1、指数与指数函数指数与指数函数高考文科数学一轮复习高考文科数学一轮复习1.指数幂的概念2.有理数指数幂3.指数函数的图象与性质教教材材研研读读考点一 指数幂的化简与求值考点二 指数函数的图象及其应用考点三 指数函数的性质及应用考考点点突突破破教材研读1.指数幂的概念指数幂的概念(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果xn=a,那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数0的n次方根是0当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根nana(2)两个重要公式=()n=a(注意a必须使有意义).nnaa,a(0),|;a(0
2、),naana 为奇数 为偶数 nana2.有理数指数幂有理数指数幂(1)分数指数幂的表示(i)正数的正分数指数幂:=(a0,m,nN*,n1).(ii)正数的负分数指数幂:=(a0,m,nN*,n1).mnamnamna1mna1mna(iii)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质(i)aras=ar+s(a0,r,sQ).(ii)(ar)s=ars(a0,r,sQ).(iii)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 提醒提醒(1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0ad1ab0.由此我们可得到以
3、下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a0,且a1)的图象越高,底数越大.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)=()n=a.()(2)(-1=(-1=.()(3)函数y=a-x(a0,且a1)是R上的增函数.()(4)函数y=2x-1是指数函数.()(5)若am0,且a1),则m0)的值是()A.1B.aC.D.345aaa15a1710a答案答案D=.故选D.345aaa34152aaa1432 5a 1710aD3.函数y=2x与y=2-x的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称答案答案B作出y=2x与y=2-x=的图象(图略),观察可
4、知两图象关于y轴对称.12xB4.函数f(x)=2|x-1|的大致图象是()答案答案B当x1时,f(x)=2x-1;当x1时,f(x)=21-x,选B.B5.已知函数f(x)=ax-2+2的图象恒过定点A,则点A的坐标为.答案答案(2,3)解析解析令x-2=0,则x=2,f(2)=3,即点A的坐标为(2,3).6.若指数函数y=(a2-1)x在(-,+)上为减函数,则实数a的取值范围是.答案答案(-,-1)(1,)22解析解析由题意知0a2-11,即1a22,得-a-1或1a0).413322333842aa bbaba2332 baa2353aaaa答案答案a2解析解析原式=(-2)=a2.
5、111333331111223333()(2)()(2)(2)aabaabb11332aba2132111352()()a aaa13a13a13b11332aab5616aa1-2若+=3,则的值为.12x12x33222223xxxx答案答案25解析解析由+=3,得x+x-1+2=9,所以x+x-1=7,所以x2+x-2+2=49,所以x2+x-2=47.12x12x因为+=(+)3-3(+)32x32x12x12x12x12x=27-9=18,所以原式=.18247325指数函数的图象及其应用指数函数的图象及其应用典例典例2(1)函数f(x)=-3|x|+1的图象大致是()(2)若曲线|
6、y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.答案答案(1)A(2)-1,1解析解析(1)因为函数f(x)=-3|x|+1,所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x),即函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D.当x=0时,f(0)=-30+1=0,即函数图象过原点,故排除C.故选A.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1b1.探究探究(变条件)本例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围.解析解析曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,b的取值范围是(0,1).方法技巧方法
7、技巧应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y=ax(a0,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.11,a(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.2-1函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a1,b1,b0C.0a0D.0a1,b0D答案答案D
8、由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax图象的基础上向左平移得到的,所以b0,且a1)有两个不等实根,则a的取值范围是.答案答案10,2解析解析方程|ax-1|=2a(a0,且a1)有两个不等实根转化为函数y=|ax-1|与y=2a的图象有两个交点.当0a1时,如图,所以02a1,即0a1时,如图,而y=2a1,不符合要求.12所以0a.12指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用命题方向一指数函数单调性的应用命题方向一指数函数单调性的应用典例典例3已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是()
9、A.cabB.bacC.acbD.ab,所以,即ba0且a1).(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.11xxaa解析解析(1)f(x)的定义域是R,令y=,得ax=-.因为ax0,所以-0,解得-1y1,所以f(x)的值域为(-1,1).(2)因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)f(x)=1-.设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,11xxaa11yy11yy11xxaa11xxaa(1)21xxaa21xa 则f(x1)-f(x2)=-=.因为x11时,0,从而+10,+10,-0,所以f(x1)-f(x2)0,即
10、f(x1)f(x2),f(x)为R上的增函数;当0a0,从而+10,+10,-0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.221xa121xa 12122()(1)(1)xxxxaaaa2xa1xa1xa2xa1xa2xa1xa2xa1xa2xa1xa2xa规律总结规律总结(1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.3-1不等式恒成立,则a的取值范围是.212xax2212x a 答案答案(-2,2)解
11、析解析y=是减函数,又2x+a-2恒成立,所以x2+(a-2)x-a+20恒成立,所以=(a-2)2-4(-a+2)0,即a2-40,所以-2a0,a1)在区间上有最大值3,最小值,则a,b的值分别为.22xxa3,0252答案答案或2,2ab2332ab解析解析令t=x2+2x=(x+1)2-1,x,t-1,0.若a1,则函数f(x)=at在-1,0上为增函数,at,b+,依题意得解得若0a1,则函数f(x)=at在-1,0上为减函数,3,021,1a22xxa1,1bba15,213,bab 2,2.abat,则b+,依题意得解得综上可得或11,a22xxa11,bba13,51,2bab 2,33.2ab2,2ab2,33.2ab
