDC-MNFD的体积的体积为为V V2 2=S=S四边形四边形MNFDMNFDBE=BE=(1+21+2)2 22=2,2=2,所以所以所求几何体的体积为所求几何体的体积为V V1 1+V+V2 2=6.=6.12131312【答题模板微课答题模板微课】本例本例(2)(2)的求体积模板化过程的求体积模板化过程:建模板建模板:因为截面因为截面CMNCMN把这个几何体分割为直三棱柱把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCNABE-MCN和和四棱锥四棱锥C-MNFD,C-MNFD,分割分割因为直三棱柱因为直三棱柱ABE-MCNABE-MC
26、N的底面的底面ABEABE是等腰直角三角形是等腰直角三角形,所以所以S SABEABE=2 22,2,求出底面积求出底面积又因为直三棱柱又因为直三棱柱ABE-MCNABE-MCN的高为的高为AM=2.AM=2.求高求高12所以直三棱柱所以直三棱柱ABE-MCNABE-MCN的体积为的体积为V V1 1=S=SABEABEAM=AM=2 22 22=4,2=4,代入公式求体积代入公式求体积同理四棱锥同理四棱锥C-MNFDC-MNFD的体积为的体积为V V2 2=S=S四边形四边形MNFDMNFDBE=BE=(1+2)(1+2)2 22=2,2=2,所以所求几何体的体积为所以所求几何体的体积为V
27、V1 1+V+V2 2=6.=6.求总的体积求总的体积12131312套模板套模板:已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1,1,线段线段B B1 1D D1 1上有两个上有两个动点动点E,F,E,F,且且EF=,EF=,求三棱锥求三棱锥A-BEFA-BEF的体积的体积.22【解析解析】连接连接BD,BD,交交ACAC于点于点O.O.在矩形在矩形BDDBDD1 1B B1 1中中,点点B B到到D D1 1B B1 1的距离等于棱长的距离等于棱长1,1,所以所以S SBEFBEF=求出底面积求出底面积因为因为ACAC垂直于对角面垂
28、直于对角面BDDBDD1 1B B1 1,所以所以ACAC垂直于平面垂直于平面BEF,BEF,所所以以AOAO等于三棱锥等于三棱锥A-BEFA-BEF的高的高,求高求高1221.224 所以三棱锥所以三棱锥A-BEFA-BEF的体积为的体积为V VA-BEFA-BEF=S=SBEFBEFAO=AO=代入公式求体积代入公式求体积131221.34212【一题多解微课一题多解微课】解决本题解决本题(2)(2)的求体积还可以采用以下方法的求体积还可以采用以下方法:分割法分割法:如图如图,连接连接AC,EC,AC,EC,则几何体分割为四棱锥则几何体分割为四棱锥C-ADFEC-ADFE和三棱锥和三棱锥C
29、-ABE,C-ABE,因为因为V VC-ADFEC-ADFE=V VC-ABEC-ABE=,=,所以几何体的体积为所以几何体的体积为V VC-ADFEC-ADFE+V+VC-ABEC-ABE=6.=6.13414(2)2,3231 24(2)23 2314433补形法补形法:如图如图,延长延长BCBC至点至点M,M,使得使得CM=2,CM=2,延长延长EFEF至点至点N,N,使使得得FN=1,FN=1,连接连接DM,MN,DN,DM,MN,DN,得到直三棱柱得到直三棱柱ABE-DMN,ABE-DMN,所以几所以几何体的体积等于直三棱柱何体的体积等于直三棱柱ABE-DMNABE-DMN的体积减去
30、四棱锥的体积减去四棱锥D-CMNFD-CMNF的体积的体积.因为因为V VABE-DMNABE-DMN=4=8,V4=8,VD-CMNFD-CMNF=2=2,2=2,所以几何体的体积为所以几何体的体积为V VABE-DMNABE-DMN-V-VD-CMNFD-CMNF=8-2=6.=8-2=6.1(2 2)2 1 12(2)32【误区警示误区警示】求柱体、锥体的体积时求柱体、锥体的体积时,一定要先指出一定要先指出底面积和高底面积和高,再代入体积公式求解再代入体积公式求解,锥体的体积计算时锥体的体积计算时不要忘记公式的系数不要忘记公式的系数 .13【互动探究互动探究】若将本例若将本例(2)(2)
31、中条件改为中条件改为“折叠后使得折叠后使得角角AEBAEB等于等于6060”,”,其他条件不变其他条件不变,如何求解如何求解?【解析解析】如图如图,过点过点C C作作CMCM平行于平行于AB,AB,交交ADAD于点于点M,M,作作CNCN平平行于行于BE,BE,交交EFEF于点于点N,N,连接连接MN,MN,由题意可知由题意可知ABCM,BENCABCM,BENC都是都是矩形矩形,AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2,AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2,所以所以S SAEBAEB=2 2 =,S =,S梯形梯形ABCDABCD=(2+4)(2+4)2=6,2=6,
32、123312S S梯形梯形BEFCBEFC=(2+3)(2+3)2=5,2=5,S S梯形梯形AEFDAEFD=(3+4)(3+4)2=7,2=7,在直角三角形在直角三角形CMDCMD中中,CM=2,MD=2,CM=2,MD=2,所以所以CD=2 ,CD=2 ,又因为又因为DF=FC=,DF=FC=,所以所以S SDFCDFC=2 2 =,=,所以这个所以这个几何体的表面积为几何体的表面积为 +6+5+7+=18+.+6+5+7+=18+.121225122363663因为截面因为截面CMNCMN把这个几何体分割为直三棱柱把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCNABE-MCN和和四棱锥四棱锥C
33、-MNFD,C-MNFD,又因为直三棱柱又因为直三棱柱ABE-MCNABE-MCN的体积为的体积为V V1 1=S SABEABEAM=AM=2 2 2=2 ,2=2 ,四棱锥四棱锥C-MNFDC-MNFD的体的体积为积为V V2 2=S=S四边形四边形MNFDMNFDh=h=(1+2)(1+2)2 2 =,=,所以所求几何体的体积为所以所求几何体的体积为V V1 1+V+V2 2=3 .=3 .1233131312333【规律方法规律方法】求解几何体体积常用的方法求解几何体体积常用的方法(1)(1)割补割补:将不规则的几何体通过合适的分割或拼接变将不规则的几何体通过合适的分割或拼接变成简单的
34、规则几何体成简单的规则几何体,便于计算便于计算.(2)(2)转化转化:转换底面和相应的高转换底面和相应的高,将不容易求的底面和高将不容易求的底面和高转化成容易求的底面和高转化成容易求的底面和高.(3)(3)处理高线问题时处理高线问题时,经常利用的方法就是经常利用的方法就是“等积法等积法”.【对点训练对点训练】1.(20181.(2018全国卷全国卷)在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=BC=,AB=BC=2,AC2,AC1 1与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成的角为所成的角为3030,则该长方体的体积则该长方体的体积为为(
35、)A.8A.8B.6 B.6 C.8 C.8 D.8D.8 223【解析解析】选选C.C.如图如图,连接连接ACAC1 1和和BCBC1 1,因为因为ABAB平面平面BBBB1 1C C1 1C,ACC,AC1 1与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成的角为所成的角为3030,所以所以ACAC1 1B=30B=30,所以所以 =tan 30=tan 30,BC,BC1 1=2 ,=2 ,所以所以CCCC1 1=2 ,=2 ,所以所以V=2V=22 22 =8 .2 =8 .1ABBC32222.2.若正方体的棱长为若正方体的棱长为 ,则以该正方体各个面的中心则以该正方体各个面的中心为
36、顶点的凸多面体的体积为为顶点的凸多面体的体积为()22232A.B.C.D.6333【解析解析】选选B.B.由题意知由题意知,以正方体各个面的中心为顶点以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长的正四即两个同底同高同棱长的正四棱锥棱锥),),所有棱长均为所有棱长均为1,1,其中每个正四棱锥的高均为其中每个正四棱锥的高均为 ,故正八面体的体积为故正八面体的体积为V=2VV=2V正四棱锥正四棱锥=2=2 1 12 2 =.=.221322233.3.已知圆柱的高为已知圆柱的高为1,1,它的两个底面的圆周在直径为它的两个底面的圆周在直径为2 2的的同一个
37、球的球面上同一个球的球面上,则该圆柱的体积为则该圆柱的体积为()A.A.B.B.C.C.D.D.3424【解析解析】选选B.B.如图如图,画出圆柱的轴截面画出圆柱的轴截面,r=BC=,r=BC=,那么圆柱的体积那么圆柱的体积V=rV=r2 2h h=1=.1=.3223()234考点三考点三 空间几何体的三视图及其应用空间几何体的三视图及其应用【明考点明考点知考法知考法】主要考查常见几何体主要考查常见几何体(棱柱棱柱(长方体、正方体长方体、正方体)、棱、棱锥锥(三棱锥、四棱锥三棱锥、四棱锥)、棱台、圆柱、圆锥、圆台及它、棱台、圆柱、圆锥、圆台及它们的简单组合体们的简单组合体)的三视图的三视图,
38、考查方式常常是给出几何考查方式常常是给出几何体的三视图体的三视图,求几何体的表面积或体积求几何体的表面积或体积,或者给出几何或者给出几何体体,画出它的三视图画出它的三视图,题目形式多数是选择题、填空题题目形式多数是选择题、填空题,属于中档题属于中档题.命题角度命题角度1 1已知三视图已知三视图,判断几何体的形状判断几何体的形状【典例典例】(1)(2018(1)(2018全国卷全国卷)某圆柱的高为某圆柱的高为2,2,底面周底面周长为长为16,16,其三视图如图所示其三视图如图所示,圆柱表面上的点圆柱表面上的点M M在正视图在正视图上的对应点为上的对应点为A,A,圆柱表面上的点圆柱表面上的点N N
39、在侧视图上的对应点在侧视图上的对应点为为B,B,则在此圆柱侧面上则在此圆柱侧面上,从从M M到到N N的路径中的路径中,最短路径的最短路径的长度为长度为()A.2 A.2 B.2 B.2 C.3C.3D.2D.2175【解析解析】选选B.B.将三视图还原为圆柱将三视图还原为圆柱,M,N,M,N的位置如图的位置如图1 1所所示示,将侧面展开将侧面展开,最短路径为最短路径为M,NM,N连线的距离连线的距离,所以所以MN=MN=22422 5.(2)(2)某三棱锥的三视图如图所示某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱则该三棱锥最长的棱的长度为的长度为_._.【解析解析】由三视图得到该几何体为三
40、棱锥由三视图得到该几何体为三棱锥E-BCD,E-BCD,它的它的直观图如图直观图如图,把三棱锥补形成为四棱锥把三棱锥补形成为四棱锥E-ABCD,EAE-ABCD,EA底底面面ABCD,ABCD,CD=1,BC=,BE=,CE=2 ,DE=3,DB=2 ,CD=1,BC=,BE=,CE=2 ,DE=3,DB=2 ,所以所以6 6条棱的长度最大值为条棱的长度最大值为3,3,故最长棱为故最长棱为DE=3.DE=3.答案答案:3 35522【状元笔记状元笔记】1.1.识别三视图识别三视图,一要抓住三视图的规则一要抓住三视图的规则(长对正长对正,宽相等宽相等,高平齐高平齐),),二要注意实线、虚线二要注
41、意实线、虚线.2.2.由三视图画出直观图的方法由三视图画出直观图的方法(1)(1)熟悉常见几何体的三视图熟悉常见几何体的三视图(2)(2)将几何体放在长方体或正方体中将几何体放在长方体或正方体中,一般从俯视图入一般从俯视图入手手,找几何体的顶点的位置找几何体的顶点的位置,再确定实线、虚线再确定实线、虚线.(3)(3)将几何体放在柱体、锥体中将几何体放在柱体、锥体中,通过适当的切割得到通过适当的切割得到对应的几何体对应的几何体.命题角度命题角度2 2已知三视图已知三视图,求几何体的表面积或体积求几何体的表面积或体积【典例典例】(1)(1)某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示,则此几何
42、体则此几何体的体积是的体积是 ()A.28 A.28 B.36 B.36 C.32 C.32 D.40 D.40【解析解析】选选B.B.由三视图可知该几何体是一个下底面半由三视图可知该几何体是一个下底面半径为径为4,4,上底面半径为上底面半径为2,2,高为高为3 3的圆台与一个底面半径为的圆台与一个底面半径为2,2,高为高为2 2的圆柱的组合体的圆柱的组合体,所以它的体积为所以它的体积为V=VV=V圆台圆台+V+V圆柱圆柱=3+3+2 22 22=36.2=36.22(424 2)3(2)(2)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图正视图是一个底边长为
43、是一个底边长为8,8,高为高为4 4的等腰三角形的等腰三角形,侧视图是一个侧视图是一个底边长为底边长为6,6,高为高为4 4的等腰三角形的等腰三角形.则该几何体的体积则该几何体的体积V V为为_,_,侧面积侧面积S S为为_._.【解析解析】由已知得这个几何体是一个底面为长等于由已知得这个几何体是一个底面为长等于8,8,宽等于宽等于6 6的矩形的矩形,高为高为4,4,顶点在底面上的射影是底面矩顶点在底面上的射影是底面矩形的中心的四棱锥形的中心的四棱锥P-ABCD,P-ABCD,如图如图,所以它的体积所以它的体积V=SV=SABCDABCDh=h=8 86 64=64.4=64.作出四棱锥的高作
44、出四棱锥的高PO,PO,设设ABAB的中点为的中点为M,BCM,BC的中点为的中点为N,N,连接连接OM,ON,PM,PN,OM,ON,PM,PN,1313它的侧面积它的侧面积S=2 =S=2 =2 =82 =85+65+64 =4 =40+24 .40+24 .答案答案:646440+2440+24 PABPBC(SS)11(PM ABPN BC)22222【状元笔记状元笔记】1.1.根据三视图求表面积或体积的方法根据三视图求表面积或体积的方法:已知几何体的三视图求其表面积和体积已知几何体的三视图求其表面积和体积,一般是先根据一般是先根据三视图判断空间几何体的形状三视图判断空间几何体的形状,
45、再根据题目所给数据与再根据题目所给数据与几何体的表面积与体积公式求其体积几何体的表面积与体积公式求其体积.2.2.灵活运用转化思想灵活运用转化思想:若所给几何体的体积不能直接利用公式得出若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等则常用等积法、分割法、补形法等进行求解积法、分割法、补形法等进行求解.命题角度命题角度3 3已知几何体或它的直观图已知几何体或它的直观图,求它的三视图求它的三视图或其中的某一个视图或其中的某一个视图【典例典例】(1)(2018(1)(2018全国卷全国卷)中国古建筑借助榫卯将中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头构件的凸出部分叫榫头
46、,凹进部分叫凹进部分叫卯眼卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ()【解析解析】选选A.A.由直观图可知选由直观图可知选A.A.(2)(2)九章算术九章算术中一个几何体的直观图如图中一个几何体的直观图如图,下列给下列给出的四个俯视图中正确的是出的四个俯视图中正确的是()【解析解析】选选B.B.由直观图可知由直观图可知,该几何体由一个长方体和该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成一个截角三棱
47、柱组成.从上往下看从上往下看,外层轮廓线是一个外层轮廓线是一个矩形矩形,矩形内部是有一条线段连接的两个三角形矩形内部是有一条线段连接的两个三角形.【状元笔记状元笔记】三视图问题的两点注意三视图问题的两点注意(1)(1)注意仔细观察注意仔细观察,分析分析,弄清确切的位置关系弄清确切的位置关系.(2)(2)注意根据原几何体想象出三视图的具体画法注意根据原几何体想象出三视图的具体画法.【对点练对点练找规律找规律】1.1.某多面体的三视图如图所示某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为正方形的边长为2,2
48、,俯俯视图为等腰直角三角形视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个该多面体的各个面中有若干个是梯形是梯形,这些梯形的面积之和为这些梯形的面积之和为()A.10A.10B.12 B.12 C.14C.14D.16D.16【解析解析】选选B.B.由三视图可画出立体图由三视图可画出立体图,该立体图各面中该立体图各面中只有两个面是梯形且是相同的梯形只有两个面是梯形且是相同的梯形,S,S梯梯=(2+4)=(2+4)2 22=6,2=6,S S全梯全梯=6=62=12.2=12.2.(20182.(2018韶关模拟韶关模拟)已知某几何体的三视图如图所示已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
49、为则该几何体的体积为()A.A.B.1B.1C.C.D.3D.31232【解析解析】选选C.C.由三视图易知由三视图易知,该几何体是底面积为该几何体是底面积为 ,高为高为3 3的三棱锥的三棱锥,由锥体的体积公式得由锥体的体积公式得V=V=321333.3223.3.将长方体截去一个四棱锥将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为则该几何体的侧视图为()【解析解析】选选D.D.侧视图是从图形的左边向右边看侧视图是从图形的左边向右边看,看到一看到一个正方形的面个正方形的面,在面上有一条对角线在面上有一条对角线,对角线是由左下对角线是由左下角到右上角的线角
50、到右上角的线.【变式备选变式备选】一个几何体的正视图为一个三角形一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体则这个几何体可能是下列几何体中的可能是下列几何体中的_(_(填入所有可能的几何填入所有可能的几何体前的编号体前的编号).).三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱圆锥三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱圆锥圆柱圆柱【解析解析】三棱锥的正视图是三角形三棱锥的正视图是三角形;当四棱锥的底当四棱锥的底面四边形水平放置时面四边形水平放置时,其正视图是三角形其正视图是三角形;把三棱柱把三棱柱某一正面水平放置某一正面水平放置,其底面正对着我们的视线时其底面正对着我们的视线时,它的它的正视图是三角形正视图是三角形;对于四棱柱对
